对求最值问题方法的探讨

蒙胜明 (山东省韶关市仁化中学512000) 最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中经常 遇到的’类特殊的数学问题，所谓“多、快、好、省”就属于这一 类问题。在中学课本中虽然这一类问题没单独列出章节专门讲授， 可是它却与中学数学中众多的知识和方法紧密相关。比如：二次 数、不等式、函数的有界性等有关知识和方法的运用。所以，最大 值和最小值问题就在高考数学的考查中占有了比较重要的地位。另 外，最大值和最小值问题的另一个显著特点是它的广泛的应用性和 实用性。很多实际问题的解决可以归结为一个数学上的最大值或最 小值问题的求解，这类实际问题的求解，将有利于学生把实际问题 抽象成数学问题的训练，有利于问题和解决问题能力的培养， 有利于数学应用意识的形成。从近几年的高考“在考查知识的同 时，逐步加强r对能力的考查”的趋势看，高考将注重检查考生对 所学课程内容能够融会贯通所达到的程度。从这一角度看，最大值 最小值应用问题在高考数学试卷中仍是一个热点。 因此，我们应该总结一下最大、最小值问题的题解方法和技 巧。现根据不同的题型，分别介绍以下： 一、利用三角函数的有界性求最值 若xER，那么lsinxI≤1，lCOSXl≤1。这是三角函数的有界 性，它是二角函数的一个重要性质。在求解数学问题时有着十分广 泛的应用，特别是在求最值问题时能发挥的作用更大。 例h已知sina+sinp+siny=2， 求u-sin2叶sin2p+sin2丫+2sin叶sinp+sin丫的最大值。 分析：在这道题中，变量多，关系式复杂，运用常规的方法解 题有些困难，但我们口丁以考虑从三角函数的有界性出发，沟通已知 与未知之间的内在联系。 解：根据正弦函数的有界性得： (sina-1)(卜sinB)≤O RPsina+sinB-lR0 由于y---4X--X3=X(4一x2)得： 产x2(4一f)2-妻·2x2(4-x2)(4-】【2) ≤三[兰￡±丝=!!±丝二12]。：三．旦：坐 2。 3 。227 27 当且仅当2xz：4一x2，即x=竽时，yz的最小值为孕，因为 j 二， ．，C Oo。所以y的最大值为三竺竺。 9 从上例不难看出，用平均值定理求最值时，一定要注意定理 的使用条件。否则，尽管技巧用得自然，也一样不能得出正确的结 果。 三、用圆求最值 在圆中，有不少的问题与最值有关系。如，同圆中有最大的 弦，弦心距有最大值和最小值；面积‘一定的平面图形中，圆的周长 最短；两端点在圆周上，且平分该圆面积的各线中直线最短；弦的 同侧各点对同弦的视角中，圆周角大于圆内角，这些是我们用圆求 最值的主要依据。 例3：已知两线l，m满足12+m2=k2(k>O，k为定值)试求1+m的 最大值。 分析：因为12+m2=k2， 且k>O为定值，故可作△ABC，使AB=k，AC=I，BC=m，则 么C=90。，因而本题的实质，就是要在AB(k)为斜边的直角三角形 中，求两直角边之和的最大值。 解：作半圆AB使AB=k(如图)在AB上任 取一点C，则Rt△ABC中，Re2+BC2=k2=12+in2， 则延长Ac至P使CP--CB，则么13=45。。 所以点P的轨迹是以AB为弦，内接角为 45。的弓形弧，即以AB的中心C为圆心，c’A 为半径的弓形弧APB，延长AC’，交APB于 Q，lItlc’O=C’B，于是 (1+m)。，=AC’+BC7=AO=42k． 这是因为在OC’(C’A)中，直径AQ大于任意弦AP。 分析：先将问题化归为“在斜边一定的直角三角形中，求两 直角边和的最大值。”再利用“在确定的弓形弧中直径是最大的 弦。”这是因为两者都是以点的轨迹为基础。 四、利用点到直线的距离公式求最值 在求解某些最值问题时，应用点到直线的距离公式，可使抽象 问题直观化，并能简化解题过程，提高解题速度。 l 例4：已知f(u)《+au+(b一2)，其中”=工+二(xER，x≠O)若 万方数据 a、b是可使方程f(x)卸至少有一个实根的实数，求a?十b2的最小值。 解：‘．．u-x+二 ．．．Iul≥2． 所以a，b是使u2+au+b一2=0，至少有～绝对值大于等于2的实根 的实数，视u2+au+b一2=0为一直线1的方程，a2+b2的几何意义为直线l 上的点(a，b)到坐标点o(o，o)距离的平方，因为点到直线的距离 是该点与直线上的点之间的距离的最小值，故 厕铸I=等1=而一南1疗三45√u2+ √“2+、～2+ 当u2：4时，取到最小值，i故a2+62≥·污一去)2=詈， 从而(a2柑)rain=； 五、利用判别式法求最值 把函数的关系式化为关于X的二次方程，由于方程有实数解， 故判别式大于或等于零。利用A>10求得函数Y的值域，常用形如 y=甜+b±．f-磊+dx+一l，y=石嘉石+√孺及y=磊ax丐X+而bx+c的 函数。 例5：求函数Y=靠一2-4-,／9-2x的最值。 解：．．．Y：√i忑+√函的定义域是[2，昙]将原式两边平 方并整理得：_l，2+工一7=24-2x2+13x一18 再平方，并整理得： 9x2—2(33一Y2协+04—14y2+121)=0(1) ‘?x∈R，．．．△>10， 即【2(33一y2)】2—360，一14y2+121)=x6y2(15-2y2)≥0 显然，函数Y不可能为零及负值。 ．．．ocy≤孚 将y：掣代入上述方程(1)求得x：i17，此时工∈【2’争，故知 当工：!三时，函数y取得最大值为掣。 O 2 注意：利用此法时，曾将原式两边同时平方，原函数的定义域 和值域有可能发生变化，因此需要检查最值对应的值是否在原函数 的定义域内。 六、利用微积分求最值 定理： (最大值，最小值定理)若函数f在闭区间[a，b]上连 续，则f在[a，b]上存在最大值与最小值。 这个定理给出了最大值和最小值存在的充分条件。最大 (小)值一定是极大(小)值，反之则不一定，所以求函数f在区 间I上的最大(小)值，可以先求出f在区间I上的极值点，从而再从 极值点中确定函数的最大(小)值。 综上所述，若函数f在区间I上存在最大(小)值，则求最大值 (小)值的

