[初三数学]几何题综合题

[初三数学]几何综合题 12(如图，AB是半圆O的直径，AB,2，射线AM、BN为半圆O的切线(在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC(过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F(过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q( (1)求证:?ABC??OFB; (2)当?ABD与?BFO的面枳相等时，求BQ的长; (3)求证:当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点( N M F D P Q C E A B O 12((1)证明:?AB为直径，??ACB,90?，即AC?BC 又OE?BC，?OE?AC，??BAC,?FOB ?BN是半圆的切线，??ACB,?OBF,90? ??ABC??OFB ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)解:由?ABC??OFB得，?OFB,?DBA，?DAB,?OBF,90? ??ABD??BFO 当?ABD与?BFO的面积相等时，?ABD??BFO ????????????????????????????????????? 4分 ?AD,1 又?DP是半圆O的切线，?OP,1，且OP?DP ?DQ?AB，?BQ,AD,1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 (3)由(2)知，?ABD??BFO BFAB2 ?,，?BF, ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 OBADAD ?DP是半圆O的切线，?DA,DP，QB,QP ????????????????????????????????????????????? 9分 过Q点作QK?AM于K N 222M 在Rt?DKQ中，DQ,DK，KQ F 222?(AD，BQ),2，(AD,BQ) D P 11 ?BQ,，?BQ,BF K Q AD2 C E ?点Q始终是线段BF的中点 ????????????????????????? 11分 A B O 13(如图，在Rt?ABC中，?ACB,90?，AC,6cm，BC,8cm，P为BC的中点(动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆(设点Q运动的时间为t s( (1)当t,1.2时，判断直线AB与?P的位置关系，并说明理由; A (2)已知?O为?ABC的外接圆，若?P与?O相切，求t的值( O B Q C P 13(解:(1)直线AB与?P相切 ??????????????????????????????????????????????????? 1分 A 如图，过P作PD?AB，垂足为D 在Rt?ABC中，?ACB,90?，AC,6cm，BC,8cm O D 22 ?AB,AC，BC,10cm B Q C P ?P为BC中点，?PB,4cm ??PDB,?ACB,90?，?PBD,?ABC PDPB ??PBD??ABC，?, A ACAB PD4 即,，?PD,2.4(cm) 610O 当t,1.2时，PQ,2t,2.4(cm) B Q C P ?PD,PQ，即圆心P到直线AB的距离等于?P的半径 ?直线AB与?P相切 ??????????????????????????????????????????????? 4分 (2)??ACB,90?，?AB为?ABC的外接圆的直径 A 1AB,10?OB,cm 2 O 1AC,3cm 连接OP，?P为BC中点，?OP, 2 B Q C P ?点P在?O内部，??P与?O只能内切 ?5,2t,3或2t,5,3，?t,1或4 ??P与?O相切时，t的值为1或4 ????????????????????? 8分 14(如图，已知AB是?O的弦，OB,2，?B,30?，C是弦AB上的任意一点(不与点A、 B重合)，连接CO并延长CO交?O于点D，连接AD( (1)弦长AB等于___________(结果保留根号); (2)当?D,20?时，求?BOD的度数; (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相 似,请写出解答过程( D O AB C 14(解:(1)23 (2)解法一:??BOD是?BOC的外角，?BCO是?ACD的外角 ??BOD,?B，?BCO，?BCO,?A，?D ??BOD,?B，?A，?D D 又??BOD,2?A，?B,30?，?D,20? ?2?A,30?，?A，20?，??A,50? O ??BOD,2?A,100? 解法二:如图，连接OA BA C ?OA,OB，OA,OD，??BAO,?B，?DAO,?D ??DAB,?BAO，?DAO,?B，?D 又??B,30?，?D,20?，??DAB,50? ??BOD,2?DAB,100? (3)??BCO,?A，?D，??BCO,?A，?BCO,?D ?要使?DAC与?BOC相似，只能?DCA,?BCO,90? 此时?BOC,60，?BOD,120?，??DAC,60? ??DAC??BOC 1??BCO,90?，即OC?AB，?AC,AB,3 2 15(如图，四边形ABCD为正方形，?O过正方形的顶点A和对角线的交点M，分别交AB、AD于点F、E( E A (1)求证:DE,AF; D 3AE (2)若?O的半径为，AB,2，1，求的值( 2ED O M F BC 15((1)证明:连接ME、MF、EF ??EAF,90?，?EF为?O的直径，??EMF,90? 又?AMD,90?