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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 第七讲 数阵、数字谜综合 数阵问题(Ⅰ)和数字谜问题(Ⅱ)都是通过找关键，将特定的数阵或算式，从无到有表示出来，这一类题目的综合性都很强，解题时需要综合各种数学方法.教师在讲授过程中要注意： 1、 逐步给出提示，让学生体验尝试的方法步骤. 2、 在解题中的每一步中都明示什么是已知，什么是未知，逐渐缩小索解范围. 3、 强调关键步骤和突破问题方法；使学生了解解题关键. 4、 回顾整个解题过程. 解决数阵类问题可以从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）； 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试. 这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用. Ⅰ、数阵问题 【例1】（★★★）如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少? 分析：第一步：确定关键区格，计算三条边时，其中有3个角上共6个区格内的数被重复计算了2遍，而位于每条边中心位置的区格值计算了一次. 第二步：由于，边上的三个数分别计算了1遍，因此（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2再减去三个边上的数，所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各条边上的和也取得最大值28. 第三步：通过试验得到可行的填法： 【例2】（★★）把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好． 分析：第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中. 第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且（2、8）和（5、11）不能在第二个圆中成对出现，（2、5）（5、8）（8、11）不能在第三个圆中成对出现，判断5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在在第二个圆中，2、11填在第三个圆中. 第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中. 【例3】（★★★）请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和． 分析：第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出这四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x、y、z、w，则20=x+w+3（y+z），所以y+z不超过6（事实上不超过5，此处可以讨论一下）. 第二步：由于y+z的和不超过5所以，y和z只可能为1和2，1和3，1和4，2和3,通过尝试可以得到不止一个，下面的答案是其中一个. [前铺]把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少? 分析：设个小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则三个正方形中的数依次为 、 、 ，继而求出三角形中的数值为 .所以，a3中应该填入最小的数1.2，a2、a4中应该填入次大的2.9和3.7，a1、a5中填入4.6和6.5. Ⅱ、数阵问题乘法 【例4】（★★保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）下面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是 ． 分析：容易看出，乘数个位为9，而被乘数个位不小于5．依次验证各种可能情况，通过奇偶性等分析乘积的十位，可知只有7可能．此时乘数十位必须是6才能使乘积十位为4．故所求为47×69=3243． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、奇偶分析等 【例5】（★★★全国小学数学奥林匹克）在下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是 ． 分析：为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0． 从 的个位数是1，b可能是3，7，9三数之一，两位数 应是（100+f）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行． 102=17×6，则 =17，C只能取3， ，不是三位数；104=13×8,则 ，c可取7，c × =7×13，仍不是三位数；108=27×4，则 =27，c是3． ，还不是三位数．只有106=53×2， ，c=7， 是三位数．因此这个乘法算式是 故这个算式的乘积是3816． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数字乘法个位数字规律. 【例6】（★★★2005年全国小学数学奥林匹克）下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是 ． 分析：如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c＞2知c=3，所以22□是225或228， 或76．因为75×399＜30 000，所以 ．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数量大小的考量，合数的分解等. 【例7】（★★★★2003年北京市迎春杯数学邀请赛）在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 . 分析：观察竖式可知：乘数个位数字，“习”ד争”的个位数字是1，则“习”与“争”取值有两种情况：①“习”=3，“争”=7；②“习”=7，“争”=3． 先看第①种情况： “习”=3，“争”=7时，第二个部分的积其末位与千位对齐，可知“力=0”，“数学学习”×7，积仍为四位数，则“数”只能为1，“学”只能是2．又由于“学”×7+2(进位)=“学”，不能成立．所以“习”=3，“争”=7时，不能成立，无解. 再看第②种情况： 由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2或l，“学”=9．当“数”=2时，积千位为8，则“努”×7的末位数应为“1”，不符合条件．所以“数”=1，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003． 所以“努力力争”四个汉字所代表的数字和为5． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律等. 【例8】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字? 分析：由于乘积最后一位是1，还有三个9，可知乘数是7773或3337．于是可以逐一来确定被乘数的每一位，就知7773不符合，只有3337合适，并且逐一定出被乘数是4543． 4543×3337—15 159 991． 所以，“新年”两字是15． [点评]本题运用到的主要数学方法和知识点有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律. Ⅲ、数字谜除法 【例9】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式，其中所注明的两个字母要求：A＜B，那么满足这个竖式的除数与商的和是 ． 分析：因为能够除尽但含有两位小数，所以除数含有因子2或5．由式(2)知除数应大于60，且能整除 ，所以除数只能是75，C≤7．又商的整数部分是9，75×9=675，B=5，因为A＜B，所以C≥5．因为5≤C≤7，且 是75的倍数，所以C=6，从而被除数等于675+6=681．这个和是75+681÷75=84．08． