第12卷第2期 达县师范高等专科学校学报(自然科学版)2002年6月
v01.12N0.2 JOImlalofm喇帅nadleBolIIege(№nlI伽sd∞ceEdi60n)JⅡ-20D2
求最值问题的几种方法
庞佑墉
(达州市一中,四川迭州635000)
【摘要】本文给出了四个带有一定条件的最值的求法,并给出了若干实例。
【关键词】单调函数;有界性;二次函数;算术一几何平均值不等式。
【中图分类号】0633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1008—4886(2002)02—0095—03
最值问题是中学数学中的一个较重要的问题。下面
谈谈几种求最值问题的方法及针对同学们习题易犯错误
加以纠正的几点体会。
一、利用~元二次函数y=“2+如+c(n≠0)求最
值.可分为:
I.无条件的二次函数的最值(自变量*没有限制)
l。若n,o.当z一去时舶。=唑≠。
竽若。co.当z=一去时.y。=堑%乎。
2.有条件的二次函数的最值(自变量z有限制),由于
z有限制,所以*=一壳不一定成立,故此时的最大值(或
最小)不一定是12%=蟹。
例i求y=c0砬*+8自n#的最值
误解:原式变形
y=l一2sin2£+8sin*
;一28in2#+8sir“+I
.。。=%≯=组警接产=。’‘J⋯一 4口 一 4x(一2) 一7分析:这时ejn#=一麦=一高=2不可能。(._.
一I≤赫nx≤1)白变量有限制√.‰。=9是错误的。
正确的解法应为:
r=一2sin2*+8sin*+l
=一2(sing+2)2+9
.‘.当sinz=l时,y晌=一9
当sinm=一l时,y一=7
例2若方程x2+(m+1)*+m+4=0的两实数根
为x.、*2,求:*{+;l的最小值(m是与z无关的实数)。
误解:由韦达定理
*I+#2=一(m+1)
。l。522m+4
.。. g}+xi=(xl+z2)2—2*m=[一(m+1)]2—
2(m+4)=m2—7
’.‘m∈R.‘.一≥o.。.z{+z;的最小值是一
7。
分析:这时“tR,’.‘方程有实数根
.。.△=62—4批≥0即(m+1)2—4(m+4)≥O
.’.m≤一3,或m≥5
正确解法为:#}+g;=m2—7
-m∈(一∞,一3]U[5,+∞)
.。.m=一3时,z{+*;有最小值是2.
二、利用基本不等式求最小值
基本不等式:n+6≥2/磊(口、6∈R+)推广为;
对n个正数。1,。2,⋯⋯,靠有
塑_±-苎d}当≥,i_石瓦成立(当且仅当————i——一≥~,。l。22⋯。n风卫L耆且仪眚
#l=92=⋯=“时,取“=”)
1.求若干个含有变量的式子的和的最小值,这时条件
是这些式子都为正,且积为常数(即定积求和的最小值)。
2.求若干个含有变量的式子的最大值,这时条件是这
些式子都为正,且和为常数(即定和求积的最大值)。
例3:设*>o,求函数y=x2+÷的最值
误解:YⅣ>O一.*2、!>O
...,=z2+詈≥2√^{=4^
当x2={时,*=知时,取“:”号
.._y。。:4~/妇:4花。
·【来稿日期】200l一1l—_4
t作者简介】虎佑墉(1948一),男,四川迭州市通川区人,迭州市一中中载一衄教师。主要从事基础教学的教学和研究。
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万方数据
20∞年第2期 庞佑墉:求最值问题的几种方法
分析:解法忽略了“定积”这一条件,即
。2.兰:4。是非定值。
正确解法:...z,o,.·.z2、{,o,而詈=号+詈
...,:z2+{:*2+詈+号≥,√*2·詈·号
:3知
.·.ym=3缸.
