第七讲 火柴棍游戏

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思奥数讲义组 第七讲 火柴棍游戏 教学目标 本讲主要介绍用火柴棒摆放数字、数学算式与符号，主要学习移动或者添、去几根火柴棍使算式变 为等式. 1、移动火柴棍解决数学问题； 2、添或去火柴棍解决数学问题． 东东用火柴棒摆出下面的算式，西西说：“我可以用 4 根火柴捧 示一些加减运算符号，然后把这 4 根火柴棒放到数字 l 至 9 中间去，使最终的运算结果等于 l00．”东东觉得很不可思议， 你觉得可能吗？ 想 挑 战 吗 ？ 分析：用 4根火柴棒可以组成 2 个“＋”号或 4 个“－”号，或者 l 个“＋” 号和 2 个“－”号．再看结果 100，它可能是和或者是差．经过分析和推理， 只能用 4 根火柴棒组成 l 个“＋”号和 2 个“－”号，才能使结果等于 100． 123－45－67＋89＝100 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 59 小小火柴棒，同学们都非常熟悉，也都知道它的作用，而用火柴棒来做数 学游戏，同学们可能还不知道，使用它可以变化出不少有趣的算式和图，在变 化中，帮你去探索变化无穷的数学世界，了解数学的奇妙，增长你的聪明和才 智．下面我们一起来学习吧． 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 专题精讲 用火柴棍摆成的一些数字和运算符号，可以通过动一根火柴，它的变化规律一般为： （1）添，添加一根火柴，可变 为 ，变 为 ，变 为 ，还可以在数前、数后添上 ， 另外，可以把“ ”号变为“ ”号，把“ ”变为“ ”号，在两个数之间增加“ ”号 等． （2）去，“去”是“添”的反面，要去掉一根火柴棍，常可以变“ ”为“ ”，变“ ”为 “ ”，变“ ”为“ ”，变“ ”为“ ”，变“ ”为“ ”.还可以去掉数字前面或后 面的“ ”，以及数字之间的“ ”号等. （3）移，“移”是“去”和“添”的结合，移动火柴棍时，要保证火柴的根数没有变化.如“ ” 与“ ”之间，“ ”与“ ”之间，“ ”与“ ”之间，“ ”与“ ”之间，“ ” 与“ ”之间都可以互相转化，等等． 根据以上的数字、符号变化规律，就可以解决一些火柴棍儿搭出的数学问题了． 例1 （学而思题库）下列各式中的数字与符号都是由火柴棍儿搭成的，你能只移动一根火柴，就使 得下面的等式成立吗？ 分析：①题中，观察算式两边，等号左边计算的结果是 641，右边计算的结果是 141，所 以基本想法是通过移动火柴棍，使左边减小而右边增加.注意到，如果把左边的减数 121 变成 21，则左边的计算结果是 741，且被拿掉一根火柴，右边 141 中，添上这根火柴， 恰好变成 741，于是等式成立． ②题中，左边的计算结果是三位数，而右边是五位数，既使将右边万位上的 1 或十 位上的 1 移到左边 422 的前面，算式也不能成立.所以想到，应该把右边的五位数变成三 位数与一位数的和，只能是“177＋2”或“1＋712”，从而使右边变为三位数.计算左边， 结果是 287，所以，将 17712 变成“1＋712”不行，只能考虑从左边移一根火柴到右边，使右边变成“177 ＋2”，即 179.这需要把左边减小一些.试着把左边的“＋”号变为“－”号，则左边为 422—27×7—27×2，计算得 179，满足算式． 例2 （学而思题库）小马虎用火柴棍摆了四个算式，但是都是错误的，现在有 4 根火柴，你能每个算 式只添一根火柴，把算式改成正确的等式吗？相信你可以的． （1） （2） 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 60 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 （3） （4） 分析：我们先来想一想：l7×2＝34，34>22，要添 l 根，使(1)成立，你有什么想法呢? 类似地，看看 下面的几个题如何思考? 添上一根火柴棒使 7 变成 2，第(1)个式子成为正确等式 12×2－2＝22． 把 1 变成 7，第(2)式变为等式 4＋4＋7×2＝22． 把 217 变成 2×7，第(3)式变为等式 2×7＋7＝21． 