【word】 线性无关向量组的构造

【word】 线性无关向量组的构造 线性无关向量组的构造 科I技l论I坛 线性无关向量组的构造 科 付立江 (哈尔滨师范大学,黑龙江哈尔滨150025) 摘要:判别向量组的线性相关性是学习线性空间结构理论的基础,而 如何合理的构造出我们想要的线性无关的例子,并加以运用呈现出给 更多更好的结论呢.本文主要从线性无关与现行相关的向量组联系入手,列举了两类常用的构造线性无关向量组的. 关键词:线形无关;线性相关;部分组;维数 向量作为线性空间的元素,其现形式变 化多样,或是,中的向量,或是M(F)中的矩 阵,或是Fix]中的多项式,或是区间【a,b]上实连 续函数,或是数域F中的数等等.而判别向量 组的线性无关性是理解线性空间结构的基础, 应用极其广泛,那么如何用简单而有效的方法 来构造线性无关的向量组呢,本文给出较为常 用的几种方法. 本文中所涉及的向量均是某抽象的线性 空间中的元索. 1由线性无关的向量组构造线性无关的向 量组 方法l,截取线性无关向量组的一部分: 若某一向量组线性无关,则其任意部分组 也线性无关.故我们不妨可以根据需要对原线 性无关的向量组进行任意地截取其中的部分 组,从而构造出新的线性无关的向量组.当然如 果截取的恰当,也可以按照一定的顺序进行截 取. sl:在向量组q,n,,中,设q0,并且 每一向量n,i>l,都不能表成它的前i-1个向量 , .:,--,q的线性组合,则q,n:,…,线性无关. :(反证法)显然q线性无关.设向量 组n:,…,线性相关,则存在不全为零的一组 数kl,,k,使得lal+22+?+=0 在t,k2,…,毛中按照下指标由大到小的顺序 寻找第一个不为零的数,设为kj(1sn),即 = 一 =:+l=o,?0, 于是等式可整理为 Q1+七22+’十=0,k菩0 讨论:若1,则10=0,k?0,于是n一0, 这与题设已知ot0矛盾,故i>1.将上式整理 得:,,,,,, =q 十l-+.--+卜等 这与题设已知n,lj>1,都不能表成它的前 卜1个向量q,az,…,a的线性组合相矛盾,故 q,,…,a线性无关.证毕. 方法2,增加线性无关组中各向量的维数: S2:设a,a,…,为n个m维的线性无关 向量(m?n), 1=(ql,2,…,q), 2=(o21a22,…,口), 0H=(am,a2,?..,anm), 对于任意P?N,构造 岛:(ql,q2,…,口,1,…,), =(n21,2,…,a2,1,..,), ?????????????????????????????__??????__??? :(da,--,”,,…,) 则,,,线性无关. 证明:当p=l时,由于n,a,?,a线性无 关,根据定义只有当,,…,均为零时, +n:+…+a一0才成立,即其相对应的 齐次线性方程组Arx=0只有零解,其中 A=(),=l,…,%=l,…,m,=(.,,,). 对于等式编+..__+’=0,将其整理成齐 次线性方程组的矩阵形式为fAI一n,其中l B B=(岛,,…,).由于Arx=0只有零解,而 B0=0恒成立,故方程组fA1一n只有零解,于【 B厂 是向量组,,一,线性无关.? 本结论可以通过对正整数P进行归纳即得 结论.证毕. 注:将方法1,方法2进行对比,加以, 方法1旨在说明对于给定的线性无关的向量 组,向量的维数不变,减少向量的个数,其结果 不改变其原有的线性无关性;而方法2是说明 对于给定的线性无关的向量组,向量的个数不 变,增加每个向量的维数,那么可以仍旧保持其 原有的线性无关性. 方法3,叠加法: 设a,nz,,a为一线性无关向量组,则 a.对于任意的数k?F,1,2,一,n q+畸,?一,+庀,,a卜-1+H一,0+七, 线性无关. b.q,q+,q+十,…,q十(+’’’十 线性无关. ..当:f(_”0时,即当n为 偶数,?形式为 : ? q1q a21a22 q d2H ??? a 2 ? : nM 设A=(),i,:I一2,n,由已知行列式 ll口12…ql … {0,于是矩阵A为可逆矩阵,从而 I.I ?丁 对于向量组q,,…,a与岛,,…,,由 (1)(21式可知,向量组…,与,,…,等 价,而等价的向量组具有相同的秩,即 r【01,a2,…,)=,(,,…,). 因此向量组届,,,线形无关.证毕. 此命题也是一个充要条件的命题,由于本 文主要是构造线性无关的向量组,故对其逆命 题不作讨论说明. 矩阵是我们学习高等代数的核心,很多问 题的研究都无法脱离它,此结论更是一个很好 的印证.