试用导数法求复合函数的单调区间
第24卷增刊 四川教育学院学报
V01.24 JOVRNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCA.110N
2008年10月
0ct.2008
试用导数法求复合函数的单调区间
何亚国
(四川省乐至县教师进修学校,四川乐至641500)
中图分类号:G622.4 文献标识码:B 文章编号:1000-5757(2008)S0-0023-02
导数是近年高考的新话题,是命题的新热点,它在函数问题中的权重不断提升,特别是在对高次函数、超越函数的单调
性和最值的考查中,它的应用理念更加突出.在面对复合函数的单调性问...
第24卷增刊 四川教育学院学报
V01.24 JOVRNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCA.110N
2008年10月
0ct.2008
试用导数法求复合函数的单调区间
何亚国
(四川省乐至县教师进修学校,四川乐至641500)
中图分类号:G622.4 文献标识码:B 文章编号:1000-5757(2008)S0-0023-02
导数是近年
的新话题,是命题的新热点,它在函数问题中的权重不断提升,特别是在对高次函数、超越函数的单调
性和最值的考查中,它的应用理念更加突出.在面对复合函数的单调性问题时,我们却常常固执于传统的”同增异减”规则
而淡漠了导数这一重要工具。本文拟例推荐导数法在求复合函数),=f[g(x)]的单调区间中的应用。
I.函数Y=以毒)、,,=g(善)分别以图象和解析式呈现
【例1】若Y=以名)是定义在区间(一4,5)上的可导函数,其图象如下,则函数g(石)=fC£二{)
互一1
的单调递减区间是( )
J
、.J 八.5~。V,2\一
A.(一1,1)、(1,2)及(一∞,0)、(3,+∞)
c(o,÷)、(÷,3)D.(一4,一1)、(2,5)
【解】蚓加以等)钒‰)-厂(等)◇Ⅳ◇(等),-一丢矽(等).
令g7(量)<0得:厂(岩)>0.
由,,=贝善)的图象知:当且仅当一1<}等<2时,厂(}等)>o.
由一1<生斗<2解得:茹<0或石>3.
故g(茗)=以}等)的减区间为(一∞,o)和(3,+∞).选B.
【点评】导数法避免了对内函数g(石)=!二等单调性的讨论和对值域的确认,一气呵成顺利得解.
II.函数Y=灭鼻)、,,=g(茗)均以解析式呈现
【例2】已知以菇)=名2—4互+3,求F(x)=以2+2x一并2)的单调递增区间.
【解】...,(善)=石2—4x+3、g(量)=2+2x一髫2都是R上的可导函数,
.·.F’(互)=,(2+2x一善2)·(2+2x一茗2)’=2(1一髫).,r(2+2x一墨2).
令F’(善)>0得:(1一名).,,(2+2x一,)>0,
则[帅1-x忆>0。⋯甄或0fl(2+-x<2⋯0:⋯j(i:三。>2或(i;三一,<2
卸<聋<1或z>2。即知F(z)的增区间为(0,1)和(2,+∞).
【点评】本题若用传统方法求解,细节多、失误多、思维障碍大,而导数法思路清晰、简洁明快.
【例31若以互)=log.(as一,)(0<口≠1)是区间[÷,华]上的单调函数,求口的取值范围.
【解】由以#)=log.(戤一善3)得:厂(重)=
口一3矿
(“一善3)Ina。
·.·互E[÷,孚]时,必使“一名,>。恒成立’-..口>髫zE[.},丁1]恒成立,即知口>÷.
①若以名)在[丁1,譬]上单调递增,则厂(毒)≥o恒成立,有
万方数据
四川教育学院学报 2008年10月
性.
弛Ⅲ叫辜≥。铮睡“或嗽:j÷⋯÷粉寻-
②若八算)在[丁1,譬]上单调递减,则厂(聋)≤o恒成立,有
mⅢd拿以rl≥<÷o,~中环触·
综上知口E(÷,÷]u[÷,+*).
【点评】导数法恰当地控制了分类讨论的冗余度,合理地缩短了解题长度.
【例4】求函数Y=sin(sinx—COSX)的单调区间.
【解】由y=sin(sinx—co瞄)得:
,,’=c。s(sinx—c。麟)·(sir瑾+eos工)=唇in(毒+711")。c∞[届in(善一手)].
由届in(茗—"丁/T)“一A-,厄J£[一詈,号]知:0
o得:Bin(茹+百qr)>o考2蛔一q仃-<鼻<2妨+挈(七∈z);
令,,’。硝[g(圳√c善卜。舒《撼掣0>0或《焉z?。枷
台j.g(工)<一1或g(髫)>3或r12钠L一2<茹<0或0<石<2
学{::!耋或石>2或{:i芝茹2
.‘.Y=/【占(石)]的增区间为(一∞,一2)、(2,+∞)o
同理可得Y=九g(z)]的减区间为(一2,0)、(0,2).
【点评】观察这两个图象,眼花缭乱、千头万绪.但利用导数法求解,每个步骤的观察要点一目了然,改善了解答的通畅
最后,留一道三重复合函数题供读者对比体验及研习:
【练习1l-已知函数Y=八茹)(一l≤茗≤2)的图象如下,求函数
,,=人石2—1)的单调递增区间。
2.已知八x)=2+3算+2,求g(z)=Ⅱl。g}(,一缸)]的单调区问
万方数据
试用导数法求复合函数的单调区间
作者: 何亚国
作者单位: 四川省乐至县教师进修学校,四川,乐至,641500
刊名: 四川教育学院学报
英文刊名: JOURNAL OF SICHUAN COLLEGE OF EDUCATION
年,卷(期): 2008,24(z1)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_scjyxyxb2008z1012.aspx
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