非齐次线性方程组

非齐次线性方程组 非齐次线性方程组Ax=b 一、基本理论 线性方程组Ax=b有解条件: 系数矩阵A的秩 = 增广矩阵(A,b)的秩. 的解集结构: 非齐次线性方程组 若x是Ax=b的一个特解, N(A)示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方1 程组Ax=b的解集为x+N(A). 1 解非齐次线性方程组的方法: 通过初等行变换将增广矩阵(A,b)化为最简行阶梯矩阵(A,b), 写出对应的方程组，根据11 方程组写出解. 二、Matlab实现 调用rref(A)将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解. 若方程组有解, 且rank(A)=n，即A列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A左除b求得唯一解:x=A\b. 三、例子 例1. 求解线性方程组 34322xxxxx,，，,,,12345,,,,,,6333xxx245,,434222xxxxx,，，,, ,12345 ,xxxx，，,,01235, ,，,，，,26231xxxxx,12345, A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b] A1 = 3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1 rref(A1) ans = 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 化为方程组 xx,,，x,153, x,0,2 ,xx,,，1,45所以解为 xx,，x,110,,,,,,,,,,153,,,,,,,,,,x00002,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, xxxx,,，，1003335,,,,,,,,,,xx,，1011,45,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,xx01055,,,,,,,,,, 2(3,0)(1,1)(2,2). 设函数经过点, , , 求系数, , . 例2byaxbxc,，，ac 解 abc，，,1, , 422abc，，,, ,930abc，，,, A输入系数矩阵和右端项 b A=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]); 增广矩阵 A1 A1=[A b] A1 = [ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0] 利用rref求解 R=rref(A1) R = [ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3] 即解为 311 abc,,,,,,,322 解二 A判断方程组是否有解, 即系数矩阵的秩是否等于增广矩阵的秩. A1 rank(A)==rank(A1) ans = 1 有解. AA判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 是否等于的列数. n [m,n]=size(A); rank(A)==n ans = 1 A的秩等于列数, 有唯一解. n 直接用A左除 求解 b x=A\b x = -3/2 11/2 -3 例 3. 设三种食物中每100g中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表. 每100g食物所含营养(g) 营养 所需营养 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 36 51 13 33 蛋白质 52 34 74 45 碳水化合物 0 7 1.1 3 脂肪 三种食物用量各为多少才能保证所需营养, 解. 设脱脂牛奶用量为, 大豆面粉用量为, 乳清用量为. xxx123 36 51 1333xxx，，,,123, 52 34 7445xxx，，,,123 ,0 7 1.13xxx，，,123, A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3] A = 36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A) R = 1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332 所以脱脂牛奶的用量为27.72g，大豆面粉的用量为39.19g，乳清的用量为23.32g。