可逆矩阵的判定及求法
第27卷 第3期
2011年 3月
赤 峰 学 院 学 报 (自然 科 学 版 )
Journal of Chffeng University(Natural Science Edition)
V01.27 No.3
Mar.201l
可逆矩阵的判定及求法
张爱萍
(吕梁学院 汾阳师范分校数学与科学系,山西 吕梁 032200)
摘 要:在高等代数中,矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念,特别是可逆矩阵已成为代数特别是高等
代数的一备主要研究对象,必需深入了解.求逆矩阵的方法有定义法、...
第27卷 第3期
2011年 3月
赤 峰 学 院 学 报 (自然 科 学 版 )
Journal of Chffeng University(Natural Science Edition)
V01.27 No.3
Mar.201l
可逆矩阵的判定及求法
张爱萍
(吕梁学院 汾阳师范分校
与科学系,山西 吕梁 032200)
摘 要:在高等代数中,矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念,特别是可逆矩阵已成为代数特别是高等
代数的一备主要研究对象,必需深入了解.求逆矩阵的方法有定义法、公式法、初等变换法、分块矩阵求逆法等,本文将提供这
几种方法供大家参考.
关键词:可逆矩阵;定义法;公式法;初等变换法;分块矩阵求逆法
中图分类号:0151.2 文献标识码:A 文章编号:1673—260X(2011)03—0012-02
逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念 ,必须深入理解.
关于逆矩阵的一条基本定理是:方阵A可逆臼lAI≠0,且当
A可逆时,有A-I=牟A .求逆矩阵的方法有定义法、公式法、
n
初等变换法、分块矩阵求逆法等,其中,初等变换法是求逆
矩阵的基本方法.
1 基本概念与判定、性质
1.1 逆矩阵的定义
对于 n级方阵 A,如果存在 n级方阵 B,使得
AB=BA=E,则称 A是可逆矩阵(可逆的),称 B为 A的逆矩
阵并记为A一,即A =B.
注 可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且 A 与 A为
同阶方阵,即 从 一=A4A=E.
1.2 可逆矩阵的判别
方阵 A可逆甘lAl≠0甘有 B使 AB=E且 A一 =B§有 B
使 BA=E且 A =B
注 当IAI≠0时称 A为非奇异矩阵,否则称 A为奇异
矩阵,因此方阵 A可逆与方阵 A非奇异是等价的概念.
1.3 可逆矩阵的性质
(1)若A可逆,则A 也可逆且(A一 =A;
(2)若A可逆,则A 也可逆且(A1) =(A )
(3)若 A可逆,数 ≠0,则 hA也可逆且 A) = A ;
(4)若 A,B都可逆,则 AB也可逆且(AB)一 =B一 A~.可推广
为
若 A ,A!,⋯A 均可逆,则A。, ⋯,A 可逆且(A ⋯
= A A-卜l一 ⋯Al-t;
(5)若 A可逆,则 IA—q=lAI一1;
(6)若A可逆,则 A— = 一 ;
12一
注1 若A,B为同阶的可逆矩阵,则A+B不一定可逆.
如A=[ 】,B=[ 】均可逆,但A+B=
【 j不可逆。
注 2 (4)的逆命
成立,即若 AB可逆,则 A,B也可逆.
这是因为:由于 AB可逆,IABI=IAIIBI≠O,有 IAI≠0且 IBI≠0,
所以A,B逆也可.
2 求逆矩阵的求法
2.1 定义法
定义:n级方阵A称为是可逆的,如果存在n级方阵B,
使得 AB=BA=E,且 A-'=B.
这里E是n级单位矩阵.
利用定义,凑的方法,当条件中有矩阵方程时,通过矩
阵运算规律从矩阵方程中凑出AB=E(或BA+E)的形式,从
而可得A—t=B.这一方法适用于抽象矩阵求逆.
例1设A=【 a b】,ad—bc;求 .