，??EMD,?FMA ?DM,AM，?EDM,?FAM,45? E A D ??DEM??AFM，?DE,AF (2)解:?DE,AF，?AE，AF,AD,2，1 O M 3??O的半径为，?EF,3 2 F 2222BC? 又AE，AF,EF,3，即(AE，AF),2AEAF,3 2???(2，1),2AEAF,3，?AEAF,2 2?AE、AF是方程x,(2，1)x，2,0的两个根 解得AE,2，AF,1或AE,1，AF,2 AE2 ?,2或 ED2 16(如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N( (1)点N是线段BC的中点吗,为什么, (2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB,5cm，BC,10cm，求小圆的半径( O M AD N BC 16(解:(1)点N是线段BC的中点，理由如下: ?AD与小圆相切于点M，?ON?AD 又?AD?BC，?ON?BC ?点N是线段BC的中点 (2)连接OB，设小圆的半径为r O 1则ON,r，5，OB,r，6，且BN,BC,5 2M DA 222 在Rt?OBN中，5，(r，5),(r，6) N BC 7 cm 解得:r, 即小圆的半径为7 cm 17(如图，AB是?O的直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，Q为线段CP的中点，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT( T (1)求证:BC?OT; (2)若?O直径为10，CD,8，求AT的长; C (3)延长TO交直线CD于R，若?O直径为10，CD,8，求TR的长( Q A B O P D 17((1)证明:取PB的中点E，连接QE ?Q是PC的中点，E是PB的中点 ?QE为?PBC的中位线，QE?BC T ?AT为经过A点的切线，AB为直径 ?AT?AB C ?CD?AB，?AT?CD，?TAO,?QPE,90? Q PQAT A B O P E ??BPQ??BAT，?, PBAB PQATD ?PB,2PE，AB,2AO，?, PEAO R ??TAO??QPE，??AOT,?PEQ ?OT?QE ?QE?BC，?BC?OT ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 (2)解:?CD?AB，AB为直径，CD,8 ?CP,PD,4 连接OC 1在Rt?OCP中，?PC,4，OC,AB,5 2 ?OP,3，?PB,OB,OP,2 ATPC BC?OT，??TAO??CPB，?,,2 AOPB 1?AO,AB,5 2 ?AT,10 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 22 (3)解:在Rt?TAO中，OT,AT，AO,55 ?AT?CR，??AOT??POR ?OTOAOPOT3×55 ，?,?,OR,,35 OROPOA5 ?TR,OT，OR,85 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 18(如图，在Rt?ABC中，?ABC,90?，D是AC的中点，?O经过A、D、B三点，CB的延长线交?O于点E，过点E作?O的切线，交AC的延长线于点F( (1)求证:AE,CE; (2)若CF,CD,2，求?O的半径和sin?CAB的值; ?(3)若CF,kCD(k,0)，直接写出sin?CAB的值(用含k的代数式示)( F C D B A E O 18((1)证明:连接DE，??ABC,90?，??ABE,90? ?AE是?O的直径 ???????????????????????????????????????????????????????? 1分 F ??ADE,90?，?DE?AC ?????????????????????????????????????????? 2分 又?D是AC的中点，?DE是AC的垂直平分线 C ?AE,CE ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)解:?D是AC的中点，?AD,CD D B 又?CF,CD,2，?AD,2，AD,6 EF是?O的切线，??AEF,90? A E O 在?ADE和?EFA中 ??ADE,?AEF,90?，?DAE,?EAF ??ADE??EFA ??????????????????????????????????????????????????????????? 4分 AEAFAE6 ?,，?,，AE,2 ??????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ADAE2AE ??O的半径为3 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 ??ADE,?EDF,90?，?DAE,?DEF,90?,?DEA DEAD ??ADE??EDF，?, ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 DEDF 设AD,a(a,0)，则DF,2a aDE 22?,，?DE,2a ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 DE2a 2222 在Rt?CDE中，CE,CD，DE,a，2a,3a ?????????????????????????????????? 9分 ??CAB,?DEC CD3 ?sin?CAB,sin?DEC,, ?????