求最值问题的几种方法

第12卷第2期 达县师范高等专科学校学报(自然科学版)2002年6月 v01．12N0．2 JOImlalofm喇帅nadleBolIIege(№nlI伽sd∞ceEdi60n)JⅡ-20D2 求最值问题的几种方法 庞佑墉 (达州市一中，四川迭州635000) 【摘要】本文给出了四个带有一定条件的最值的求法，并给出了若干实例。 【关键词】单调；有界性；二次函数；算术一几何平均值不等式。 【中图分类号】0633．6 【文献标识码】A 【文章编号】1008—4886(2002)02—0095—03 最值问题是中学数学中的一个较重要的问题。下面 谈谈几种求最值问题的方法及针对同学们习题易犯错误 加以纠正的几点体会。 一、利用～元二次函数y=“2+如+c(n≠0)求最 值．可分为： I．无条件的二次函数的最值(自变量*没有限制) l。若n，o．当z一去时舶。=唑≠。 竽若。co．当z=一去时．y。=堑％乎。 2．有条件的二次函数的最值(自变量z有限制)，由于 z有限制，所以*=一壳不一定成立，故此时的最大值(或 最小)不一定是12％=蟹。 例i求y=c0砬*+8自n#的最值 误解：原式变形 y=l一2sin2￡+8sin* ；一28in2#+8sir“+I ．。。=％≯=组警接产=。’‘J⋯一 4口 一 4x(一2) 一7：这时ejn#=一麦=一高=2不可能。(．_． 一I≤赫nx≤1)白变量有限制√．‰。=9是错误的。 正确的解法应为： r=一2sin2*+8sin*+l =一2(sing+2)2+9 ．‘．当sinz=l时，y晌=一9 当sinm=一l时，y一=7 例2若方程x2+(m+1)*+m+4=0的两实数根 为x．、*2，求：*{+；l的最小值(m是与z无关的实数)。 误解：由韦达定理 *I+#2=一(m+1) 。l。522m+4 ．。． g}+xi=(xl+z2)2—2*m=[一(m+1)]2— 2(m+4)=m2—7 ’．‘m∈R．‘．一≥o．。．z{+z；的最小值是一 7。 分析：这时“tR，’．‘方程有实数根 ．。．△=62—4批≥0即(m+1)2—4(m+4)≥O ．’．m≤一3，或m≥5 正确解法为：#}+g；=m2—7 -m∈(一∞，一3]U[5，+∞) ．。．m=一3时，z{+*；有最小值是2． 二、利用基本不等式求最小值 基本不等式：n+6≥2／磊(口、6∈R+)推广为； 对n个正数。1，。2，⋯⋯，靠有 塑_±-苎d}当≥，i_石瓦成立(当且仅当————i——一≥~，。l。22⋯。n风卫L耆且仪眚 #l=92=⋯=“时，取“=”) 1．求若干个含有变量的式子的和的最小值，这时条件 是这些式子都为正，且积为常数(即定积求和的最小值)。 2．求若干个含有变量的式子的最大值，这时条件是这 些式子都为正，且和为常数(即定和求积的最大值)。 例3：设*>o，求函数y=x2+÷的最值 误解：YⅣ>O一．*2、!>O ．．．，=z2+詈≥2√^{=4^ 当x2={时，*=知时，取“：”号 ．．_y。。：4~／妇：4花。 ·【来稿日期】200l一1l—_4 t作者简介】虎佑墉(1948一)，男，四川迭州市通川区人，迭州市一中中载一衄教师。主要从事基础教学的教学和研究。 95 万方数据 20∞年第2期 庞佑墉：求最值问题的几种方法 分析：解法忽略了“定积”这一条件，即 。2．兰：4。是非定值。 正确解法：．．．z，o，．·．z2、{，o，而詈=号+詈 ．．．，：z2+{：*2+詈+号≥，√*2·詈·号 ：3知 ．·．ym=3缸． 用基本不等式解决最值问题时要注意：一是需要满足 “为常数”这一条件，(1)中的“若干式子”的积为常数，(2) 中的“若干式子”和为常数。如果不满足，可把其中某个 (或某些)式子拆开(例3中詈拆成号+号，于是满足*2· 呈．呈：4常数条件了)或添加适当系数。再一个应注意 的问题是“能相等”，即这“若干个式子”相等得到的(若干 个)方程有解(见例4) 例4：求y=(z2+2)+≯乞的最值 误解：．．．*2+2>o，≯毛>o．且(z2+2)·≯毛 =1 ．．．y=(^2)+南)≥√(*2+2)·南= 2 ‘·z2+2=南时，m。2。 分析：由方程x2+2=≯毛j(*2+2)2=l在实数 内无解，即x2+2≠女· 正确解法：用观察法得y“n=2专·无最大值a 三、利用正弦(余弦)函数的有界性求最值 y=sin*，y∈[一l，1](余弦相同)应把函数最值问题 转化为形如y=^sin*+口(其中^、口为常数)。 其最值是：1．^>0时，y棚=^+日，y曲=B—A 2．^1)的最小值 解：所给函数化为：92一巧+y=O ’．1 z∈屁，．‘．△=铲一4∞=y2—4y≥0 ’．’y≤0或y≥4当等号成立时，y取最小值 y≥4，代人原函数4=*+f生解得*=2 ．’．当z=2时，y一=4例lo：求函数y=划的最值。 解：原函数转化为：(y—1)#2一(y+I)*+y—l=O (1) 一．-X取实数 ．·．△=[一(y+1)]2—4(y—1)(y—1)≥o 即3y2一10y+3≤0 ．·．{≤y≤3 虽有y=1使得方程(1)的二次项系数y—l=0，但 这时一次项系数一(y+1)=一2≠O。因此函数y的值仍 为 jlf=}yI{≤y≤3l 故得y一：3y。：{ 在平时教学过程中加强训练的同时，让学生

总结

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解题 的方法和技巧，可收到事半功倍的效果。 (上接第94页) 为了形成有充分价值的智能，为了使学生获得牢固的 技巧和良好的技能。在教学中就必须使形成的过程包含一 系列必需的阶段。我在平时的教学中把它分为了这样的几 个阶段，贯穿于我的教学始终。 l、学生认知所要形成的运算的定向结构阶段 在这个阶段学生注视教师怎样完成这个运算，观察各 个成分是怎样按照结构方向和指示进行的。 2、形成物质形态的运算阶段 在这个阶段学生已经开始进行运算。使学生有可能掌 握运算的

内容

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和运算的所有成分。教师将对每个操作步骤 的完成情况进行监督。 3、形成外部语言的运算阶段 在这个阶段学生用外部语言的形式记录下运算的所 有成分。 4、在心里说出运算各个成分的运算阶段 学生按照他已知的运算定向结构，提出运算的提纲． 施行心理运算。 5、形成内在的智力运算阶段 在这个阶段，运算迅速变成难以观察到的自动化的过 程。 万方数据 求最值问题的几种方法 作者： 庞佑墉 作者单位： 达州市一中,四川,达州,635000 刊名： 达县师范高等专科学校学报 英文刊名： JOURNAL OF DAXIAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)： 2002,12(2) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsfgdzkxxxb200202038.aspx