椭圆讲解+性质+习
(一)定义部分(重点掌握)
一.椭圆基本定义(必须掌握)
1.定义:①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|,即
),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0
标准方程:椭圆标准方程的两种形式
和
EMBED Equation.3
其中
椭圆
EMBED Equation.3 的焦点坐标是
,准线方程是
,离心率是
,通径的长是
焦准距(焦点到准线的距离)
,焦参数
(通径长的一半)
范围:
,
,长轴长=
,短轴长=2b,焦距=2c ,
焦半径:
,
.
4.
中经常利用余弦定理、三角形面积公式
将有关线段
、
、2c,有关角
(
)结合起来,建立
+
、
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 等关系.
二. 第二定义(拓展掌握,有些题目用第二定义做会有事半功倍的效果):平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。
注意:
②e的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
三. 焦半径及焦半径公式(拓展掌握):
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
四.椭圆参数方程(拓展掌握)
问题:如图以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BN⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
参数。
说明:<1> 对上述方程(1)消参即
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
五.直线与椭圆位置关系(必须掌握,重点难点):
(1)相离
②求椭圆上动点P(x,y)到直线距离的最大值和最小值,(法一,参数方程法;法二,数形结合,求平行线间距离,作l'∥l且l'与椭圆相切)
③关于直线的对称椭圆。
(2)相切
①弦长公式:
(二)性质部分(了解掌握)
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若
在椭圆
上,则过
的椭圆的切线方程是
.
6. 若
在椭圆
外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
.
7. 椭圆
(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点
,则椭圆的焦点角形的面积为
.
8. 椭圆
(a>b>0)的焦半径公式:
,
(
,
EMBED Equation.DSMT4 ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11. AB是椭圆
的不平行于对称轴的弦,M
为AB的中点,则
,
即
。
12. 若
在椭圆
内,则被Po所平分的中点弦的方程是
.
13. 若
在椭圆
内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
.
14. 椭圆
(a>b>o)的两个顶点为
,
,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
.
15. 过椭圆
(a>0, b>0)上任一点
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
(常数).
16. 若P为椭圆
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
,
,则
.
17. 设椭圆
(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记
,
,
,则有
.
18. 若椭圆
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤
时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
19. P为椭圆
(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
,当且仅当
三点共线时,等号成立.
20. 椭圆
与直线
有公共点的充要条件是
.
21. 已知椭圆
(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
.(1)
;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为
;(3)
的最小值是
.
22. 过椭圆
(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则
.
23. 已知椭圆
( a>b>0)
,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
, 则
.
24. 设P点是椭圆
( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
,则(1)
.(2)
.
25. 设A、B是椭圆
( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
,
,
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)
.(2)
.(3)
.
26. 已知椭圆
( a>b>0)的右准线
与x轴相交于点
,过椭圆右焦点
的直线与椭圆相交于A、B两点,点
在右准线
上,且
轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
(三)习题部分(必要练习)
练习一
1.椭圆
的焦点坐标为
(A)(0, ±3) (B)(±3, 0) (C)(0, ±5) (D)(±4, 0)
2.在方程中,下列a, b, c全部正确的一项是
(A)a=100, b=64, c=36 (B)a=10, b=6, c=8 (C)a=10, b=8, c=6 (D)a=100, c=64, b=36
3.已知a=4, b=1,焦点在x轴上的椭圆方程是
(A)
(B)
(C) (D)
4.已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且a=6的椭圆方程是
(A)
(B) (C)
(D)
5.若椭圆
上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是
(A)4 (B)194 (C)94 (D)14
6.已知F1, F2是定点,| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8,则点M的轨迹是
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
7.若y2-lga·x2=-a表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围是 .
8.当a+b=10, c=2时的椭圆的标准方程是 .
9.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’,则线段PP’的中点M的轨迹方程为 .
10.经过点M(, -2), N(-2, 1)的椭圆的标准方程是 .