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 CE3 k，2 (3)sin?CAB,(k,0) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 k，2 解答过程如下(本人添加，仅供参考) ??CF,kCD(k,0)，AD,CD，?DF,(k，1)CD ADDE ??ADE??EDF，?, DEDF CDDE 22?,，?DE,(k，1)CD DE (k，1)CD 22 在Rt?CDE中，CE,CD，DE,k，2CD CD1k，2 ??CAB,?DEC，?sin?CAB,sin?DEC,,, CEk，2 k，2 19(如图，Rt?ABC中，?ACB,90?，AB,5，AC,4，点P是AC上的动点(P不与A、 C重合)，PQ?AB，垂足为Q(设PC,x，PQ,y( (1)求y与x的函数关系式; (2)求?ABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与内切圆I相切, (3)若0,x,1，试判断以P为圆心，半径为y的圆与?I能否相内切，若能，求出相应的x的值，若不能，请说明理由( B Q I P A C 19(解:(1)Rt?ABC中，?ACB,90?，AB,5，AC,4 2222 ?BC,AB,AC,5,4,3 ??A,?A，?AQP,?ACB,90? PQAP ??APQ??ABC，?, BCAB B y4,x ?, 35 D Q 312I F ?y,x，(0,x,4) ,55 G 2)设内切圆I的半径为r (C E P A 1111????则S,ABr，ACr，BCr,ACBC ? ABC2222 ?ACBC4×3?r,,,1 AB，AC，BC5，4，3 设?I与AB、AC、BC、直线PQ分别相切于点D、E、F、G 连接ID、IE、IF、IG，可知四边形DIGQ为正方形 B 则有PG,PE，QG,ID,1 Q ?PC,PQ，即x,y 312I 又y,x，(0,x,4) ,55 3123C P E A ?x,x，，解得x ,,552 3?当x时，直线PQ与内切圆I相切 ,2 (3)假设?P与?I能相内切 222 根据勾股定理得:PI,IE，PE 222即(y,1),1，(1,x) 312将y,x，(0,x,4)代入得 ,55 3121222(,x，,1),1，(1,x)，解得x,x ,12554 1?当x时，?P与?I能相内切 ,4 21(如图，AB是?O的直径，AB,4，过点B作?O的切线，C是切线上一点，且BC,2，P是线段OA上一动点，连结PC交?O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E， O于点F，连结DF交AB于点G( 交?A (1)当P是OA的中点时，求PE的长; P(2)若?PDF,?E，求?PDF的面积( M O F M GD M C EM B M 21(解:(1)?AB,4，P是OA的中点，?PB,3 ?CE是?O的切线，?PB?CE 2?又?PE?PC，?PB,BCBE 92 即3,2BE，?BE, 2 932222 ?PE,PB，BE,3，(),13 ?????????????????????????????????????????????????? 4分 22 (2)??C，?BPC,90?，?BPE，?BPC,90?，?BPE，?E,90?，?PDF,? E ??PDF,?BPC，?PFD,?BPE，?PDF??PEC ?PG,DG,FG，即PG是Rt?PDF斜边DF上的中线 ?DF是?O的直径或垂直于直径AB的弦 (P) A ?如图2，若DF是?O的直径 F M 则点P与点A重合，DF,4，PB,AB,4 O 22 ?由PB,BCBE，得4,2BE，?BE,8 D?CE,BC，BE,2，8,10 C EM B S? DF4411 PDF22图2 M ?而,(),(),，S,CEPB,×10×4,20 ? PCECE102522 S ? PCE 416 ?S,×20, ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ? PDF255 A ?如图3，若DF是垂直于直径AB的弦，则DF?CE 且PB垂直平分DF，?PD,PF O (P) 又?DPF,90?，??PDF,45? G??C,?PDF,45?，?PB,BC,2 FD M C EM M 又OB,2，?点P与点O重合 B M 图3 PD,PF,2 ? 11??S,PDPF,×2×2,2 ?????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ? PDF22 26(已知:如图，在?ABC中，AB,AC，AD平分?BAC交BC于点D，BE平分?ABC交AD于点E， F是边AB上一点，以BF为直径的?O经过点E( C (1)求证:AD是?O的切线; 1(2)若BC,4，cosC,，求?O的半径( 3 D E AB F O 26((1)证明:连接OE，则OE,OB C ??1,?2 ?BE平分?ABC，??1,?3 D ??2,?3，?OE?BC E 2 ??AEO,?ADB 3 1 BA 在?ABC中，AB,AC，AD平分?BAC F O ?AD?BC，??ADB,90? ??AEO,90?，?OE?AD ?AD是?O的切线 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 (2)解:在?ABC中，AB,AC，AD平分?BAC 1?BD,CD,BC，?ABC,?C 2 11?BC,4，cosC,，BD,2，cos?ABC, 33 BD在?ABD中，?ADB,90?，?AB,,6 cos?ABC 设?O的半径为r，则AO,6,r ?OE?BC，??AOE??ABD OEAOr6,r ?,，即, BDAB26 3解得r, 2 3??O的半径为 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 2 27(已知:如图，AB是?O的直径，点P为BA延长线上一点，PC切?O于点C，BD? PC，垂足为D，交?O于E，连接AC、BC、EC( D 2C?