奈奎斯特稳定判据

1 5-4 奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 念。 )()( ωω jHjG )()(1)( sHsGsF += 2 一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判 据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 （5-105） 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数. )()(1)( sHsGsF += )()( sHsG 通常可写成如下形式 （5-106） 式中 是系统的开环极点，将式（5-106）代入式（5-105）得 （5-107） 比较式（5—107）和式（5—106）可知， )())(( )()( 21 01 1 1 n m m m m pspsps bsbsbsbsHsG −……−− ++……++= − − )())(( )())(( )( 21 21 n n pspsps zszszsksF −……−− −……−−= )(sF ),,2,1( niZ i ……= 0)()(1 =+ sHsG )(sF 辅助函数 的零点 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。 3 )(sF（一）S平面与 平面的映射关系 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则 ) (s F ) (s F )1( 1)()( += sssHsG )1( 1)()(1)( 2 + ++=+= ss sssHsGsF 0=′s 1−=′′s )(sF 211 js += 15.095.0 )121)(21( 1)21()21()( 2 1 jjj jjsF −=+++ ++++= 4 如图5—37所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。 )(sF 15.095.0)( 1 jsF −= 211 js +=)( 1sF 1s )( sF ωj 2j 1s 's 0 σ1− ''s 1 [ ]S mI 0 eR )( 1sF ( )[ ]SF 15.0− 95.0 图5-37 S平面上的点在F（S）平面上的映射 5 如图5—38所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇 点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封 闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函 数 的性质而定。 1s )(sF FΓ sΓ sΓ )(sF )(sF )(sF ωj [ ]S σ 1P2P 1S 2S 3S 3P 1Z 2Z 3Z 0 )(a mI [ ])(SF eR )( 1SF )( 2SF )( 3SF 0 图5-38 S平面到F(s)平面的映射 )(b sΓ FΓ 6 （二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任 选一封闭曲线Γs，并使Γs不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线Γs 映射到F(s) 平面上也是一条封闭曲线ΓF。当解析点s按顺时针方向沿Γs 变化一周时，则在 平面上， ΓF曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2π弧度为一周），或 ΓF按逆 时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线Γs内包含F(s) 的极点数P与零点 数Z之差。即 N=P-Z （5-108） 式中，若N>0，则ΓF按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则ΓF按顺时针 绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则ΓF不包围F(s)平面坐标原点。 在图5—38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被Γs 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式 （5-108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明Γs 映射到 F(s)平面上的封闭曲线ΓF顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线Γs 所包围的极点数P与零 点数 Z的差值P-Z。 )(sF )(sF )(sF )(sF 7 前面已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此 当从 平面上确定了封闭曲线ΓF 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭 曲线Γs 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来 Z=P-N （5-109） 封闭曲线Γs和ΓF的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简 单说明。 设有辅助函数为 （5-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs , Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (5-111) ))()(( ))()(( )( 321 321 pspsps zszszssF −−− −−−= )(sF )()( sHsG )(sF 1S ( 1sF ∑ ∑ = = −∠−−∠=∠ 3 1 3 1 111 )()()( j i ij pszssF ) 8 当解析点s1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 周）。