11.椭圆的两焦点为F1(-4, 0), F2(4, 0),点P在椭圆上,已知△PF1F2的面积的最大值为12,求此椭圆的方程。
练习二
1.过点(3, -2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是
(A)
(B)
(C) (D)
2.若椭圆a2x2-
=1的一个焦点是(-2, 0),则a=
(A)
(B)
(C)
(D)
3.若△ABC顶点B, C的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB边上的中线长之和为30,则△ABC的重心G的轨迹方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
4.点P为椭圆
上一点,以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面积为1,则点P的坐标是
(A)(±
, 1) (B)(
, ±1) (C)(
, 1) (D)(±
, ±1)
5.化简方程
=10为不含根式的形式是
(A)
(B) (C)
(D)
6.椭圆
的焦点坐标是
(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(±,0) (D)(0, ±)
7.过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是 .
8.P为椭圆
上的一点,F1和F2是其焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
9.椭圆(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则椭圆的离心率为 .
练习三
1.方程Ax2+By2=C表示椭圆的条件是
(A)A, B同号且A≠B (B)A, B同号且C与异号
(C)A, B, C同号且A≠B (D)不可能表示椭圆
2.已知椭圆方程为
中,F1, F2分别为它的两个焦点,则下列说法正确的有
①焦点在x轴上,其坐标为(±7, 0);② 若椭圆上有一点P到F1的距离为10,则P到F2的距离为4;③焦点在y轴上,其坐标为(0, ±2);④ a=49, b=9, c=40,
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为
(A) (B) (C) (D)
4.若点P到两定点F1(-2, 0), F2(2, 0)的距离之和为4,则点P的轨迹是
(A)椭圆 (B)直线 (C)线段 (D)两点
5.设椭圆的标准方程为
,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是
(A)k>3 (B)3
0),在交点处切线互相垂直,则R等于
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
7.如果对圆周x2+(y–1)2=1上的任意一点P(x, y),不等式x+y–c≥0恒成立,则c的取值范围是 。
8.圆的方程为(k+1)x2+(k+1)y2–x–ky=0,当k≠–1时,该圆恒过两定点,则两定点的坐标分别为 。
9.圆C1: x2+y2–6x+8y=0与C2: x2+y2+b=0没有公共点,则b的取值范围是 。
10.自点A(–3, 3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2–4x–4y+7=0相切,则光线l所在的直线方程是 。
11.过圆x2+y2–8x+4y+7=0内一点(5, –3)的最短弦所在的直线方程是 ;最长的弦所在的直线方程是 。
12.一个圆和已知圆x2+y2–2x=0相外切,并且与直线l: x+y=0相切于点M(3, –),求该圆的方程。
13.已知两定圆⊙O1: (x–1)2+(y–1)2=1, ⊙O2: (x+5)2+(y+3)2=4,动圆P(圆心、半径都在变化)恒将两定圆的周长平分,试求动圆圆心P的轨迹方程。
练习五
1.设a, b, c分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,则a, b, c的大小关系是
(A)a>b>c>0 (B)a>c>b>0 (C)a>c>0, a>b>0 (D)c>a>0, c>b>0
2.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为
(A)
(B)
(C)
或
(D)
3.已知P为椭圆
上一点,P到一条准线的距离为P到相应焦点的距离之比为
(A)
(B)
(C)
EMBED Equation.3 (D)
EMBED Equation.3
4.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为
(A)
(B)
(C)
EMBED Equation.3 (D)
EMBED Equation.3
5.在椭圆上取三点,其横坐标满足x1+x3=2x2,三点顺次与某一焦点连接的线段长是r1, r2, r3,则有
(A)r1, r2, r3成等差数列 (B)r1, r2, r3成等比数列
(C)
成等差数列 (D)
成等比数列
6.椭圆
的准线方程是
(A)x=±
(B)y=±
(C)x=±
(D)y=±
7.经过点P(-3, 0), Q(0, -2)的椭圆的标准方程是 .
8.对于椭圆C1: 9x2+y2=36与椭圆C2:
,更接近于圆的一个是 .
9.椭圆上的点P(x0, y0)到左焦点的距离是r= .
