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建模实 验*数学建模实 验王汝军
河西学院数学与统计学院wangrujun711@163.com实验二 连续计息问
*实验二 连续计息问题wangrujun711@163.com王汝军
河西学院数学与统计学院实验目的实验目的1.加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。
2.讨论了微分学中的实际应用问题。
3.掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。*实验内容实验内容*若银行一年活期年利率为r ,那么储户存10万元的人民币,一年到期后结算额为10×(1+r )万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算,在不计利息税的情况下,若每三月结算一次,由于复利,储户存的10万元一年后可得10×(1+r /4)4 万元,显然这比一年结算一次要多,因为多次结算增加了复利。结算越频繁,获利越大。
实验内容实验内容*现在我们已进入电子商务时代,允许储户随时存款或取款,如果一个储户连续不断存款取款,结算本息的频率趋于无穷大,每次结算后将本息全部存入银行,这意味着银行要不断地向储户支付利息,称为连续复利问题。连续复利会造成
算额无限增大吗?随着结算次数的无限增加,一年后该储户是否会成为百万富翁?
如果活期存款年利率为2.9%,那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的?实验准备1实验准备11.极限和连续
极限是高等数学最基本的概念,它带来了很多深刻的结果。
数列极限:
函数极限:
连续:左右连续
定理1 连续函数在闭区间上必然能达到最大值和最小值,且可取得最大值和最小值间的任意值。*实验准备1实验准备12.微分与导数
二者定义:
函数点导数反映了在 点附近函数 的变化率当 ,函数在 点附近是上升的,反之
当 ,函数在 点附近是下降的,而当
,往往(但不一定)标志函数在 点达到局部极小或局部极大。
定理2 函数 在 点附近达到局部极小(或局部极大)的充分条件是 且
( 或 )。*实验准备1实验准备1*从几何意义上说, 是函数在点切线的斜率,显然有 ,可见导数是微分的商,所以也称微商。
由导数的定义,若 在 处可导,设
且足够小,由导数定义的右、左极限,
分别称为向前差商和向后差商。
实验准备1实验准备1事实上,对于连续函数,两式正好求得右导数和左导数,两式平均得
称为中心差商,用中心差商求得的导数精度较高。
*实验准备1实验准备1Taylor公式是微分学中一个非常重要的结论,当 在含有 某个开区间内具有直到 n+1阶的导数,那么当 ,有
其中 是 与 之间的某个值。
Taylor公式表明,一个可微性很好的函数可局部地用多项式函数近似地代替。
*实验准备1实验准备1特别地,当 可得到微分中值定理
它表明在 与 之间存在一点 ,使得 恰为
从 到 的平均变化率,但中值定理不能给出 的确定位置。当 离 不远,且 在 附近连续,有
它表明任意光滑函数可局部线性化,常用于非线性函数的近似
和计算。
*实验准备2实验准备21. 求函数的极限,使用命令limit
limit( F , x , a ) 返回符号表达式F当x→a时的极限;
limit( F , x , a ,'right' ) 返回符号表达式F当x→a时的右极限;
limit( F , x , a, 'left' ) 返回符号表达式F当x→a时的左极限。*实验准备2实验准备22.求函数的导数
Y = diff( X ) 返回向量X的差分;
Y = diff( X , n ) 返回向量X的n阶差分;
diff( S , 'v' ) 返回符号表达式S对变量v的导数;
diff( S , 'v' , n ) 返回符号表达式S对变量v的n阶导数;*实验准备2实验准备23.和Taylor展开式
k = polyder( p ) 返回多项式p的导数;
k = polyder( a , b ) 返回多项式a×b的导数;
r = taylor( f , n , v , a ) 返回符号表达式f关于变量v在a点处Taylor展开到n次式;
有关上述命令的详细用法可查阅MATLAB帮助。
*实验方法实验方法设储户结算结算频率为n,年利率为r,第k次结算本息的结算额为ak,那么可以得到下列差分方程
对上述差分方程化简,得
随着结算次数的无限增加,即在上式中 ,故一年后本息共计:
*null在MATLAB命令窗口输入下述命令:
syms n
a=limit(100000*(1+0.029/n)^n,n,inf)
a =1.0294e+005
可见,随着结算次数的无限增加,一年后本息总和将稳定于1.0294e+005元,储户并不能通过该方式成为百万富翁.
*null实际上,年利率为r,
syms n r
a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf)
a =100000*exp(r)
一年结算无限次,总结算额有一个上限,即100000*exp(r)元,它表明在 时,结果将稳定于这个值。
*null我们把连续活期存款利率作为连续复利率, ,设一年定期的年利率为r=2.9% ,那么应有 1+r = er0
从而有
r= er0 - 1=2.94%
同理,三年定期的年利率为
r= (e3r0 - 1)/3=3.03%
相应,十年定期的年利率为
r= (e10r0 - 1)/3=3.36%
一般情况下,银行的定期利率要更高,以鼓励长期定期存款。
*思考与练习思考与练习P179
课后练习题*