这样，对图5—39（a），Z=1，P=0， ，即N=－1， 绕 平面原点 顺时针旋转一周；对图5—39（b），Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原 点逆时针旋转一周；对图5—39（c），Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平 面原点。将上述分析推广到一般情况则有 （5-112） 由此得到幅角定理达式为 N=P-Z （5-113） π2)( 1 =∠ sF )(sFπ2)( 1 −=∠ sF )( 1sF )(sF )(sF )( 1sF0)( 1 =∠ sF NZPsF ππ 2)(2)( =−=∠ )( 1sF 图 5-39 π2)(101)( 1 −=∠−=== SFNPZa 、、、 mI ( )[ ]sF eR )( 1sF 1−=NΓF 1Z ωj 1p 11 PS − 2p 11 zs − 21 ps −31 ps − 3p3z 31 zs − 1s 2z 21 zs − 0 Γ s σ 9 σ [ ]Sωj1S 1Z 1P 0 2Z 2P3 P 3Z sΓ 0 )( 1SF Im [ ])(SF Re 1=N FΓ π2)(110)( 1 =∠=== SFNPZb 、、、图 5-39 0 Im [ ])(SF )( 1SF Re 0=N FΓ 3Z 3P 2P 1S 2Z 0 1P [ ]S ωj σ sΓ 0)(011)( 1 =∠=== SFNPZc 、、、图 5-39 二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极 点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线Γs，使它包围S平面右半部且按顺时 针环绕。如图5—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由 到 ） 及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭 无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s) 位于S平面右半部的极点数和零点数。 )(sF −∞=ω +∞=ω +∞=ω −∞=ω ∞→R ωj σ [ ]S 图5-40 Nyquist轨迹 前面已经指出，辅助函数 的极点等于系统的 开环极点， 的零点等于系统的闭环极点。因此， 如果奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0，系统是稳定 的，此时由 映射到 平面上的封闭曲线ΓF 逆时 针绕坐标原点的周数应为 N=P （5-114） 由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如 下： )(sF )(sF )(sF )(sF Γs )(sF 若辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 Γs 按顺时针连续环绕一周，它在 平面上的映射ΓF按逆时针方向环绕其原点 P周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。 )(sF)(sF )(sF 通常情况下，开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳 定的充分条件是不包围 平面坐标原点，即 N=0。 )()( sHsG三、基于开环传递函数 的奈氏判据 用辅助函数 来分析系统的稳定性仍然不大方便，实际 上，开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即 （5-115） 上式意味着将 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为 GH平面（如 图5-41）。 平面的坐标原点是GH 平面的 点。因此， ΓF绕 平面 原点的周数等效于 绕GH平面 点的周数。 )()(1)( sHsGsF += 1)()()( −= sFsHsG )(sF)1( οj，− GHΓ )1( οj，− )(sF (-1, j0) 0 0 )(sF [GH][F] 1 图5－41 12 由分析，得到基于开环传递函数 的 奈氏判据如下： 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映 射在GH平面上的封闭曲线 逆时针包围 点 P周，其中P为开环传递函数 在S平面右半 部的极点数。 当 在S平面右半部没有极点时，即 P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是 在GH平 面上不包围 点。 )()( sHsG )1( οj，− )1( οj，− )()( sHsG GHΓ )()( sHsG GHΓ 四、基于开环频率特性 的奈氏判据 （一） 与 之间的关系 前面曾经指出，频率特性是 特定情况下的传递函数。下面分两种情 况来研究 与 之间的关系。 1、当 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分 如图5—42所示，（1） ，s沿负虚轴变化；（2） ，s沿 正虚轴变化；（3） ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆 弧变化，其中 ，对应 由 顺时针绕。 )()( sHsG )()( ωω jHjG )()( ωω jHjG )()( sHsG ωjs = )()( ωω jHjG )()( sHsG 0≤<∞− ω +∞<≤ω0 φj R s −∞→= Relimπφ = ω −∞→∞+ −∞=ω +∞=ω [ ]S ∞→F )1( )2( )3( ωj σ 图5-42 Nyquist轨迹 Γs （1）当s在S平面负虚轴上变化时， ， )()()()( )()()()( ωω ω ωω ωω jHjGj js ejHjG jHjGsHsG ∠− −= = −−= ωjs −= （5-117） 在[GH]平面上的映射如图5—43中曲线（1）。 