10.已知定点A(-2, ),F是椭圆
的右焦点,在椭圆上求一点M,使|AM|+2|MF|取得最小值。
练习六
1.若方程
表示焦点在y轴上的椭圆,则下列关系成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
2.曲线
与
(k<9)有相同的
(A)短轴 (B)焦点 (C)准线 (D)离心率
3.椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a, b, c,则其焦点到相应准线的距离P是
(A)
(B)
(C) (D)
4.椭圆
上一点P到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是
(A) (B) (C) (D)随P点位置不同而有变化
5.椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0, b)的直线的距离等于
,则椭圆的离心率为
(A) (B) (C)
(D)
6.设F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆(a>b>0)的两个焦点,P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
7.中心在原点,准线方程为y=±4,离心率为的椭圆方程是 .
8.若椭圆
的离心率为e=,则k的值等于 .
9.若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角,则该椭圆的离心率为 .
10.椭圆
的准线方程为 .
练习七
1.离心率为,长轴长为6的椭圆的标准方程是
(A)
(B)
或
(C)
(D)
或
2.椭圆
上有n个不同的点P1, P2, P3,……, Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于
的等差数列,则n的最大值为 (A)199 (B)200 (C)198 (D)201
3.点P是长轴在x轴上的椭圆上的点,F1, F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是
(A)1 (B)a2 (C)b2 (D)c2
4.一个圆心在椭圆右焦点F2,且过椭圆的中心O(0, 0),该圆与椭圆交于点P,设F1是椭圆的左焦点,直线PF1恰和圆相切于点P,则椭圆的离心率是
(A)-1 (B)2- (C) (D)
5.椭圆短轴的两端点为B1, B2,过其左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O为中心),则
等于
(A) (B) (C) (D)
6.如图,已知椭圆中心在原点,F是焦点,A为顶点,准线l交x轴于点B,点P, Q在椭圆上,且PD⊥l于D,QF⊥AO, 则椭圆的离心率是①
;②
;③
;④
;⑤
,其中正确的个数是
(A)1个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
7.点P与定点(1, 0)的距离和它到直线x=5的距离的比是,则P的轨迹方程为 .
8.椭圆(b>a>0)的准线方程是 ;离心率是 。
9.椭圆
上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为 .
10.已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0b>0)长轴的右端点为A,若椭圆上存在一点P,使∠APO=90°,求此椭圆的离心率的取值范围。
练习八
1.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(A≠0)表示圆的充要条件是
(A)D2+E2–4F>0 (B)D2+E2–4F<0 (C)D2+E2–4AF>0 (D)D2+E2–4AF<0
2.已知圆的方程是x2+y2–2x+6y+8=0,则通过圆心的一条直线方程是
(A)2x–y–1=0 (B)2x+y+1=0 (C)2x–y+1=0 (D)2x+y–1=0
3.圆x2+y2=16上的点到直线x–y=3的距离的最大值是
(A)
EMBED Equation.3 (B)4–
EMBED Equation.3 (C)4+
EMBED Equation.3 (D)0
4.已知圆C和圆C’关于点(3, 2)成中心对称,若圆C的方程是x2+y2=4,则圆C’的方程是
(A)(x–4)2+(y–6)2=4 (B)(x+4)2+(y+6)2=4 (C)(x–6)2+(y–4)2=4 (D)(x–6)2+(y+4)2=4
5.已知圆x2+y2=4关于直线l对称的圆的方程为(x+3)2+(y–3)2=4,则直线l的方程为
(A)y=x+2 (B)y=x+3 (C)y=–x+3 (D)y=–x–3
6.设M={(x, y)| y=
, y≠0}, N={(x, y)| y=x+b},若M∩N≠
,则b的取值范围是
(A)–3
≤b≤3
(B)–3≤b≤3
(C)0≤b≤3
(D)–30)关于直线y=2x对称,则D与E的关系式为 .
8.两定点O(0, 0)和A(3, 0),动点P到点O的距离与它到点A的距离的比是
,则点P的轨迹方程是 __________________________ .
9.圆的参数方程为
,化成圆的一般方程是 ;圆心是 。
10.以A(2, 2), B(5, 3), C(3, –1)为顶点的三角形的外接圆的方程为 .
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