(1)求证:BC,BDBA; (2)若AC,6，DE,4，求PC的长( E BP AO 27(解:(1)?AB为?O的直径，??BCA,90? ?PC为?O的切线，??BCD,?BAC ?BD?PD，??BDP,?BCA,90? ?Rt?BDC?Rt?BCA ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 BCBD ?, BABC 2?BA ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 ?BC,BD (2)?Rt?BDC?Rt?BCA，??DBC,?CBA ,,D C,AC，?EC,AC,6 ?EC ??DCE,?DBC，??DCE,?CBA E BP ?Rt?CED?Rt?BAC AO DEAC64 ?,，即, ECAB6AB ?AB,9 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 2222 ?BC,,AB,AC9,6,35 ??PCA,?PBC，?P,?P PAAC6 ??PCA??PBC，?,, ???????????????????????????????????????????????????????? 6分 PCBC 35 设PA,6k，则PC,35k 22 ?由切割线定理得PC,PAPB，?45k,6k(6k，9) 解得k,6 ?PC,185 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 28(如图，?P与y轴相切于坐标原点O(0，0)，与x轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与?P交于点C( (1)若AC,3，求点B的坐标; (2)若AC,a，D是OB的中点(问:O、P、C、D四点是否在同一圆上,请说明理由(如 k果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O，函数y,的图象经过点O，求k的值(用 11x 含a的代数式表示)( y y B B D D C C x x O P A O P A 备用图 28(解:(1)连接OC，?OA是?P的直径，?OC?AB 2222 在Rt?AOC中，OC,OA,AC,5,3,4 ??????????????????????????????????????? 1分 在Rt?AOC和Rt?ABO中，??CAO,?OAB y ?Rt?AOC?Rt?ABO ?????????????????????????????????????????????? 2分 ACAO53 B ?,，即, ??????????????????????????????????????? 3分 COOB4OB 2020 OB,，?B(0，) ??????????????????????????????????????????? 4分 33 D C 4 (2)O、P、C、D四点在同一圆上，理由如下: 2 3 连接CP、CD、DP，?OC?AB，D是OB的中点 1 O P A x 1?CD,OB,OD，??3,?4 2 又?PO,PC，??1,?2 ??1，?3,?2，?4,90?，?PC?CD 又?DO?OP，?Rt?PDO和Rt?PDC是同以PD为斜边的直角三角形 ?PD上的中点到O、P、C、D四点的距离相等 ?O、P、C、D四点在以DP为直径的同一圆上 ?????????????????????????????????????????? ?6分 OPOD由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O是DP的中点，O(，) 1122 ACOA25 由(1)知:Rt?AOC?Rt?ABO，?,，求得AB, OAABa 2 525,a 22 在Rt?ABO中，OB,,AB,OA a 2 1525,a15 ?OD,OB,，OP,OA, 22a22 2 525,a5 ?O(，) 144a 2 k525,a4k ?点O在函数y,的图象上，?, 1x4a5 2 2525,a ?k, ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 16a 29(己知:如图，?ABC内接于?O，AB为直径，?CBA的平分线交AC于点F，交?O于点D，DE?AB于点E，且交AC于点P，连结AD( D (1)求证:?DAC,?DBA; (2)求证:P是线段AF的中点; C F 15P (3)若?O的半径为5，AF,，求tan?ABF的值( 2 A B O E 29(证明:(1)?BD平分?CBA，??CBD,?DBA ??DAC,?CBD，??DAC,?DBA ?????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)?AB为直径，??ADB,90? D 又?DE?AB于点E，??DEB,90? C F ??ADE，?EDB,?ABD，?EDB,90? P ??ADE,?DBA,?CBA,?DAC A B O E ?PD,PA 又??DFA，?DAC,?ADE，?PDF,90? ??DFA,?PDF，?PD,PF ?PA,PF，即P是线段AF的中点 ????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 (3)??DAF,?DBA，?ADF,?BDA,90? ADAF ??ADF??BDA，?, BDBA 15 2 AF3AD ?