14 [ ]GH mI eR )2( 0 )1( )3( −∞= +∞= ω ω 0=ω K mnb >)( GHΓ mI [ ]GH eR )2( 0 )1( )3( −∞= +∞= ω ω 0=ω Kk mna =)( GHΓ 图5-43 Γs在GH平面上的映射 （2）当s在S平面正虚轴上变化时， )()()()( )()()()( ωω ω ωω ωω jHjGj js ejHjG jHjGsHsG ∠ = = = ωjs = 如图5-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面 上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实 轴。 当Γs过平面原点时， ，它在GH平面上的映射为 （5-118） 即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环放大系数）。 （3）当s在Γs的第三部分上的变化时， ， 当n=m时， οjs = KjHjGsHsG js === )()()()( οοο φj R s −∞→= Relim φ φ φ )( Relim01 1 1 01 1 1 Relim )1lim( )()( mnj mn n m R s n n n n m m m m s e Ra b asasasa bsbsbsbsHsG j R j R − −∞→ = − − − − = ⋅= ++……++ ++……++= − ∞→ − ∞→ k a bsHsG n m s j R ==− ∞→= φRelim)()( 奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GH平面上的映射为常数K， 如图5—43（a）所示。 当n>m时， （5-121） Γs的第三部分在GH平面上的映射是它的坐标原点（图5—43（b））。 奈氏轨迹Γs 在GH平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。 φοφ )(Relim)()( mnjs esHsG j R − = ⋅=−∞→ (5-120) (5-119) 16 2、当 在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不 能经过开环极点，Γs必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第4部分曲线，如图 5-44所示。其中（1）（2）和（3）部分的定义与图5—42相同. )()( sHsG 第（4）部分的定义是： 表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）。 这样， Γs 既绕过了 原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，如果在 虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将Γs 绕过这些虚轴上的极点。 θj r res 0 lim→= )22( πθπ ≤≤− +− →οοω由 )()( sHsG 设系统的开环传递函数为 （5-122） 其中v称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环点数。当 时， )())(( )())(( )()( 21 21 vn v m pspspss zszszsk sHsG −−……−− −……−−= θj r res 0 lim→= θθ θ θ jvjv vr ren v m res ee r K pspspss zszszsk sHsG j r j r −− → = ∞== −……−− −……−−= → → 0 lim21 21 lim lim )())(( )())(( )()( 0 0 (5-123) 17 式(5-123)表明， Γs 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋 转的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图5—45（a）、（b）分别表示当 v=1 和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是Γs 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。 νπ mI−= 0ω +=0ω 0 −∞= +∞= ω ω ∞→R 0=ω 1=v eR )(a [ ]GH ωj +∞=ω +=0ω −=0ω 0 −∞=ω )1( )2( ∞→R )3( )4( 0→r σ [ ]S Γs −= 0ω += 0ω 1− 0 ∞→R +∞= −∞= ω ω 0=ω [ ]GH 2=v eR )(b mI 图5-44 虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹 图5-45 时的奈氏曲线0≠v 18 （二） 基于 的奈氏判据 从上面的分析可知，奈氏曲线 实际上是系统开环频率特性极 坐标图的扩展。当已知系统的开环频率特性 后，根 据它的极坐标图和系统的性质（是否含有积分环节、开环传递函数 中分子分母的最高阶次等） 便可方便地在 GH平面上绘制出奈氏曲 线 。由此我们得到基于开环频率特性的奈氏判据如下： 奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性 当 时，按逆时针方向包围 点P 周。 当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当开环传递函数 的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统 稳定的充分必要条件是奈氏曲线 不包围GH平面的 点。 )()( ωω jHjG )()( ωω jHjG )()( ωω jHjG ∞+∞− 变化到由ω GHΓ GHΓ ),1( οj− ),1( οj− GHΓ 19 应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： (i) 当系统开环传递函数 的全部极点都位于S平面左半部时 （P=0），如果系统的奈氏曲线 不包围GH平面的 点（N=0），则 闭环系统是稳定的（z=p-N=0），否则是不稳定的； （ii)当系统开环传递函数 有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统 的奈氏曲线 逆时针包围 点的周数等于位于S平面右半部的开环 极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的； (iii) 如果系统的奈氏曲线 顺时针包围 点（N>0），则闭环系统不稳定 （Z=P-N>0）。 