拉氏变换表(包含计算公式)

1 拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换及反变换公式及反变换公式及反变换公式及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([ saFtafL = 叠加性 )()()]()([ 2121 sFsFtftfL ±=± 2 微分定理 一般形式 = −=][ ′−�−= −= − − − − = −∑ 1 1 )1( )1( 1 2 2 2 )( )( )0()( )( 0)0()(] )( [ )0()(] )( [ k k k k n k knn n n dt tfd tf fssFs dt tfd L fsfsFs dt tfd L fssF dt tdf L ⋮ ）（ 初始条件为 0时 )(] )( [ sFs dt tfd L n n n = 3 积分定理 一般形式 � � ∑ ∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ = =+− == = += ++= += n k t n n knn n n tt t dttf ss sF dttfL s dttf s dttf s sF dttfL s dttf s sF dttfL 1 01 0 2 2 0 2 2 0 ]))(([ 1)( ])()([ ]))(([])([)( ]))(([ ])([)( ])([ 个共个共 ⋯⋯ ⋮ 初始条件为 0时 � n n n s sF dttfL )( ]))(([ =∫∫ 个共 ⋯ 4 延迟定理（或称 t 域平移定理） )()](1)([ sFeTtTtfL Ts−=−− 5 衰减定理（或称 s域平移定理） )(])([ asFetfL at +=− 6 终值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st →∞→ = 7 初值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st ∞→→ = 8 卷积定理 )()(])()([])()([ 210 210 21 sFsFdtftfLdftfL tt =−=− ∫∫ τττττ 2 2． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序 号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z 变换 E(z) 1 1 δ(t) 1 2 Ts e −−1 1 ∑ ∞ = −= 0 )()( n T nTtt δδ 1−z z 3 s 1 )(1 t 1−z z 4 2 1 s t 2)1( −z Tz 5 3 1 s 2 2 t 3 2 )1(2 )1( − + z zzT 6 1 1 +n s !n t n )( ! )1( lim 0 aTn nn a ez z an −→ −∂ ∂− 7 as + 1 at e − aT ez z −− 8 2)( 1 as + at te − 2)( aT aT ez Tze − − − 9 )( ass a + at e −−1 ))(1( )1( aT aT ezz ze − − −− − 10 ))(( bsas ab ++ − btat ee −− − bTaT ez z ez z −− − − − 11 22 ω ω +s tωsin 1cos2 sin 2 +− Tzz Tz ω ω 12 22 ω+s s tωcos 1cos2 )cos( 2 +− − Tzz Tzz ω ω 13 22)( ω ω ++ as te at ωsin− aTaT aT eTzez Tze 22 cos2 sin −− − +− ω ω 14 22)( ω++ + as as te at ωcos− aTaT aT eTzez Tzez 22 2 cos2 cos −− − +− − ω ω 15 aTs ln)/1( 1 − Tt a / az z − 3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。 设 )(sF 是 s的有理真分式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasa bsbsbsb sA sB sF n n n n m m m m ++++ ++++ == − − − − ⋯ ⋯ （ mn > ） 式中系数 nn aaaa ,,...,, 110 − ， mm bbbb ,,, 110 −⋯ 都是实常数； nm, 是正整数。按代数定理可将 )(sF 展 开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)( =sA 无重根 这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ = − = − ++ − ++ − + − = n i i i n n i i ss c ss c ss c ss c ss c sF 12 2 1 1)( ⋯⋯ 式中， n sss ,,, 21 ⋯ 是特征方程A(s)＝0 的根。 ic 为待定常数，称为 F(s)在 is 处的留数，可按下式计 算： )()(lim sFssc i ss i i −= → 或 i ss i sA sB c = ′ = )( )( 式中， )(sA′ 为 )(sA 对 s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − == ∑ = −− n i i i ss c LsFLtf 1 11 )()( ＝ ts n i i i ec − = ∑ 1 2 0)( =sA 有重根 设 0)( =sA 有 r 重根 1s ，F(s)可写为 ( ) )()()( )( 11 nr r ssssss sB sF −−− = + ⋯ = n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c − ++ − ++ − + − ++ − + − + + − − ⋯⋯⋯ 1 1 1 1 1 1 1 1 )()()( 式中， 1s 为 F(s)的 r 重根， 1+rs ，…, ns 为 F(s)的 n-r 个单根； 4 其中， 1+rc ，…, nc 仍按式(F-2)或(F-3)计算， rc ， 1−rc ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 1 1 sFssc r ss r −= → )]()([lim 11 1 sFss ds d c r ss r −= → − ⋮ )()(lim ! 1 1)( )( 1 sFss ds d j c r j j ss jr −= → − (F-5) ⋮ )()(lim )!1( 1 1)1( )1( 1 1 sFss ds d r c r r r ss − − = − − → 原函数 )(tf 为 [ ])()( 1 sFLtf −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ++ − ++ − + − ++ − + − = + + − −− n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c L ⋯⋯⋯ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )()()( ts n ri i ts rrrr i ecectct r c t r c ∑ += −−− +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++ − + − = 1 12 211 1 )!2()!1( ⋯ （F-6）