式子中的矩阵A是n阶的可逆方阵, 那么由一组线性无关的向量组,加之可逆矩阵 则可以随意的构造线性无关的向量,这一结论, 在线性空间基的构造中经常地被加以弓l用,也 是一个在实际操作中应用较广的一种方法. 2由线性相关的向量组构造线性无关的向 量组 s4:没q,02,一,为n个m维的线性相关 向量, nl=(411,a12,一,1), 2一(!,2,’,日2), a一(aa2,…,anm), 相仿于求解线性方程组时选取自由未知量 来构造基础解系的方法,构造 = (q.,q2,一,q,,0,-一,o), = (n2l,2,…,a2,O,C2,…,0), : (an1,an2,…,,0,0,…,), 其中q,i—l,2,…,n为非零数,则岛,岛,…, 线性无关. 证明:很显然 (q,0,…,0),:(o,c2,,o),……一@Q?’’ 是线性无关的,利用本文中第一部分中的 将向量,,...的维数增加,将向量,,…, 改写为岛,,…,,使低维线性无关向量组 , :,…,卢变为高维线性无关向量组 岛,,…,.证毕. 3其他途径 (1)3.1从我们学习过的关于线性无关的知识 可知,利用线性无关定义以及相关的结论,或由 线性无关的定义式,转为求解(下转286页) 一 25— 科赢工【程I科1技 PLD1600型混凝土配料机水泥自动给料 装置的设计与安装 秦瑞宝张开军张翠萍 (大庆市第三建筑工程有限公司,黑龙江大庆163316) 摘要:结合实际,针对PLD1600型混凝土配料机水泥自动给料装置的 设计与安装进行了论述. 关键词:混凝土配料机;自动给料装置;设计;安装 为了满足油田及市政道路附属配套工程口与螺旋输送器连接.绞笼 式 施工要求,年初购进一台郑州产PLD1600型混 凝土配料机,及混凝土搅拌机,在安装试生产期 间发现了一些问题,并对其进行设计改造. 1水泥给料装置的设计与改造原因 针对PLD160o型混凝土配料机的配套使 用,设计制作了两个散装水泥罐,直径为 2300mm,高为3500ram,锥体高为1400ram,厚 度为6mm,体积为20m.给料方式是采用人工 给料且没有经过电子计量装置.在生产过程中 遇有风天,水泥散失量大,超过环保规定的范 围,污染严重,工人在实际操作过程中,身心直 接受到损害,工人劳动强度高,混凝土中水泥含 量级配控制不准确,为了充分利用原有储料斗 电子称量装置,为此我们对罐装水泥给料方式 进行了设计改造. 2水泥自动给料装置设计与安装 其原理是在制作的水泥储料罐下面漏料 口位置,制作安装一台直径为325mm绞笼式螺 旋输送器(见图1),水泥罐锥体出口直径为 245mm,离地面高1500mm,其上部装有闸板 阀,下口作法兰盘与送料管口法兰连接.工作时 打开闸板阀,停机前关闭闸板阀,把螺旋输送器 里的水泥送到水泥储料斗,清空螺旋输送器里 的水泥,防止水泥滞留在螺旋输送器里面.两罐 之间的送料管长度分别为2000mm,管口直径 为245mm,上口与水泥罐锥体出口链接,其下 螺旋输送器设计制作长度为 4500mm,直径为325mm无缝 钢管,绞笼芯子为抽油机光杆, 直径为1.2英寸,其上部焊上厚 度为3mm扇翅,用于输送水 泥.两端端口位匿安装(150B), dP325封闭式轴承座,固定在管 口上.一端与电机连接,电机采 用低转速,电磁调速电机,安装 在主动轴心上,提供动力传动, 功率为2.2KW,调速范围 1250—125r/min.额定转距7.1N? m,励磁电压~<90v,励磁电流? 1.50A,连接到操作室配料控制仪控制. 考虑到水泥,砂石遇潮湿后,不易流动,在 水泥,砂石和碎石储料斗漏料口处分别安装一 台附着式混凝土振动器,功率为0.8kw,频率 为2850次,在50—100HZ范围内.在振动器与 料斗连接处加装金属橡胶垫用以减振.水泥, 砂,碎石料潮湿时打开振动器,料干时关闭,由 操作室配料控制仪控制.此装置提高了水泥和 砂石的漏出量,保证水泥,砂石流到小型皮带机 上的数量.按着称量,水泥,砂石,碎石的顺序称 量累加重量进入称料斗,提升到搅拌机,完成一 次搅拌任务.同时为了防止水泥风刮散失污染, 在水泥储料斗上部按储料斗几何尺寸,加装盖 图1 子把水泥罩住,其上部开口与螺旋输器出料口 连接,完成水泥给料全封闭式,解决了环保问 题,解决了散装水泥自动上料称量问题,实现了 水泥自动化上料,配料搅拌自动化. 结束语 经过几个月的试运行,设计制作安装的绞 笼式螺旋输送器和附着式混凝土振动器,提高 了水泥给料的级配精度,提高了砂石给料的级 配精度,从而保证了水泥混凝土的拌合质量,减 少了水泥排放对环境的污染,又节省了用工,减 轻了劳动强度,提高了劳动效率,可以推广使 用 一 286—