有关线性城市差异化产品模型的深入探讨

Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui翻译 1 耶鲁大学公开课：博弈论 有关线性城市差异化产品模型的深入探讨 Ben Polak, Econ 159a/MGT522a. 由人人影视博弈论制作组 Darrencui翻译 模型介绍：  模型中我们假设一座城市是一条街道（一条线段）  有两家公司：公司 1和公司 2。他们分别位于街道（线段）的两端 - 两家公司同时分别制定产品价格 和 - 两家公司的边际成本是一个常数 - 每家公司都追求利润最大化  潜在顾客平均分布在这条街道上，在每一点上都有一个潜在顾客 - 把顾客群的总数看成是 1（或者可以把它理解成整个市场份额）  每位顾客都只购买 1单位的产品，要么买公司 1的，要么买公司 2的 - 当且仅当满足下列条件时，处于位置 y的顾客才会选择公司 1的产品 （1） 对于模型的解读：顾客需要同时考虑价格和与公司的距离这两个因素。如果把线段想象成现实中 的道路的话，我们可以用 距离 来示到该公司的交通成本。或者，如果把线段想象成产品 某方面的质量（比如冰激凌中的脂肪含量），那么此时 差异 就表示产品实际体验与顾客最 佳预期之间的差异。从顾客的角度上看，参数 越大，那么两家公司生产的产品的差异也就越大。 如果 ，那么这两种产品就是完全替代品。 下面我们需要考虑什么呢？  任何一家公司 都不会按照 来给产品定价，为什么呢？  如果公司 2定价为 ，那么只要公司 1的定价小于 ，就可以垄断整个市场，为什么 呢？ - 也就是说低于 的定价并不是公司 1的最佳对策  如果公司 1定价高于 会不会获得更多的收益呢？ - 坏消息是这样做的话公司 1必须放弃一部分市场份额 - 好消息是每一位公司 1的顾客都会付更多的钱  想要解答这些问题，我们需要计算公司 1在不同定价下的市场份额（以及利润）。 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui翻译 2 两家公司分摊市场份额时的需求及利润：假如 和 非常接近，导致两家公司分摊市场份额。这 种情况下如何计算公司 1分摊到了多少顾客呢？  解答过程如下：首先我们找到位于 一位中立的顾客 在她左边的顾客 严格偏好购买公司 1的产品 在她右边的顾客 严格偏好购买公司 2的产品 想要找到 ，需要用到表达式(1)。令 。解出 就可以得出在价格接近的 情况下，消费者对于公司 1产品的需求。 (2) 接下来就可以根据需求函数计算公司 1的利润了。在价格接近的情况下，公司 1的利润是： (3) 公司 1的最佳对策：对于不同的 ,公司 1的最佳对策是什么呢？通过表达式（3）我们至少可以 算出来在价格接近的情况下， 如何取值可以使公司 1的利润方程取最大值。根据微积分的乘法 ，可以得到一阶条件： ( ) (4) 整理化简后得： （5） （顺便说一下，这个价格刚好是完全竞争价格 与公司 2垄断价格 的平均数。同理可知，如 果一家垄断企业面对 这样的线性需求曲线并且边际成本是常数时，垄断价格就是 ， 即是完全竞争价格 与零需求价格 的平均数） 绘制最佳对策函数的图像：参见图 1 1． 首先画出 这条图线。公司 1的最佳对策方程 不会出现在该图线的左边。为 什么呢？ 2． 然后画出 这条图线。 不会出现在该图线的右边。为什么呢？ 3． 下一步，根据表达式（5）绘制出 这条图线。  为了绘制方便，需注意当 时，可以得出 。先绘制出这一点  然后注意 每增加一单位， 增加 0.5单位。绘制出这条图线来 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui翻译 3 最佳对策方程的大致图像在图像 1中用粗线表示。（之所以说它是大致图像原因如下：a.当 非 常小的情况下，公司 1最佳对策是在保证零需求时，定价可以无限高；b. 当 非常大的情况下， 公司 1的最佳对策是价格从左侧逐渐接近 图线，如图中 t所示） 寻找纳什均衡：由于这个模型是对称的，公司 2的最佳对策可以通过把公司 1的最佳对策图线根 据 45°线对称绘制出来。图 2 包含了两家公司的最佳对策图线图。纳什均衡就是两条图线的交点。  想要具体算出该点的坐标，只需带入 到表达式（5）中，可得 即 大家不妨自己尝试画出不同 值下的函数图像，来验证一下纳什均衡价格是不是与通过代数方法求 得的值一致。 经济学意义：回忆一下所学的伯川德模型。大家都同意该模型中存在着价格竞争现象，但我们不 是很赞同它的结论：只需两家公司就可以通过价格竞争使 。通过引入差异化产品，我们可 以保证在该模型依然存在价格竞争的情况下，得出比较令人信服的结论来：  均衡价格并不等于成本，而是高于成本 单位价格 - 交通成本 越大，均衡价格也就越大（因此利润也就越大） - 如果不存在交通成本和差异成本（也就是说产品是同质的），那么均衡价格就等于 边际成本 - 公司都希望产品之间存在差异  这里我们令市场中公司的数量保持不变，如果有新的公司进入市场结果就不同了。 博弈论结论： 1． 首先我们学到的了“现实一点”地思考可以使结论更具有说服力。当我们排除了完全替代 品这一个极端假设后，这个模型就更具有现实意义了。 2． 我们研究模型的方法是很典型的。这个模型是一个足够复杂的模型，因为初次遇到这个模 型的时候大家并不知道结果会是怎样的。然而通过按照我们在课堂上讲的方法（找出最佳 对策，然后求出交点在哪里等）进行分析后，再来研究该模型就相对容易些了。 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui翻译 4