把－变成＋后，第(4)式变为等式 7＋4＋4×4＝27． [巩固]圣诞老人用火柴棍摆了四个算式，它们很神奇， 你只需要拿走一根，就可以把算式变成正确的 等式，快来试试吧． （1） （2） （3） （4） 分析：(1)把“＋”变成“一”，式子变为等式：4×4－4＝12． (2)把 2 变成 7，式子变为等式：1＋4＋7＝12． (3)把 2 变成 7，式子变为等式：4×7－4＝24． (4)把 4 变成“＋”，式子变为等式：4＋4＋4＝12． 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 61 例3 （学而思题库）添一根或去一根火柴，使等式成立，你能做到吗？ 分析：①题中，只有一个四位数 1244，且它是减数，其余的数都是三位数，所以，我 们首先想到，要把 1244 千位上的 1 去掉，使它变成三位数.这时，等式左边是：772－ 244－417，计算的结果恰好就是 111.等式成立.①题中，由于减数是四位数 1244，我们 又可以想到在被减数的前面添加一根火柴，使它变成 1772.这样，算式左边变为 1772 －1244－417，计算的结果也是 111，等式仍然成立.所以①题有两个． 到底是添一根还 是去一根呢？ ②题中，原式左边的计算结果是四位数，右边的运算结果是 109.所以，使左边减 小是做这道题的想法，左边，12×7＝ 84，所以，应该有 4421 变成 25，注意到拿掉百位 4 上的一根火 柴即可变为“4＋21”，从而满足等式． ①（1）去掉一根火柴棍： （2）添加一根火柴棍： ②去掉一根火柴棍： 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 [前铺] 添一根或去一根火柴，使等式成立 （1） （2） 分析： 到底是添一根还是去一根，题目中没有明确指定，我们可以先考虑其中一种，再考虑另一种． （1）添一根使 1变为 7． 2×1＋4－4＝14→2×7＋4－4＝14 （2）把 444 中间的 4变为“＋”，即去一根． 2×444＋12＝24→2×4＋4＋12＝24 例4 （学而思题库）一天，几个小动物来到数学王国的城门，看到城门上贴着一张 告示，上面写着，“如果想进入我的王国，必须答对下面的问题：用火柴棍摆 出所有的千位为 1 的四位数，且每个数位上的数字各不相同，计算它们的和， 并用火柴棍摆出这个等式．”小动物们想了半天都没想出来，可是他们都想进 入王国，同学们你能帮助它们吗？ 分析：解决这个问题分两步： 先用火柴摆出所有的以 1 开头的四位数，由于火柴棍可摆的数字只有 1、2、4、7，为保证不重、 不漏地写出它们摆出的所有的以 1 开头的四位数，可以按从小到大（或从大到小）的顺序来写，它们是 1247、1274、1427、1472、1724、1742 共六个，计算它们的和为 8886． 再用火柴棍摆出这个等式，要把它们用火柴棍摆出来，关键是把 8886 用 1、2、4、7 表示，观察发 现：8886＝4444×2－2 用火柴棍摆出所有以 1 开头的四位数是： 求它们和的等式可以表示为： 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 62 例5 （学而思题库） 移动两根火柴，使下面的算式变成等式. 分析： ①题中，12×4＝48，而最后一个数是 24，通过移一根火柴，可改成 44，观察算式知，可将 14 中的 1 移到 24 前面的“－”号上，变为等式． ②题中，有一个四位数，一个五位数，其他是三位数，所以，可将所有数都化为不超过三位，做如 下的移动，即将 1112×2＋11144 变为 112×2＋1＋114.这时，112×2＋1＋114＝339，而 339—222＝ 117，所以只要把 117 前面的“＋”变为“＝”号即可． ①题的答案是： 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 ②题的答案是： 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 63 l、2、3、4、5、6、7、8、9、0 这十个数字，是我们在学数学的时候，在生活中，随时都可以看 到的．我们也管它们叫“阿拉伯数宁”．如果问起你为什么它要叫这个名字，你也许会毫不犹豫地说： “当然是因为它们是阿拉伯人发明的啦!”不过，你们知道吗，“阿拉伯数字”其实并不是阿拉伯人发明 的，这是一个历史的误会．其实，这些数字，在公元前三世纪的时候就已经被印度人确定和应用了． 阿拉伯人对数学研究作出了很多的历史贡献，而在当时，欧洲还正处在中世纪的时代，宗教思想占 绝对的统治地位，科学研究得不到发展．不过欧洲的一些学者们还是通过从阿拉伯传来的书籍中得到了 科学知识．