在Rt?ABD中，tan?ABD,,,, BDBA104 3 ABF, ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 即tan? 4 30(如图，已知CD是?O的直径，AC?CD，垂足为C，弦DE?OA，直线AE、CD相交于点B( (1)求证:直线AB是?O的切线; (2)如果AC,1，BE,2，求tan?OAC的值( C O D A E B 31(如图，在锐角?ABC中，AC是最短边，以AC为直径作?O，交BC于E，过O作OD?BC交?O于D，连结AE、AD、DC( A ,(1)求证:D是AE的中点; (2)求证:?DAO,?B，?BAD; O D S ? 1CEF(3)若,，且AC,4，求CF的长. 2 S ? OCDF B C E 30((1)证明:连接OE ?OD,OE，??OED,?ODE ?弦DE?OA，??COA,?ODE，?EOA,?OED ??COA,?EOA C 又?OC,OE，OA,OA，??OAC??OAE O D ??OEA,?OCA,90?，?OE?AB A E B 直线AB是?O的切线 (2)解:由(1)知?OAC??OAE ?AE,AC,1，?AB,AE，BE,1，2,3 2222 在Rt?ABC中，BC,AB3,1,22 ,AC, ??B,?B，?OEB,?ACB,90?，??BOE??BAC OEBE22 ?,,, ACBC2 22 OCOE2 ?在Rt?AOC中，tan?OAC,,, ACAC2 31(证明:(1)?AC是?O的直径，?AE?BC ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 ?OD?BC，?AE?OD ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 ,?D是AE的中点 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)方法一: 延长OD交AB于G，则OG?BC ???????????????????? 4分 A ??AGD,?B ?OA,OD，??ADO,?DAO ??????????????????????? 5分 G O D ??ADO,?BAD，?AGD F ??DAO,?B，?BAD ????????????????????????????????????? 6分 B C E 方法二:延长AD交BC于H，则?ADO,?AHC ??????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 ??AHC,?B，?BAD，??ADO,?B，?BAD ??????????????????????????????????????? 5分 ?OA,OD，??ADO,?DAO A ??DAO,?B，?BAD ????????????????????????????????????? 6分 1(3)解:?AO,OC，?S,S ? ? OCDACD2 O D SS ? 1 ? 1CEFCEFF ?,，?, ???????????????????????????? 7分 24 SS ? ? OCDACD ,B C H E ?D是AE的中点，??ACD,?FCE 又??ADC,?FEC,90?，??ACD??FCE ????????????????????????????????????????????? 8分 22S ? CF1CFCEF?,，即, ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 () ()AC44 S ? ACD ?CF,2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 32(如图，在?ABC中，AB,AC，以AB为直径的?O交BC于点D，过点D作EF?AC于点E，交AB的延长线于点F( A (1)求证:EF是?O的切线; (2)如果?A,60º，则DE与DF有何数量关系,请说明理由; O (3)如果AB,5，BC,6，求tan?BAC的值( E C B D F 32((1)证明:连接OD ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 ?AB,AC，??2,?C A 又?OD,OB，??2,?1 4 3 ??1,?C，?OD?AC O ?EF?AC，?OD?EF ???????????????????????????????????????????????? 2分 E 1 2 ?EF是?O的切线 ??????????????????????????????????????????????????????? 3分 C B D (2)解:DE与DF的数量关系为:DF,2DE ??????????????????????????? 4分 F 理由如下: 连接AD，?AB是?O的直径，?AD?BC 11?AB,AC，??3,?4,?BAC,×60?,30? 22 F,90?,?BAC,90?,60?,30? ?? ??3,?F，?AD,DF 1??4,30?，EF?AC，?DE,AD ?????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 2 ?DF,2DE ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 (3)解:设?O与AC的交点为P，连接BP，则BP?AC 11?AB,AC，AD?BC，?BD,BC,×6,3 22 2222 ?AD,AB,BD,5,3,4 ????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 11A ???S,BCAD,ACBP ? ABC22 P 11?×6×4,×5×BP O 22 E 24?BP, ?????????????????????????????????????????????????????????? 