第五章 弯曲应力（1）

nullnull 王 培 荣 *教学要求教学要求(l)明确平面弯曲、纯弯曲和横力弯曲的概念，掌握推导梁弯曲正应力公式的方法。 (2)熟练掌握弯曲正应力的计算：弯曲正应力强度条件及其应用。null 本节主要介绍弯曲正应力和弯曲剪应力的计算方法，这是建立梁的强度条件和进行强度计算的基础。因此，要求同学们不但能够熟练地进行弯曲强度计算，而且要对基本概念和公式的推导方法有深刻的理解。第五章 弯曲应力 Chapter 5 Bending Stresses 第五章 弯曲应力 Chapter 5 Bending Stresses §5．1 纯弯曲 pure bending beam §5．1 纯弯曲 pure bending beam null1.梁可能危险截面:|Q|max和|M|max所在截面 2.应力与内力关系 剪力Q与横截面相切合成,它只能由与横截面相切的分布内力系，即由剪应力合成； 弯矩的作用面在梁的纵向对称平面内,它只能由垂直于横截面的内力系合成,由正应力合成。 3.横力弯曲和纯弯曲 横截面上既有剪力又有弯矩,这种弯曲变形称为横力弯曲。 横截面上只有弯矩而没有剪力,且弯矩等于常数,这种弯曲变形称为纯弯曲。nullnull一、工程实例（engineering example)火车车轴承受车厢传来的载荷null对此，可以简化为如下的力学模型：车轴受力图：nullnullnull简化为外伸梁如图：横力弯曲纯弯曲Q图M图§5．2 纯弯曲时的正应力 §5．2 纯弯曲时的正应力 null 正应力分析方法null 正应力分析方法1. 平面假定与变形协调方程 2. 应变分布与应力分布4. 正应力达式3. 应用静力学方程确定待定常数null  正应力分析方法nullBending stress in pure bending beamsDeformation relationPhysics relationstatics relation1. 变形几何关系1. 变形几何关系Deformation relationnull（一）变形观察Deformation observation and basic hypothesisnull2、在Me的作用下，梁开始发生纯弯曲变形，注意观察纵向线和横向线的变形情况。3、变形后，纵向线弯曲成为弧线，横向线仍保持为直线，且垂直与弯曲了的弧线。1、变形前在矩形梁表面画相互垂直的纵向线和横向线，mm和nn为横截面，间距为dx.null1、平面假设： 横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏转一个角度。（二）基本假设null假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧纤维缩短，凸出一侧纤维伸长2、假设纵向纤维之间无挤压应力null中性层横截面中性轴纵向对称面纵向对称轴null讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形nullnull2. 物理关系2. 物理关系Physics relationnull距中性层 y 处纵向纤维的正应力：3. 静力学关系3. 静力学关系statics relationnullnullnullnullnull1.M、 y按规定的符号代入,应力计算结果正者为拉应力,负者为压应力。 2. M、 y均按绝对值代入,该点的应力是拉应力还是压应力由该点所在的区域(受拉区或受压区)决定。最后在应力数字后面注上(拉或压)字即可。公式中正负号确定null凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力null抗弯截面系数nullnull§5．3Stress in shearing bendingnullnullnullnull在横力弯曲的情况下，横截面上存在剪应力，故横截面不能保持为平面，产生翘曲，这时除因弯矩产生的正应力，还将产生附加正应力。 但是对于细长梁（横截面h远小于跨度l的梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽略不计。null适用于下述条件: (1)小变形； (2)处于比例极限范围内； (3)纯弯曲梁或l>5h的横力平面弯曲的梁； (4)直梁或小曲率的曲梁(ρ>5h)。null例题受均布载荷作用简支梁如图所示，试求：2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ1.C 截面上K点正应力null1. 求支反力（压应力）解：null2. C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩null3. 全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩null4. C 截面曲率半径ρC 截面弯矩C 截面惯性矩梁的强度条件梁的强度条件nullnull强度条件强度核核截面尺寸确定容许荷载校核强度计算步骤：校核强度计算步骤：1.确定危险截面、危险点,计算梁内的最大工作应力σmax ；中性轴为对称轴时危险截面一个：max(|M+max|, |M-max|) ；中性轴为对非称轴时可能危险截面二个：M+max,M-max 2.比较σmax， [σ]大小； 3.结论。强度均满足强度要求。设计截面计算步骤设计截面计算步骤1.确定危险截面,计算梁内的最大工作内力； 2.由强度条件确定梁所需要横截面尺寸； 3.进一步计算。确定许可载荷计算步骤：确定许可载荷计算步骤：1.由截面法确定各梁的内力与F之间关系； 2.由强度条件确定各梁能承受最大弯矩； 3.由各梁能承受最大弯矩、各梁的内力与F之间关系，确定许可载荷[F]i ； 4.由[F]i确定[F]: [F]=min([F]1, [F]2,..., [F]n)nullnull中性轴为对非称轴 梁可能的危险截面: C截面、B截面nullnullnull该梁的强度是足够的。讨 论讨 论 若将此T型截面倒置，即翼缘板放在下面成┸形，虽外力作用情况不变，但截面内的正应力数值将发生很大的变化。请读者再按后一种放置情况进行强度校校。经计算后你有什么体会？梁可能的危险截面梁可能的危险截面中性轴为截面对称轴的截面形状，梁可能的危险截面的位置：Max(|M+max|, |M-max|)发生截面。 中性轴为截面非对称轴的截面形状，梁可能的危险截面的位置：M+max、M-max发生截面。作 业作 业§5．4 §5．5 §5．6 §5．12 null变形现象变形现象平面假设平面假设假设假设1.平面假设 2.单向受力假设:纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维均处于单向受拉(压)的状态。 3.线弹性材料假设 4.拉压弹性模量相同假设null中性层、中性轴null 推导沿梁的高度方向纵向变形 之间的几何关系nullnullnullnullnullnullnull1.纯弯时梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布； 2.在中性轴处正应力为零； 3.在距中性轴最远的截面边缘分别受有最大拉应力与最大压应力； 4.截面上同一高度的各点正应力相同。需要解决两个问题需要解决两个问题一.式二.中性轴的位置未知。中曲率半径ρ仍为未知；nullnullnullnull中性轴必须通过横截面形心。null中性轴是横截面形心主惯性轴nullnullnullnullnull横截面上的正应力分布null1.M、 y按规定的符号代入,应力计算结果正者为拉应力,负者为压应力。 2. M、 y均按绝对值代入,该点的应力是拉应力还是压应力由该点所在的区域(受拉区或受压区)决定。最后在应力数字后面注上(拉或压)字即可。公式中正负号确定横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力nullnull