从梯子的倾斜程度谈起锐角三角函数——正弦与余弦

第一章直角三角形的边角关系第一节从梯子的倾斜程度谈起(二)在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.正切直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数有的放矢在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边tanA=本领大不大悟心来当家如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?想一想结论:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A的对边ABC∠A的邻边┌斜边正弦与余弦在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即想一想在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边cosA=sinA=生活问题数学化结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.想一想如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?行家看“门道”例2如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.例题欣赏老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?200ACB┌解:在Rt△ABC中,知识的内在联系求:AB,sinB.做一做10┐ABC老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内在的关系?如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,真知在实践中诞生1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.随堂练习求:△ABC的周长.老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.C556AB┌D┐ABC2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,八仙过海,尽显才能3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定随堂练习4.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinAsinB;(2)若sinA=sinB,则∠A∠B.ABC┌八仙过海,尽显才能5.如图,∠C=90°,CD⊥AB.随堂练习6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.()()()()()()┍┌ACBD┍┌ACBD八仙过海,尽显才能7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.随堂练习8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=6,求sinA和cosB老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌ACB34┌ACB34(1)(2)八仙过海,尽显才能随堂练习9.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.老师提示:过点A作AD垂直于BC,垂足为D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB┌D相信自己随堂练习10.在梯形ABCD中AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18求:sinB,cosB,tanB.老师提示:梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转化为直角三角形.ADBCF┌E┌回味无穷定义中应该注意的几个问题:小结拓展1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别示∠A的正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.回味无穷回顾,反思,深化小结拓展1.锐角三角函数定义:请思考:在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关系?ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边tanA=sinA=cosA=1.如图,分别求∠α,∠β的正弦、余弦和正切.2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.αβ9┐x4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?知识的升华结束寄语数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.——高斯下课了!