8分 B 5 C D 722 ?AP,AB,BP, ?????????????????????????????????? 9分 5 24 5 BP24 ?tan?BAC,,, ??????????????????????? 10分 F AP77 5 33(已知AB为?O直径，以OA为直径作?M，过点B作?M的切线BC，切点为C，交?O于E( (1)在图中1过点B作?M的另一条切线BD，切点为D(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明); (2)证明:?EAC,?OCB; (3)若AB,4，在图2中过O作OP?AB交?O于P，交?M的切线BD于N，求BN的长( E E C C A B A B M O M O P 图2 图1 34(如图，AB是?O的直径，CD是?O的切线，切点为C(延长AB交CD于点E(连接AC，作?DAC,?ACD，作AF?ED于点F，交?O于点G( (1)求证:AD是?O的切线; A (2)如果?O的半径是6cm，EC,8cm，求GF的长( O B G E C F D 33((1)如图1 (方法1:作?ABD,?ABE，与?M相交于点D，连接BD，则直线BD即为 ?M的另一条切线 方法2:作线段MB的垂直平分线，交AB于点F，以F为圆心、FB为半径作 ?F，与?M相交于点D，连接BD，则直线BD即为?M的另一条切线) E C A B M O F D 图1 (2)证明:?BC切?M于点C，??OCB,?OAC，?ECA,?COA ?OA、AB分别为?M、?O的直径，??AEC,?ACO,90? ??EAC，?ECA,90?，?OAC，?COA,90? ??EAC,?OAC,OCB (3)解:如图2，连接MD，则?MDB,90? E C ?AB,4，?OA,2，?AM,1 ?BM,AB,AM,4,1,3 A B M O 在Rt?BDM中，BM,3，DM,1 N 2222 D ?BD,BM,DM,3,1,22 ??OBN,?DBM，? BON,?BDM,90? P BNBOBN2 ??BON??BDM，?,，?, 图2 BMBD3 22 32 ?BN, 2 34((1)证明:连接OC ?CD是?O的切线，??OCD,90? A ??OCA，?ACD,90? O ?OA,OC，??OCA,?OAC ??DAC,?ACD，??OCA，?DAC,90? B G ??OAD,90?，?AD是?O的切线 E C F D (2)解:连接BG ?OC,6cm，EC,8cm 22 ?在Rt?OEC中，OE,OC，EC,10 ?AE,OA，OE,16 ?AF?ED，??AFE,?OCE,90? 又??E,?E，??AEF??OEC AFAEAF1648 ?,，即,，?AF, OCOE6105 ?AB是?O的直径，??AGB,90? 又??BAG,?EAF，?Rt?ABG ?Rt?AEF AGABAG1236 ?,，即,，?AG, AF485AE16 5 483612 ?GF,AF,AG,,,(cm) 555 35(如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC?AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO( (1)求证:?AOB??BDC; (2)设大圆的半径为x，CD的长为y( ?求y与x之间的函数关系式; C E ?当BE与小圆相切时，求x的值( O BDA 35((1)证明:?AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C ??OAB,?OCD,90? C E 2 ?BC?AB，??CBA,?CBD,90? ?????????????????????????????? 1分 F O ?OC,OB，??OBC,?OCB 1 BDA ??1，?OBC,90?，?2，?OCB,90? ??1,?2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 ??AOB??BDC ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)解:?过点O作OF?BC于点F，则四边形OABF是矩形 ????????????????????????????????? 4分 ?BF,OA,1 由垂径定理，得BC,2BF,2 5分 在Rt?AOB中，OA,1，OB,x 222 ?AB,OB,OA,x,1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 由(1)得?AOB??BDC 2 OBABxx,1 ?,，即, BCCD2 y 2 2x2xx,1 ?y,(或y,)??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 22 x,1 x,1 ?当BE与小圆相切时，OE?BE ?OE,1，OC,x 2 ?EC,x,1，BE,AB,x,1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 222 在Rt?BCE中EC，BE,BC 2222 即(x,1)，(x,1),2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 解得:x,2，x,,1(舍去) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 12 ?当BE与小圆相切时，x,2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 36(如图1，?ABC,90?