QB 3907-1999-T 乒乓球网架

高三理科数学知识点1、几种常有函数的导数①C'0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；⑦(logax)'1；1xlna⑧(lnx)'x2、导数的运算法例（1）(uv)'u'v'.（2）(uv)'u'vuv'.u'u'vuv'0).（3）()v2(vv3、指数与对数互化式：axNxlogaN；对数恒等式：alogaNN.基本性质：loga10，logaa1.logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaNNlogaMnnlogaM.换底logablogcblogcaa0,a1,c0,c1,b0.重要公式：loganbmmlogabn⑶圆台侧面积：S侧面rlRl⑷体积公式：V柱体Sh；V锥体1Sh；13V台体S上S上S下S下h3⑸球的表面积和体积：S球4R2，V球4R3.35、点到直线距离公式：dAx0By0CA2B26、两平行线间的距离公式：l1：AxByC10与l2：AxByC20平行，则dC1C2A2B27、圆的方程：xa2b2r2⑴方程：y圆心(a,b)，半径为r.⑵一般方程：x2y2DxEyF0.圆心为DE(,)，半径为22r1D2E24F2直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的地点关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr相交0.弦长公式：倒数关系logab1l2r2d2logbaa0,a1,b0,b1.4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：S侧面rl1k2(x1x2)24x1x2两圆地点关系：dO1O2⑴外离：dRr；⑵外切：dRr；⑶相交：RrdRr；⑷内切：dRr；⑸内含：dRr.空间中两点间距离公式：P1P2x2x122z22y2y1z18、总体特点数的估计：⑴平均数：xx1x2x3xn；n1取值为x1,x2,,xn的频次分别为p1,p2,,pn，则其平均数为xpxpxnp；1122n注意：频次散布表计算平均数要取组中值。⑵方差与标准差：一组样本数据x,x,,x12n方差：s21n(xix)2；标准差：ni1s1nx)2ni(xi1注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反应数据总体水平；方差与标准差反应数据的稳定水平。⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与有关关系；②制作散点图，判断线性有关关系③线性回归方程：ybxa（最小二乘法）注意：线性回归直线经过定点(x,y)。9、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.lnR.弧长公式：lR.r180扇形面积公式：SnR21360lR.210、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tansin.倒数关系：tancot1cos11、三角函数的诱导公式（归纳为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）sinsin,coscos,tantan.sinsin,coscos,tantan.sinsin,coscos,tantan.sin2cos,cos2sin.sincos,2cossin.2函数ysinx的图象yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.①先平移后伸缩：ysinx平移||个单位（左加右减）横坐标不变ysinx纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍yAsinx1横坐标变为原来的||倍Asinx上加下减）平移|B|个单位yAsinxB②先伸缩后平移：ysinx横坐标不变纵坐标变为原来的A倍yAsinx纵坐标不变，横坐标变为原来的|1|倍yAsinx（左加右减）平移个单位yAsinx（上加下减）平移|B|个单位yAsinxB函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,,为常数，2；且A≠0)的周期T||函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为常数，且A224、点的平移公式平移前的点为≠0)的周期T.||对于yAsin(x)和Acos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只要令xk(kZ)2与xk(kZ)解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特点：Aymaxymin，2ymaxymin.2要根据周期来求,要用图像的重点点来.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantantan.1tantan6、tantantan.1tantan二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos1sin2.22cos2cos2sin22cos2112sin2.升幂公式：1cos22cos21cos22sin2cos21(1cos2)降幂公式：2sin21(1cos2)23、tan22tan.1tan21、ababcos.2、a在b方向上的投影为：acos.22a23、aa.4、a.5、abab0.1、设ax1,y1,bx2,y2，则：⑴abx1x2y1y2⑵ax12y12⑶abab0xx2yy0112⑷a//babxyxy012212、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x12y2y12.3、两向量的夹角公式cosabx1x2y1y2abx12y12x22y22P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，xxh则y函yk.数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的图像的解析式为ykf(xh).平面的法向量的求法（待定系数法）：①成立适合的坐标系．②设平面的法向量为n(x,y,z)．③求出平面内两个不共线向量的坐标(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．根据法向量定义成立方程组na0.nb0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.1、用向量判断空间中的平行关系⑴线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只要证明a∥b，即akb(kR).即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。⑵线面平行①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只要证明au，即au0.3即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也能够在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只要证u∥v，即证uv.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判断空间的垂直关系⑴线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只要证明ab，即ab0.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只要证明a∥u，即au.②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为m、n，若am0,则l.an0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只要证uv，即证uv0.