一元二次方程中参数的求解策略◆

一元二次方程中的求解策略◆ 一元二次方程中参数的求解策略 范运灵 有关一元二次方程中的参数(字母系数)值的求法，这类目综合性强，方法灵活多变，是各地中考命题者倍加青睐的题目。不少同学对这类问题的求解颇感思路不清，非常棘手。为帮助同学们在复习迎考过程中掌握这类问题的求解策略，现介绍如下，供参考。 一、用方程的定义 2 例1. m为何值时，关于x的方程有实数根,mxmxm，,，，,()2120 (2000年江西赣南中考题) 2 :关于x的方程有实根，可理解为“一元二次方程mxmxm，,，，,()2120 22有实根”和“一元二次方程有mxmxm，,，，,()2120mxmxm，,，，,()21201实根”。 2 解:(1)当m?0时，由,,,,，,,()()21420mmmm，得， 1 ?当时，原方程有两个实根; mm,且?012 12 (2)当m=0时，原方程变为,，,x20只有一个实根。 1 综合(1)(2)当m,，原方程有实根。 12 二、用方程的判别式 23210xxk,，,, 例2. 关于x的一元二次方程有两个不等实根，则k的取值范围是( ) (2001年安徽) 444 A. k, B. C. k, D. kk,且?13334k, 3 2 分析:由 ,,,,,,()()24310?，得k 4k, 16120,,k，即，故选A。 3 22 例3. 已知一元二次方程有两个相等实根，则()axaaxa,,,，,,15510 a=___________。 (2000年黑龙江) 22 分析:由得aa,,,14，。 ,,,,,,55410aaa()，12 当a=1时，方程的二次项系数为0，应舍去。 2 当a=,4时，， 55512050aaaa,,,,,,,()()? ?。 a,,4 三、用根的定义 2 例4. 已知一元二次方程有一个根是，则p=_________。 22620xpx,，, (1999年四川) 分析:由根的定义知，把x代入原方程，得 x,2 2222620(),，,?p 624，22四、用根与系数的关系 ?。p,,，622222 例5. 已知关于x的方程的两个实根的平方和等于4，求实数k。xkxk,,，，,()1102 (2001年北京东城区) 分析:设两实根为，则由韦达得。xx，xxkxxk，,,,，11，?121212 由。xxxxxxkk，,，,,,,，,4241214，得，即()()()121212 2 整理，得。 kkkk,,,,,,45051，?或 2 当，故舍去; k,,,,，,5514510时，,()() 2 当， k,,,,,,,，,1114110时，,()() 因此，k,,1。 五、用算术平方根的定义 222 例6. 关于x的方程，其中p为实数，若方程没有实xxxxpp，，，，,,22220 根，求p的范围。 2 分析:从面看，要用?求解，但用?得不出结论。设，原方程化xxpy，，,22 22为。 yypp，,，,220() 22 ??解得ypyp,,,,，2。,,，，,，,442410()()ppp，12 yy,,00且 ?y是算术平方根，?当原方程无解时应有， 12 即。 ppp,,,,,,,02020且，? 六、逆向思维，分类讨论 2222 例7. 已知关于x的方程(其中a为非负整数)axaaxaa,,，,，,()38213150 至少有一个整数根，则a=________。 (1998年全国初中联赛) 分析:原方程结构比较复杂，正面求解显然很繁，但我们可从反面入手，逆向思维，然后分类讨论，可简易获得。 22 解:原方程变形为，即 ()()xxaxa,，，,，,32813150 2 ， ()()()xxaxa,,，,，,21813150 35 ?或。 a,a,, x,1x,2 ?a为非负整数，x为整数， ?x=0时，a=5;x=,4或x=,1时a=1; x=1时a=3。故a的值应为1，3，5。 七、用求根公式 2 例8. 已知关于x的方程xxk,，,,410的两个实根之差为6，则k=_________。(2001年贵阳市) 分析:由求根公式得。xkxkxk,,,，,,,,252525?，?，12 ?|||()|xxkk,,，,,,,252512 八、用几何知识 1,,,256k 22 例9. 关于x的方程，其中k，n为一等腰三角形的腰和底的长，若xkxn,，,20222 241S,16两根之差绝对值是8，且求k，n的值。 ?等腰?k,,4 分析:设两根为， xxxxkxxn，，则，?，,,2121212 1 ? ||()xxxxxxkn,,，,,,,4481212122n44 11222hk,,,,kn 等腰三角形的高。 42 22 由 ? Snkn,,,16，得?416? 把?代入?，得n=8，进而求得。 k,42 22 九、用三角形函数知识求解 2 例10. 已知Rt?ABC中，?C=90?，sinA，cosB是关于x的方程的xxm,，,20 两个实根，求m的值。(宁波市) 分析:??A+?B=90?，?cosB=sinA。则 22 ， sincossinABA，,,22 22 ?， sinsincossin()AABAm,,,,，又 1 ?。 m,2 22十、构造方程组 22 例11. 关于x的方程有一个相同的实数根，则m的值xmxxxm，，,,,,100与 是( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. ,1 解:设两个方程的相同的实根为a，则 2,ama，，,10，, , 2 两式相减，得。 ()()mam，,,，11,aam,,,0, ?当m=,1时，给定的两个方程无实根，?m?,1。 因此，a=,1。把a=,1代入其中一方程可求得m=2，故选B。 十一、判别式再结合非负数性质 222 例12. 已知方程=0有实根，求m，n的值。xmxmmnn,，，，，，213442()() 解:由题意知 22222 即()()mmn,，，,120,,，,，，，,41434420()()mmmnn， 22 由非负数性质知， ()()mmn,，，,120 22 ?。 ?mmn,，,120，且。 故()()mmn,，，,120 1 mn,,,1，。 2十二、构造不等式(组) 2 例13. 已知关于x的方程有正实根，求m的取值范围。()mxmx,，,,1210 1 解:当m,1=0时，方程有根符合题意。 xm,,，1 2 当m,1?0时，设。 xx,,00，12 , 2,44110mm,,,,()()，?,,0，,,,,2m, ? ?xx，,0，,12,0，?,,xx,012m,1,, ,1,,,1551,,0? ,m,1, 2 由?，得; mmmm，,,,10，即或, m,1 由?，得01,,m; 由?，得。 51,22 ?不等式组的解集为。 ,,m1 2 综合上述两种情况可确定m的取值范围为 51, 。 ,,m1 2