通过这些书籍，欧洲人熟悉了几乎整个古代世界的数学创造，但在一开始的时候，却把它们 全都当成了阿拉伯数学的成就．他们把经过阿拉伯人改进的印度数字，也当成是阿拉伯数学家的发明， 所以给它起了个名字，叫“阿拉伯数字”．后来，人们知道弄错了，但是“阿拉伯数字”这个名字已经 叫开，而且成了习惯，改不过来了．所以，我们现在还是叫它“阿拉伯数字”． 例6 （学而思题库）在下面由火柴摆成的算式中，移动两根火柴使等式成立． 分析：①题中，等号左边有一个四位数 1112，而其他的数都是两位数，所以，基本想法是把这个四位 数变成两位数，或把它变成三位数，再把其他一个数变成三位数.观察算式注意到，等号右边是 42，而 等号左边第一个数是 41，如果能把“－1112＋ 11”的计算结果凑成“＋1”，就可以了，可以这样变： “＋112—111”，就满足了算式． ②题中，等号左边有一个减数是 1222，而其他数都是三位数.所以应考虑把 1222 中的 1 移走.观察 算式，可考虑把 1 移到它前面的“—”号上，则算式变成： 222＋222＋222＋711＝177 显然，如果把 711 中的 7 变为 1，而添在 177 上，变为 777，则等式成立． ①题的答案是： ②题的答案是： 多退少补 每次上体育课之前，老师总是先让学生们绕操场跑 5 圈来热身． 一次刚跑到 4 圈时，学生们已经是气喘吁吁，步履艰难了．他们注意到，老师正在和别人 说话，似乎没有注意到他们．于是，一个大胆的学生跑到操场边，向老师报告说：“老师，我 们已经跑了 7 圈了，怎么还不让停啊？” “是吗？”老师看上去很吃惊，“全体向后转！把多跑的那两圈退回来！” 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 64 刚才我们在“想挑战吗？”已经学习了数字高度是 2 根火柴的摆法，如下所示： 同学们肯定想出来了，许多电子显示屏幕上的数字就是这样的．我们当然还可以搭 出更高的数字，但是没有什么意义，所以我们只考虑这两种高度的火柴棍游戏． 例7 （2008“数学解题能力展示"读者评选活动三年级组初赛） 用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用 根火 柴． 分析：“1”所用的火柴棍是 2 根，数目最少，所以要尽可能多用，即 1－1＝0 和 2－1＝1，最少共用 5 ＋1＋2＋2＋2＝12(根) 火柴棍. 例8 （学而思题库）下面是由火柴棍组成的十个数字和三个运算符号： （1）移动一根火柴，使下列公元年份相等． ① ② （2）添上一根火柴，使下列等式成立． ① ② ③ 分析：（1）移动一根火柴，使左右两个公元年份数相等，就是在一个数字上拿走一根火柴，放在另一 个数字上． ①移动原式中等号左边“8”里的一根，使 8 变为 9；放在等号右边的“5”里，使 5 变 成 9，就是 1996＝1996 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 也可以移动原式中等号左边“8”里的一根，使 8 变为 6；放在等号右边的“5”里，使 5 变成 6，就是 1966＝1966 ②移动原式中等号右边“6”里的一根，使 6 变成 5；放在等号左边靠近 5 的“9”里，使 9 变为 8，就 是 1985＝1985 (2)添上一根火柴，就是在原式中的某一个数字上加上一根火柴． ①将原式中的“6”上加一根火柴，使 6 变成 8，就是 18＋4＝22 ②将原式中的“3”上加一根火柴，使 3 变为 9，就是 19－7＝12 ③将原式中的“15”里的“5”上加一根火柴，使 15 变为 19，就是 19×5＝95 例9 （学而思题库）下图方格里的数字，都是用火柴棒组成的，请你移动其中的一根火柴，使每一横 行和竖行里的数字相加和都相等． 分析：3 个横行的数字和分别是 10，16，10，3 个竖行的数字和分别是 8、l8、10，相等的和是 l0，那 么，肯定要将第 2 行的前两个数字进行调整． 例10 （日本第十四届算术竞赛低年级组） 有一架电子秤，有四个数位，可以称量 0000 到 9999 的整数克的重量．每一个数位上有 7 根荧光 管，合计 28 根，用来组合成 0 到 9 的数字．数字的表示如图． 已知有两件物品，每一件的重量都是 1000 克以上的整数，两件物品的总重量在 9999 克以下．现在，这 两件物品分别单独放在秤上称量，重量分别显示为前两个图，一起称量，重量显示为第三个图． 那么，这架秤至少有几根荧光管不发光了（出故障了）？ 