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的随意两点，a,b所成的角为，则cosACBD.ACBD⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：ausincosau⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AOl,BOl，则AOB为二面角l的平面角.如图：ABlOB②求法：设二面角OlA的两个半平面的法向量分别为m、n，再设m、n的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为m、n的夹角或其补角.根据详细图形确定是锐角或是钝角：◆如果是锐角，则mncoscos，mn◆如果是钝角，则mncoscos，mn5、利用法向量求空间距离点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.即nMPdMPcosn,MPMPnMP4nMPn1、正弦定理：abc2R.sinAsinBsinC（其中R为ABC外接圆的半径）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa,sinBb,sinCc;2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其余元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其余元素。2、余弦定理：a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC.cosAb2c2a2,2bccosBa2c2b2,2accoCsa2b2c2.2ab用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其余元素；⑵已知三角形三边，求其余元素。做中两个定理经常联合使用.3、三角形面积公式：SABC1absinC1bcsinA1acsinB2224、三角形内角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)CAB2222C22(AB).5、一个常用结论：ABC中，absinAsinBAB;若sin2Asin2B,则AB或AB.2特别注意，在三角函数中，sinAsinBAB不可立。1、数列中an与Sn之间的关系：S1,(n1)anSn1,(n注意通项可否合Sn2).并。2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列Aab2⑶通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.⑷前n项和公式：Snnn1na1anna12d2⑸常用性质：①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN*)、，⋯也成等差数列。⑤单一性：an的公差为d，则：ⅰ）d0an为递增数列；ⅱ）d0an为递减数列；ⅲ）d0an为常数列；⑥数列{a}为等差数列anpnqn（p,q是常数）⑦若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k⋯是等差数列。3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不一定成立。5⑶通项公式：ana1qn1amqnm⑷前n项和公式：（q≠1时）a11qna1anqSn1q1q⑸常用性质①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；lgan是公差为lgq的等差数列；④若an是等比数列，则can，an2，1，anr(rZ)是等比数列，公比依次an21r.是q，q，，qq⑤单一性：a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摇动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k⋯是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式S1,(n1)anSn1,(n结构两式作差求Sn2)解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后考证可否统一）。累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是对于n的函数）可结构：anan1f(n1)an1an2f(n2)...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)①若f(n)是对于n的一次函数，累加后可转变为等差数列求和;②若f(n)是对于n的指数函数，累加后可转变为等比数列求和;③若f(n)是对于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是对于n的分式函数，累加后可裂项求和.累乘法：形如an1anan1f(n)型的递f(n)an推数列（其中f(n)是对于n的函数）可构anf(n1)an1an1f(n2)造：an2...a2f(1)a1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。㈠形如an1panq（其中p,q均为常数p0）型的递推式：1）若p1时，数列{an}为等差数列;2）若q0时，数列{an}为等比数列;（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可经过待定系数法结构等比数列来求.方法有如下两种：法一：设an1p(an),展开移项6整理得an1pan(p1),与题设c=c(11).an1panq比较系数（待定系数法）得(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2常有的拆项公式有：qqq,(p0)an1p(an111p1pp)①；11n(n1)nnqq),即1anp(an1p②1111p11(2n1)(2n1)2(1);qq2n2n1an组成以a1为首项，以11③p1p1ab(ab);p为公比的等比数列.再利用等比数列的通ab④Cnm1Cnm1Cnm;项公式求出anq的通项整理可得⑤nn!(n1)!n!.p1⑶分组法求和an.有一类数列，既不是等差数列，也不是法二：由an1panq得等比数列，若将这类数列适合拆开，可分为anpanq(n2)两式相减并整理得几个等差、等比或常有的数列，然后分别求1和，再将其归并即可.一般分两步：①找通向an1anp,即an1an组成以a2a1项公式②由通项公式确定怎样分组.anan1⑷倒序相加法p为公比的等比数列为首项，以.求出如果一个数列an，与首末两项等距的两an1an的通项再转变为种类Ⅲ（累加法）便可求出an.5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可获得数列anbn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项can(anb1)(anb2)(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设a，通分整理nanb1anb2后与原式相比较，根据对应项系数相等得c，进而可得项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就获得了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特点：a1ana2an1...⑧当a0时，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式ababab.3、几个著名不等式①平均不等式：2aba2b2a1b1ab22a，bR,（当且仅当ab时取""号）.（即调解平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：ab2b2aba2;22a2b2(ab)2.2①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);b2b17③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)规律：重点是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段议论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类议论，分类议论的标准有：⑴议论a与0的大小；⑵议论与0的大小；⑶议论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时a00.