综上，奈氏曲线 是否包围GH平面的 点是判别系统是否稳 定的重要依据（当然还须考虑是否存在S平面右半部的开环极点和曲线 包围 点的方向）。当 曲线恰好通过GH平面的 点（注意不 是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界 稳定状态。 ),1( οj− ),1( οj− )()( sHsG )()( sHsG GHΓ GHΓ GHΓ GHΓ GHΓ GHΓ ),1( οj−),1( οj− ),1( οj− ),1( οj− 20 五、奈氏判据的应用 例5—6 试用奈氏判据分析例5—1系统的稳定性。 解 该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当 时系统的奈氏曲线如图 5-46所示。该系统的两个开 环极点 和 均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0，由 图5-46可知，系统的奈氏曲线 不包围 点（N=0），根据奈氏 判据，位于S平面右半部的闭环极点数 Z=P－N=0，该闭环系统是稳定的 )( )1)(1( )()( 21 21 TT sTsT KsHsG >++= )1)(1( )()( 21 ++ = ωωωω jTjT KjHjG ∞−由ω ∞+变至 1 1 T − 2 1 T − GHΓ ),1( οj− 确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重 要。 21 上述结论可从图 5—47所示的根轨迹图得到证明，从图5—47可知，无论K 为何值根轨迹都在S平面左半部，系统总是稳定的。 )0(1 =KP2)0( PK = ∞→K 2 1 T − 1 1 T − ωj [ ]S 0 σ ∞→K +∞= −∞= ω ω 1− 0 K 0=ω eR mI [ ]GH 图5-46 例5-6奈氏曲线 图5-47 例5-6根轨迹图 22 例5—7 试用奈氏判据分析例5—3系统的稳定性。 解 该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当 时，系统的奈氏曲线如图 5—48所示。由于系统含有 一个积分环节（v=1），当 对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标 原点的无穷大半圆（图5—48中虚线所示）。 )10( )12( )()( 22 <<++= ζζ TssTs K sHsG v )21( )()( 22 ωζωωωω TjTj K jHjG v +−= ∞−由ω ∞+变至 时，至由 +− 00ω 23 开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实 轴的交点坐标值 的大小，当 时， 不包围 点，即N=0 图5-48（a），系统是稳定的；当 时,奈氏曲线 顺时针包围 点 两周，即 ,图5-48（b），系统不稳定。 ζ2 TKv− 1 2 >ζ TK v ),1( οj−1 2 <ζ TK v ),1( οj−GHΓ GHΓ 2−=N 0 −∞= +∞= ω ωξ2 TKV −= 0ω += 0ω eR [ ]GHm I 01 2 )( =< NTKa V 时ξ 1− 1− −∞= +∞= ω ωξ2 TKV −= 0ω += 0ω eR [ ]GHm I 21 2 )( −=> NTKb V 时ζ 0 图5-48 例5-7奈氏曲线 24 例5—8已知反馈控制系统的开环传递函数为 试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。 解 系统的开环频率特性是 其幅频特性和相频特性分别是 τ=< TTT 、、 )1( )1()()( 2 ωω τωωω jT jKjHjG +− += 222 22 1 1)()( ωω ωτωω T KjHjG + += τωωωω arctgarctgTjHjG +−−=∠ 0180)()( 当 时， , 当ω由0变至+∞时， 由∞ 变至0， 由-180o在第III象限内变化为-180o，其对应的奈氏曲线如 图5-50（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围 点（N=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当 时，该系统是稳定的。 τωω arctgarctgT < )()( ωω jHjG )()( ωω jHjG∠ ),1( οj− τT τωω arctgarctgT > ω ∞+ )()( ωω jHjG ∞ 0180)()( −∠ 由ωω jHjG ),1( οj− τ>T τ>T （c）当 时， ，当 由0变至 时， 由 变至0， 在第II象限内变化后再次变为-1800，其 对应的奈氏曲线如图5-50（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针 包围了 点两周（N=2），由奈氏判据知，当 时，该系统是不稳定 的。当 时，系统的根轨迹如图5—51（c）所示。由于有两条根轨迹全 部位于S平面右半部，无论K为何值，该系统都是不稳定的。 26 )(a 图5-50 例5-8系统的奈氏曲线 + − = = 0 0 ω ω mI eR [ ]GH τT )(c −∞=ω +∞=ω 2 1 P P 临界稳定）(τ=T )(b 0 ωj [ ]S σ 图5-51 例5-8系统的根轨迹图 0 2 1 P P3P T 1− τ 1− ωj [ ]S σ 稳定）(τT )(c [ ]S 27 根据对数频率特性图判断系统的稳定性 考虑s平面上单位圆与对数坐标平面的关系： s平面上的单位圆 0dB线 0dB线以下单位圆内 0dB线以上单位圆外 －π线负实轴 由上至下穿越－π线（负穿 越） 顺时针绕 点)0,1( j− 逆时针绕 点)0,1( j− 由下至上穿越－π线（正穿 越） π−在对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线穿越 线的次数 ，满足 ，则系统稳定。−+ −= NNN 02 =−= NPZ 利用对数频率特性图判断系统稳定性的奈氏判据为 28 °− 180 ω ω )(ωL )(ωϕ (-) (+) (-) −+ −= NNN NPZ 2−=