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 65 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 分析：首先看个位，可能是 2，3，5，6，8 或 9． 我们需要求坏的荧光管的最小根数．如果有 8，那必须四根全坏才行． 现在看没有 8 的情况，也就是 2，3，5，6，9．考虑到进位，有如下组合： 2+3=5，3+3=6，3+6=9，3+9=2，6+9=5． 发现无论哪种情况，都包含全部四个位置的荧光管，也就是说，四根必须全坏．但是，可以自由选择是 否向十位进位． 再看十位，可能是 5，6，8，9．仍然不考虑 8． 考虑到个位可能进位，可能是 5+9=5，6+9=6，9+9=9． 为了使坏的根数最少，可以取 5+9=5 或者 9+9=9，此时即使左下方的没有坏，也能达到这样的效果． 百位因为每一根荧光管都亮过，所以只能就是 2+3=6．这说明十位向百位进位了（而且根据上面的分析， 确实进位了），而百位不能向千位进位． 再看千位．根据第二个显示，说明最顶上的那根荧光管没有坏，这样，第一个和第三个的千位都必须是 确实没有顶上的荧光管的数字，也就是 1 和 4，所以只能是 1+3=4．此时，左下方的那根可以没有坏， 而其他三根必须坏． 总计 3+0+1+4=8（根）． 专题展望 这一讲，我们用火柴棒探索了变化无穷的数字世界，了解数字世界，希望同学们在有趣的数字世界 和数学游戏中变得更聪明！在我们以后的学习中，还会学习取火柴棍的问题，让我们一起期待吧！ 练习七 1. 在下面由火柴棍摆成的算式中，添上或去掉一根火柴棍，使算式成立． 分析： 2. 在下面由火柴棍摆成的算式中，移动一根火柴棍，使算式成立． 分析： 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 66 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 3. 在下面由火柴棍摆成的算式中，只移动一根火柴棍，使算式变成等式． 分析： 4. 移动一根火柴，使题中不相等的公元年份变成相等的公元年份，并用火柴摆出． （1） （2） 分析：（1）把 1993 中的 3 变成 5 （2）将 1387 中“8”去掉一根变成 9，“3”增加一根变成 9 5. 移动一根火柴，使下面每个等式成立 （1） （2） 分析：（1）31＋35＝66 （2）26×4＝104 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 67 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08 年寒假 三年级 竞赛班 第七讲 教师版 Page 68 推理小故事 劫匪的圈套 惯犯库克和比尔劫了一辆运钞车．就在两人庆幸得手的时候，身后响起了一阵警笛声，得到指示的 警车追了上来． 摩托车没油了，两人只得弃车逃入农田．路过一座农舍的时候，库克发现农舍的主人大概种田去了， 里面空无一人，农舍外有口很深的古井，便立刻想到了一个办法．他对比尔说：“我们如果一直这样跑， 终归是要被抓住的，不如躲到农舍里去．我假装是农舍的主人，一会儿警察来的时候，你就用防水袋套 住钱，含上根吸管，躲到水里去．要是我不幸被抓住，钱就全部归你．” 比尔有点犹豫：“这样行不行呢?警察恐怕没有那么好愚弄吧，再说井水那么深……” 库克打断了他的话：“蠢货，难道你想被抓住吗？井水深怕什么，我会给你一根很长的管子的．” 听到远处隐约响起来的警笛声，比尔只好同意了．库克把一根长 5 米、口径不足 2 厘米的管子交给比尔， 帮他捆扎好钱放入井里，自己却没有像他说的那样装扮成农舍的主人，而是到田地里躲藏起来． 半小时后，警察开始搜查这座村庄．虽然库克隐蔽得非常好，可是警犬还是凭借灵敏的嗅觉迅速找 到了他．当警察把比尔打捞上来的时候，却发现他早就溺死了．警官询问了比尔躲到井下的前后经过， 对库克说道：“你真是心狠手辣啊，为了独吞钱财而杀了他!现在，你除了抢劫，又添了一项故意杀人的 罪名！” 你知道警官为什么这么说吗?比尔好好地呆在井底，为什么说是库克杀了他呢？ 答案见第一讲． 第六讲“图像从不闪动”答案： 附近有直升机干扰，电视定会出现 “雪花”.寺内既说自己在房间看电视时有直升机在公寓上空 盘旋，又说电视机的图像从没有过闪动的情况.这是不可能的.即使是新电视，由于电波干扰，图像照样 会紊乱的. 同学们，你想到了吗？