用基本不等式解决最值问题时要注意:一是需要满足
“为常数”这一条件,(1)中的“若干式子”的积为常数,(2)
中的“若干式子”和为常数。如果不满足,可把其中某个
(或某些)式子拆开(例3中詈拆成号+号,于是满足*2·
呈.呈:4常数条件了)或添加适当系数。再一个应注意
的问题是“能相等”,即这“若干个式子”相等得到的(若干
个)方程有解(见例4)
例4:求y=(z2+2)+≯乞的最值
误解:...*2+2>o,≯毛>o.且(z2+2)·≯毛
=1
...y=(^2)+南)≥√(*2+2)·南=
2
‘·z2+2=南时,m。2。
分析:由方程x2+2=≯毛j(*2+2)2=l在实数
内无解,即x2+2≠女·
正确解法:用观察法得y“n=2专·无最大值a
三、利用正弦(余弦)函数的有界性求最值
y=sin*,y∈[一l,1](余弦相同)应把函数最值问题
转化为形如y=^sin*+口(其中^、口为常数)。
其最值是:1.^>0时,y棚=^+日,y曲=B—A
2.^
公式可变
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形式y=^sin(“+口),利用其有界性来求极值。
解:y:。i。。,(6泸一;):告[訾+。i。(2;一6伊)]
._.当sj。(2x一6护):l时,y。:告(譬+1);
地
4
当sin(2*一静);一l时,‰:竿
若函数式古有其他三角函数时,可以把它们化成正、
余弦函数,再用例5、例6的方法变形为^sin(一+d)式,利
用其有界性来求最值问题。
四、利用函数的单调性求最值
有些函数是单调的,所以其最值应在定义域的“端点”
处取得。有些函数的最值问题,常常转化成“y=*+
警(。∈R+)型”的函数最值问题。可应用y=z+譬的
单调性去求最值。
y=z+告的单调性是:(口∈R+)
在(o,n)上是减函数,在(。,*)上是增函数。
在(一n,0)上是增函数,在(一∞,一n)上是减函数。
例7,求函数y=#+/;_二1的最小值。
解:-.,*、/*一4都是x的增函数,所以r是*的增
函数。又#=4√.ym=4,由于y是*的增函数,所以y
的最值在函数定义域时的“最小端点”处取得。再如y:x2
+*+4(o≤x≤4)是增函数,其最小值在“最小端点”』
=0处取得,最大值在“最大端点”*=4处取得。
例8,求函数y:£j!善掣的最小值。
、/一+9
姗,=隽等=麓+志=
厂:‘1+。兰一
~/*2+9
··厕、忐,o
...厕+志≥√厕×志=
2
(口+6≥2v/础)即:y。h=2
分析:忽略了~/x2+9=_=当一无解(与例3同样错
√z‘+9
误)
正确解法:令f:/而 则‘≥3
,=厕+志=。+÷
。y=£+{£≥3是增函数
.’.当f=3时,y取得最小值,m:3+{=竽。
万方数据
庞佑墉:求最值问题的几种方法2002年第2期
五、利用不等式求最值
若求的最值,可设法根据题意条件得到关于y的不等
式,求得y的取值范围,从而得到y的最值。
例9:求函数y=z+—匕(x>1)的最小值
解:所给函数化为:92一巧+y=O
’.1 z∈屁,.‘.△=铲一4∞=y2—4y≥0
’.’y≤0或y≥4当等号成立时,y取最小值
y≥4,代人原函数4=*+f生解得*=2
.’.当z=2时,y一=4例lo:求函数y=划的最值。
解:原函数转化为:(y—1)#2一(y+I)*+y—l=O
(1)
一.-X取实数
.·.△=[一(y+1)]2—4(y—1)(y—1)≥o
即3y2一10y+3≤0
.·.{≤y≤3
虽有y=1使得方程(1)的二次项系数y—l=0,但
这时一次项系数一(y+1)=一2≠O。因此函数y的值仍
为
jlf=}yI{≤y≤3l
故得y一:3y。:{
在平时教学过程中加强训练的同时,让学生
解题
的方法和技巧,可收到事半功倍的效果。
(上接第94页)
为了形成有充分价值的智能,为了使学生获得牢固的
技巧和良好的技能。在教学中就必须使形成的过程包含一
系列必需的阶段。我在平时的教学中把它分为了这样的几
个阶段,贯穿于我的教学始终。
l、学生认知所要形成的运算的定向结构阶段
在这个阶段学生注视教师怎样完成这个运算,观察各
个成分是怎样按照结构方向和指示进行的。
2、形成物质形态的运算阶段
在这个阶段学生已经开始进行运算。使学生有可能掌
握运算的内容和运算的所有成分。教师将对每个操作步骤
的完成情况进行监督。
3、形成外部语言的运算阶段
在这个阶段学生用外部语言的形式记录下运算的所
有成分。
4、在心里说出运算各个成分的运算阶段
学生按照他已知的运算定向结构,提出运算的提纲.
施行心理运算。
5、形成内在的智力运算阶段
在这个阶段,运算迅速变成难以观察到的自动化的过
程。
万方数据
求最值问题的几种方法
作者: 庞佑墉
作者单位: 达州市一中,四川,达州,635000
刊名: 达县师范高等专科学校学报
英文刊名: JOURNAL OF DAXIAN TEACHERS COLLEGE
年,卷(期): 2002,12(2)
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