解 因为 lAJ=ad—bc=l≠0 所以 A可逆.
设A的逆矩阵为B=【X wy],由AB=BA=E,得
ax+bz=xa+ye=l
ay+bw=xb+dy=O
。解得:
cx+dz=za+we=0
cv+dw=zb+wd=1
所以A-l=B=(一d - b】.
注释:定义法一般适用于求二级,三级可逆方阵的逆矩
阵,级数高的可逆矩阵不采取这种方法.因为矩阵的级数越
大,方程组所含的方程越多,解方程就越困难,由此带来的
计 算 量一 股 是 非 帘 大 肋.
2.2 公式法
当 n级方阵A可逆时 ,有 A-l: A ,(d=IAI≠o).其中 A
a
是 A的伴随矩阵.
例2设A:『 -012 1 1’/求 . 例2设A=1 0 I,求A一.
【 1 —1 0 J
解A的伴随矩阵A =[ 0 1二1 】,又 =s,所
以由公式A-l=牟A ,得
a
A-l= 1 A
:
j
o } }
0}号
一 一 }
注释:由于计算 A 需计算 n!个 n一1阶行列式,同时还
要计算 ,计算量较大,且容易出错,因此用公式法求矩阵
的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵,以及
理论问题.例如二级、三级矩阵就适用公式法,四级矩阵用此
法就比较麻烦.
2.3 初等变换法
(1)初等行变换法
因为当n级方阵 A可逆时 ,A可由初等行变换化成单
位矩阵,即 ⋯P A=E.
于是 P ⋯P。E=Aq,这里 P ,⋯P 都是初等矩阵,可见
A =p P l⋯Pl
即有【A,E】_——— (P 。⋯P。A,PsP 。⋯P E)=(E,A。)
(2)初等列变换法:仿 1的分析可得到
(金) 1 E)
设x:[; J,求x~.
解 对下列矩阵始终施行初等行变换:
(x )=[ 卜⋯一[ 三 J
故x =[三 】
注释 注意用初等行变换法求 A一一时,对(x;E)只能施
行一系列初等行变换,而不能用初等列变换同理对(含)只
能施行一系列初等列变换,而不能用初等行变换.
2.4 分块求逆法
由于计算和讨论问题的需要 ,在处理大型矩阵时,常常
采用对矩阵分块的方法.因为把矩阵分块,可以使型号大的
矩阵的运算化为型号小的矩阵的运算,即只需把子块当作
元素来进行运算,并按通常矩阵的加(减)法、数乘、乘法等
法则进行运算,这种运算上的抽象性及究竟如何对矩阵进
行分块等问题 ,就使得分块矩阵形成了学习上的一个难点.
特别要注意的是,在做分块的乘法时,应使左矩阵上列的分
块方式与右矩阵上行的分块方式一致.对于某些特殊矩阵,
利用分块矩阵求其逆矩阵,有时是很方便的,比用其他方法
要快,要准确.若遇到以下形式的矩阵,我们可以采取以下方
法.
(1)若 A,B均为可逆方阵时,则
『A O 1 f A O 】f O A 1 『O B ]
l O B J —l O B ¨ B O J一【A O J’
『O A 1 『O B 1
【B O J 一【A O J’
(2)一般地 ,若方 阵 A ,A:,⋯,A 均可逆 ,则有
利用以上四种方法都初等行变换能求出可逆矩阵的逆
矩阵,但相对而言,初等行变换法应用起来更方便 ,更简单,
而且不容易出错做 我们在解题过程中一般采取初等行变换
法.
参考文献 :
[1]北 京大学数 学系几何与代数教研 室前代数 小组.高等代
数[M】.北京.高等教育出版社,1978:78—79.
[2]王品超.高等代数新方法 【M】.中国矿业大学出版社,
2003:6.
[3]李帅正.高等代数解题方法与技窍fM].高等教育出版社,
2004:2.
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