，AB,2，点D为BC边上的一个动点，连接AD，将?ABD沿AD翻折得到?AED，过点E作EF?BC于F( 23 (1)当BD,时，判断直线EF与以AD为直径的?O的位置关系，并加以证明; 3 (2)如图2，点D在BC上向点B运动，直线EF与以AD为直径的?O交于E、G两点，连接AG，当?EAG,?DAE时，求BD的长( C C F EG F E D D O BA BA 图1 图2 36((1)判断:直线EF与以AD为直径的?O相切 ???????????????????????????????????????????????????????????? 1分 以AD为直径作?O ??AED是将?ABD沿AD翻折得到的 ??AED??ABD，??AED,?ABD,90? C 1连接OE，?O为AD的中点，?OE,OD,AD F E 2 ?O上 ?点E在D 23 在Rt?ABD中，AB,2，BD, 3 O BD3 BA?tan?BAD,, AB3 ??BAD,?DAE,30?，??ADB,?ADE,60? ??DOE是等边三角形，??DOE,60? ??ADB,?DOE，?BF?OE ?EF?BC，??OEF,?BFE,90? ?OE?EF，?直线EF与以AD为直径的?O相切 ?????????????????????????????????????? 4分 (2)解法一:延长AE交BC于H 同(1)可证点E在?O上 ?四边形ABDE是圆内接四边形 C ??FDE,?l，?2 H 同理?FED,?2，?3 EF G ??1,?2,?3，??FDE,?FED D 又?DFE,90?，??FDE,?BAE,45? 3 2??ABH,90?，?BH,AB,2 O 1 BA 设BD,x，则DE,BD,x 又?DEH,90?，?DH,2x ?BD，DH,BH，?x，2x,2 2,2 解得x,2 即BD的长为22,2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 解法二:同解法一，得BH,AB,2 ?AH,22 设BD,x，则DE,EH,BD,x ??由切割线定理，得HDHB,HEHA ???(2,x)2,x22 解得x,22,2 即BD的长为22,2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 解法三:同解法一，得?FDE,?BAE,45? 过E作EH?AB于H C 则?AEH,45?，四边形BFEH是矩形 F EG ?BF,EH,AH D 设DF,x，则EF,BH,DF,x 3 2 O DE,BD,2x，AH,2,x 1 BA H ?BD，DF,BF,AH，?2x，x,2,x 解得x,2,2 ?BD,2x,22,2 即BD的长为22,2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 42(在等腰梯形ABCD中，AD?BC，且AD,2，以CD为直径作?O，交BC于点E，过1点E作EF?AB于F，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(,2，0)( (1)求C，D两点的坐标; (2)求证:EF为?O的切线; 1 (3)探究:如图2，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等,如果存在，请找出P点的坐标;如果不存在，请说明理由( y y D D A A O F 1 B O E C B O C x x 图2 图1 42(解:(1)连结DE，?CD是?O的直径，?DE?BC 1 ?四边形ADEO为矩形，?OE,AD,2，DE,AO,23 在等腰梯形ABCD中，DC,AB y ?CE,BO,2，CO,4 ?C(4，0)，(2，23) D A (2)连结OE，在?O中，OE,OC，??OEC,?OCE 111111在等腰梯形ABCD中，?ABC,?DCB OF 1 ?OE?AB 1 B O E C x 又?EF?AB，?OE?EF 1 ?EF为?O的切线 1 (3)解法一:存在满足条件的点P 过P作PM?y轴于M，作PN?x轴于N，依题意得PC,PM 在矩形OMPN中，ON,PM 设ON,x，则PM,PC,x，CN,4,x y AO23 ?tan?ABO,,,3 BO2 D A ??ABO,60:，??PCN,60: P M CN1 ?在Rt?PCN中，cos?PCN,, PC2 4,x18 即,，?x, x23 B O N C x 843 ??PN,CNtan?PCN,(4,)×3, 33 834 ?满足条件的P点的坐标为(，) 33 解法二:存在满足条件的点P 2222 在Rt?AOB中，AB,AO，BO,(23)，2,4 过P作PM?y轴于M，作PN?x轴于N，依题意得PC,PM 在矩形OMPN中，ON,PM 设ON,x，则PM,PC,x，CN,4,x ??PCN,?ABO，?PNC,?AOB,90: PCCN ??PNC??AOB，?, ABBO x4,x8 即,，?x, 423 PNPC 又由?PNC??AOB，得, AOAB 8 3 PN43 即,，?PN, 43 23 834 ?满足条件的P点的坐标为(，) 33 39(已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，以点O为圆心，OP为半径作?O，点C是?O上的一点( (1)如图，如果AP,2PB，PB,BO，求证:?CAO??BCO; 2?(2)如果AP,m(m是常数且m,1)，BP,1，且OP,OAOB(当点C在?O上运动时， :求ACBC的值(结果用含m的式子表示); (3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的?B和以CA为半径的?C的位置关系，并写出相应的m取值范围( C APBO 39(解:(1)?AP,2PB，PB,BO，?AP,PB，BO,PO AOPO ?AO,2PO，?,,2 POBO AOCO ?PO,CO，?, COBO 又??COA,?BOC，??CAO??BCO ?????????????????????????????????????????????????????? 