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时a00.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.常有的目标函数的种类：①“截距”型：zAxBy;yyb②“斜率”型：z或z;xxa③“距离”型：zx2y2或zx2y2;z(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系．全称命题与特称命题的符号表示及否认①全称命题p：x,p(x)，它的否认p：x0,p(x0).全称命题的否认是特称命题．②特称命题p：x0,p(x0),，它的否p：x,p(x).特称命题的否认是全称命题.常用定积分公式⑴0dxc（c为常数）⑵1dxxc⑶xdxx1(1)c1dx1⑷lnxcx⑸exdxexc⑹axdxaxc(a0,a1)lna⑺sinxdxcosxccosxdxsinxc⑼sinaxdx1cosaxc(a0)a⑽cosaxdx1sinaxc(a0)a4、定积分的性质bkb⑴kf(x)dxaf(x)dx（k为常数）；a⑵bf(x)g(x)dxbbg(x)dxaf(x)dxaab()c()b()⑶fdxff（其中xxdxxdxaacacb);⑷利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是8a0;若[a,a]上的奇函数,则f(x)dxaf(x)是[a,a]上的偶函数,则a2af(x)dxf(x)dx.a0⑵复数的代数形式zabi(a,bR)；⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类复数zabia,bR实数(b0)组合Cnm1CnmCnm1abnCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCn0anCnnbnnN.⑵二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr0rn,rN,nN.用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个观点，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如虚数(b0)纯虚数(a0,b0)在(axb)n的展开式中，第r1项的非纯虚数(a0,b0)二项式系数为r1项的系数为3、有关公式Cn，第rCnranrbr；而(x1)n的展开式中的系数等⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶x于二项式系数；二项式系数一定为正，而项a2b2zabiX01⋯k⋯n⑷zabiPCn0p0qnCn1p1qn1kknknn⋯Cnpq⋯Cnpq0z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.5、常有的运算规律(1)zz;(2)zz2a,zz2bi;(3)zz2z2b2;(4)zz;(5)zzza2(6)i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n41;21i1i1i2(7)1ii;(8)ii,ii,211排列数公式：①Anmnn1n2nm1，Anmn！；nm!②Annn!，规定0!1.①Cnmnn1n2nm1或n！m!m；Cnm!nm!②CnmCnnm，规定Cn01.的系数不一定为正.⑷1xn的展开式：1xnCn0xnCn1xn1Cn2xn2Cnnx0x1zR若令，则有nCn0Cn1Cn2Cnn.112n二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即Cn0Cn2Cn1Cn32n1若(axb)na0a1xa2x2...anxn,则设f(x)(axb)n.有：①a0f(0);②a0a1a2...anf(1);③a0a1a2a3...(1)nanf(1);④a0a2a4a6...f(1)f(1);2⑤a1a3a5a7...f(1)f(1)2.⑺排列与组合的区别：排列有次序，组合无设离散型随机变量X可能取的不同值为次序.AnmCnmAmm，即x1,x2，⋯，xi，⋯，xn，⑻排列与组合的联系：X的每一个值xi（i1,2,,n）的概率排列就是先组合再全排列.P(Xxi)pi，则称表mAnmn(n1)(nm1)n!Cnmm(m1)21(mn)Xx1x2⋯xi⋯xnAmm!nm!⑼排列与组合的两个性质性质Pp1p2⋯pi⋯pn排列AmAmmAm1；1为随机变量X的概率散布，简称X的散布nnn9列.性质：①pi0,i1,2,...n;n②pi1.i1⑵两点散布如果随机变X01量X的散布p列为P1p则称X听从两点散布，并称pP(X1)为成功概率.⑶二项散布如果在一次试验中某事件发生的概率p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰巧发生k次的概率是P(Xk)Cnkpk(1p)nk.其中k0,1,2,...,n,q1p，于是获得随机变量X的概率散布如下：我们称这样的随机变量X听从二项散布，记作X~Bn,p，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否听从二项散布，重点有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;③等概任性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：⑴二项散布的模型是有放回抽样；⑵二项散布中的参数是p,k,n.⑷超几何散布一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件k发生的概率为knkP(Xk)CMCNM(k0,1,2,,m)CNn注:⑴超几何散布的模型是不放回抽样；⑵超几何散布中的参数是M,N,n.其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的散布列为Xx1x⋯xi⋯xn2Pp1p2⋯pi⋯pn则称EXx1p1x2p2xipixnpn为离散型随机变量X的均值或数学希望（简称希望）.它反应了离散型随机变量取值的平均水平.性质：①E(aXb)aE(X)b.②若X听从两点散布，则E(X)p.③若X~Bn,p，则E(X)np.⑵离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量X的散布列为Xx1x2⋯xi⋯xnPp1p2⋯pi⋯pnnE(X))2piD(X)(xi则称i1为离散型随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.它反应了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分别.性质：①D(aXb)a2D(X).②若X听从两点散布，则10D(X)p(1P).③若X~Bn,p，则D(X)np(1P).5、正态散布正态变量概率密度曲线函数表达式：1x2fxe22,xR2，其中,是参数，且0,.记作N(,2).如下列图：2、独立性查验假定有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数22列联表为：yy总12计xaba+b1xcdc+d2总aba+b计+c+d+c+d若要推断的阐述为H1：“X与Y有关系”，能够利用独立性查验来考察两个变量是否有关系，并且能较精准地给出这种判断的可靠程度.详细的做法是，由表中的数据算出随机变量K2的值K2n(adbc)2，其中(ab)(cd)(ac)(bd)nab2的值越大，cd为样本容量，K说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。K23.841时，X与Y无关；K23.841时，X与Y有95%可能性有关；K26.635时X与Y有99%可能性有关.极坐标与直角坐标的互化M是平面内随意一点，它的直角坐标(x,y)，极坐标是(,)，从图中能够得出：xcos,ysin2x2y2,tany(x0).x11