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是：求出f在I上所有的稳定点，不可导点及区间端 点(指属于I的)，比较这些点的函数值，或根据题意作出判断。 例6：从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的 正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖盒子，问要截去多 大的小方块，方使盒子的容量最大? 分析：这是一道关于生产实践和科学实践的题目，如果我们单 纯从代数思想或几何思想的角度去考虑它，是相对比较难入手的， 但若我们能转化思想角度应用微积分来 么题目也就可以迎刃而解了。 解： 用x

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示戳去小正方形的边长 子的容积为： 、，=】【(a-2x)2 x∈[0，兰] 二 现求x的值使v取得最大值，为此求 的导数： —d-v=(a-2x)2+x·2(a_2x)卜2) ax =a2_4ax+4x2+(2ax一4x2)(-2) =a2-8ax+12x2 =(a-2x)(a--6x) 令宰=(a-2x)(a-6x)=o． 4X 得到函数①在[o，号]上的稳定点x：詈、詈，这样易见x：詈是 使v取得最大值的点，也就是说当正方形的四个角各剪去一块边长 为i的小正方形，能做成一个容积最大的盒子。 上面对求最大、最小值的一些方法和技巧作了一些归纳和整 理。方法和技巧着重于灵活运用，在解题过程中，我们要进一步探 索规律，总结方法，从而迅速、准确地解决不同类的命题，不断提 高分析问题和解决问题能力。 参考文献 1．郑英元，毛羽辉．《数学分析》(．上册)．宋国栋编高等教育出版社． 2．《

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代数》(下册)．人民教育出版社． 187 |．●●I a●●●L 万方数据 对求最值问题方法的探讨 作者： 蒙胜明 作者单位： 山东省韶关市仁化中学,512000 刊名： 学周刊B版 英文刊名： LEARNING WEEK 年，卷(期)： 2010(9) 参考文献(2条) 1.高中代数 2.郑英元;毛羽辉;宋国栋 数学分析 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xzk-b201009217.aspx