4分 (2)设OP,x，则OA,x，m，OB,x,1 22 ??OP,OAOB，?x,(x，m)(x,1) mm1 ?x,，即OP,，则OB, Cm,1m,1m,1 OAOPOAOC 又?,，OP,OC，?, OPOBOCOB Q ABOP 设?O与线段AB的延长线相交于点Q 当点C与点P、点Q不重合时，?AOC,?COB OCOPAC ??CAO??BCO，?,,,m BCOBOB AC 当点C与点P或点Q重合时，可得,m BC :?当点C在?O上运动时，求ACBC,m ???????????????????????????????????????????????????? 8分 (3)由(2)得，AC,BC，且AC,BC,(m,1)BC(m,1)，AC，BC,(m，1)BC ?B和?C的圆心距d,BC，显然BC,(m，1)BC ??B和?C的位置关系只可能相交、内切或内含 当?B与?C相交时，(m,1)BC,BC,(m，1)BC，得0,m,2 ?m,1，?1,m,2 当?B与?C内切时，(m,1)BC,BC，得m,2 当?B与?C内含时，BC,(m,1)BC，得m,2 ???????????????????????????????????????? 12分 P T A B (C) O 5(如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB,AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF( y(1)当?AOB,30?时，求弧AB的长度; M (2)当DE,8时，求线段EF的长; D(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角M 形与?AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标;若不存在，B请说明理由( FM M EAOCx M M M M 5(解:(1)连结BC y?A(10，0)，?OA,10，CA,5 DM ??AOB,30?，??ACB,2?AOB,60? 5π60×π×5B ?弧AB的长,, ????????????????????????? 4分 1803 F (2)连结OD ?OA是?C直径，??OBA,90? CAO(E) x 又DB,AB，?OB是AD的垂直平分线 M M M ?OD,OA,10 2222y 在Rt?ODE中，OE,OD,DE,10,8,6 M D ?AE,AO,OE,10,6,4 2222 ?AD,AE，DE,4，8,45，?DB,25 B ??BDF,?EDA，?DBF,?DEA,90? F DFDA DEA，?,??DBF?? DBDE DF45EAOC x 即,，?DF,5 8 25 M M M M ?EF,DE,DF,8,5,3 ????????????????????????????????????????8分 y M D (3)设OE,x ?当点E在O、C之间时，由以点E、C、F为顶点的三 B 角形与?AOB相似，有?ECF,?BOA或?ECF,?BAO 当?ECF,?BOA时，?OCF为等腰三角形，点E为OC F 5中点，即OE, 2 ECAO5x ?E(，0) ?????????????????????????????????????????????????????????????9分 12 M M M M 11当?ECF,?BAO时，则CF?AB，?CF,AB,AD 24 y又CE,5,x，AE,10,x DM CECF 由?ECF??EAD，得, AEAD B 5,x110 即,，解得x, 10,x43 F 10?E(，0) ?????????????????????????????????????????????????????????? 10分 23 ECAOx ?当点E在点C右侧时 M M M M ??ECF,?BOA，?要使?ECF与?BAO相似，只能?ECF,?BAO 连结BE y?BE为Rt?ADE斜边上的中线，?BE,AB,DB M D ??BEA,?BAO，??BEA,?ECF B F EAOCx M M M M CFOC ?CF?BE，?, BEOE ?BAO，?FEC,?DEA,90? ??ECF, CFCE ??CEF??AED，?, ADAE OCCE 而AD,2BE，?, 2OEAE 5x,55，5175,517 即,，解得x,，x,,0(舍去) 122x10,x44 5，517 ?E(，0) ???????????????????????????????????????????????? 11分 34y D?当点E在点O左侧时 M ??BOA,?EOF,?ECF B ?要使?ECF与?BAO相似，只能?ECF,?BAO 1连结BE，得BE,AD,AB，?BEA,?BAO 2 CFOC ??ECF,?BEA，?CF?BE，?, C x OAE BEOE M M 又??ECF,?BAO，?FEC,?DEA,90? CECF ??CEF??AED，?, AEAD F OCCE 而AD,2BE，?, 2OEAE 5x，5,5，517,5,517 即,，解得x,，x,,0(舍去) 122x10，x44 5,517 ?点E在x轴负半轴上，?E，0) ??????????????????????????????????????????????? 12分 ( 44 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与?AOB相似 55，5175,51710 此时点E的坐标为:(，0)、(，0)、(，0)、(，0) 2344