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法主要有：整除性质、数值大小的考量等. 【例10】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面这个残缺算式中，只知道其中两个数字，请补全．那么这个除法算式的商数是 ． 分析：容易看出，第三行首位是9．另外，第三行的个位与第四行首位数字之和不小于10． 如果商的首位数字大于1，那么除数要小于50，故第四行首位数字小于5，而第三行个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，知均不满足条件． 如果商的首位数字等于1，验证第三行个位数字各种情况，知只有2满足条件．此时除数等于92，而商等于109． [点评]本题运用到的知识点和数学方法主要有：十进制数进位规律、数值大小的考量等. 【例11】（★★2004年全国小学数学奥林匹克）已知下面的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是 ． 分析：由竖式知，商的十位是0，并且商的千位比百位大，只能是9，所以商是9807．因为除数乘8是两位数，乘9是3位数，所以除数是12．被除数=9807×12=117 684． [点评]本题运用到的知识点和数学方法有，数值大小的考量等. 【例12】（★★★2002年全国小学数学奥林匹克）在下面的算式中，只有四个4是已知的，则被除数为 ． 分析：设除数为 ，商为 ，根据除法竖式可知 ×b=□□4，再由减法竖式可知 ×b=9□4． 因为 ×c=4□□，所以m≤4．试验：m=1时，由 ×b=9□4，推出b=7，n=2；由142×a=□□4，推出a=2；由142×c=4□□，推出c=3．所以被除数为142×273=38 766．m=2，3，4时，均无解． [点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、乘法个位数字规律等. 数阵、数字谜类题目虽然变化不多，但这一类题目与数学中数论等分支都有结合，随着大家数学知识的丰富，解决数阵、数字谜问题会更加得心应手. 1、（★★）有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少? 分析：第一步：首先确定数阵图中的关键区格，即相邻两个正方形相交的两个区格； 第二步：由于9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，2+3+……11=65除以3余2，因此被重复计算两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值， 第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的和也取得最小值24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数和为24，如图： 2、（★★武汉明心奥数挑战赛）下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是 ． 分析：容易看出，乘数的个位大于8，故只能是9．又被乘数的9倍是三位数，8倍是两位数，它只能是12．故所求为12×89=1068． 3、（★★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面算式(1)中。相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数，其中“新”＞4．请补残缺的数字，那么“新年好”代表的数字是 ． 分析：如式(2)，“新”一定小于7，否则A是2大了，是1又小了．不论“新”是5或6，由于乘法第一行首位是“新”，一定有B=9．如果“新”=5，第二行百位是4，A无合适的值，因此“新”=6，而A=2.“年”≥7，对7，8，9三数算一下可知，只有“年”=9合适，如式(3)所示． 4、（★★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）在下面残缺的算式中，“新年”代表的两位数不是质数，那么这个除法算式的被除数是多少? 分析：考虑商的第一位，只要考虑20□的因数，由于“新年”不是质数，我们仅需考虑204=51×4=68×3，207=69×3，208=26×8=52×4．从除式的第二层中“0”与“4”就很容易排除51，69，26，只能是68×389=26 452或52×478=24856．故被除数是26452或24856． 1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，有个年轻的科学家正在演讲。大家都被他讲的内容深深吸引，安静地听他演讲。每个人的眼睛里都闪烁着激动的光芒。当他结束演讲的时候，刚才还静悄悄的大厅里，顿时爆发出雷鸣般的掌声。这个轰动了全场的人是谁呢?他讲的是什么令人激动的内容呢?他就是德国的希尔伯特。他提出了今后一百年里数学家应当努力解决的23个问题。这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 这个时候，希尔伯特心里的石头才落了地。刚才，他还在担心自己演讲的内容听众会不会接受呢。 和下面的听众一样．希尔伯特廿．非常激动。此时的他，心潮澎湃：看来，我选择这个伟大的演讲、题目果然没有错! 原来，在来参加这次会议之前，希尔伯特一直在犹豫演讲的题目：是讲我自己的数学研究成果呢?还是讲一讲我对今后数学发展的看法呢?他写了一封信给自己的好朋友——数学家闵可夫斯基，征求他的意见。闵可夫斯基回信写道：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来……这样的题材，将会使你的演讲在今后几十年里成为人们议论的话题。” 这样，希尔伯特就下定决心了。他整理了自己的看法，一共提出了23个问题。 从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他的23个问题吸引。这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影。著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展。 难怪有人说：“希尔伯特就像风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”今天，我们似乎还能听到那甜蜜笛声的召唤呢。 想 挑 战 吗？ 　下式中的a，b，c，d分别代表0-9中的一个数码，并且满足a＋b＝2（c＋d），被加数最大是多少？ � INCLUDEPICTURE "http://zhjyx.hfjy.net.cn/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000052/_OLE10864.JPG" \* MERGEFORMATINET ��� 分析：由进位规律知：c=a+1，d=b-5，所以a+b=2（a+b-4），所以a+b=8，而，b＞4，所以被加数最大为35. 练习七 _ 专题展望 专题精讲 教学目标 数学知识 解决数字谜类问题也需要寻找关键的突破口，运用的主要知识和方法主要有： 数字乘法个位数字的规律， 数值大小的考量， 加减法进位规律， 合数分解质因数性质， 奇偶数性质规律. 余数性质. 1 _ 2 _ 3 _ 9 _ 8 _ 7 _ 6 _ 4 _ 5 学而思教育 07年秋季 五年级 提高班 第七讲 教师版 Page 10 of 10 _1246176707.unknown _1246182949.unknown _1246189301.unknown _1247553620.unknown _1247553628.unknown _1247553634.unknown _1247553612.unknown _1246189330.unknown _1246187481.unknown _1246189286.unknown _1246187387.unknown _1246176807.unknown _1246182906.unknown _1246176746.unknown _1246176527.unknown _1246176621.unknown _1246176683.unknown _1246176586.unknown _1246176423.unknown _1246176499.unknown _1246176376.unknown