单位球面中具有平行单位平均曲率向量的子流形

单位球面中具有平行单位平均曲率向量的子流形 单位球面中具有平行单位 平均曲率向量的子流形 刘建成 , 张秋燕 , 张德燕 ()西北师范大学 数学与信息科学学院 , 甘肃 兰州 730070 n + p ( ) 摘 要 : 讨论了单位球面 S p > 1中具有平行单位平均曲率向量的子流形 M 的第二基本形式的拼挤问 , 得到了 n + p n + 1 M 位于 S 的一个全测地子流形 S 中的充分条件 . 关键词 : 单位平均曲率向量 ; 全测地 ; 拼挤问题 ; Simo ns 不等式 () 中图分类号 : O 1861 12 ; O 1861 16 文献标识码 : A 文章编号 : 10012988 ?20060420001204 Subma nifol ds wit h p a rallel no r malized mea n c ur vat ure vecto r i n a unit sp he re L IU J ia nΟche ng , Z H A N G Qi uΟya n , Z H A N G DeΟya n ( )College of Mat hematic s a nd Info r matio n Science , No rt hwe st No r mal U niver sit y , L anzho u 730070 , Ga nsu , China Abstract : The pi nchi ng p ro ble ms of su bma nifol d M wit h p a rallel no r malized mea n c ur vat ure vecto r i n a n + p ( ) unit sp here S p > 1a re st udied . The sufficie nt co nditio n fo r M l yi ng i n a to t all y geo de sic subma nifol d n + p n + 1 S i s o bt ai ned. S of Key words : no r malized mea n cur vat ure vecto r ; to t all y geo de sic ; pi nc hi ng p ro ble m ; Si mo n s i nequalit y 均曲率向量的子流形一定有常平均曲率 , 而具有平 引言1 行单位平均曲率向量的条件不再暗含平均曲率为常 n + p 设 S 是 n + p 维单位球面 , M 是等距浸入在 ) 数的条件下 , 得到了以下结果 : [ 8 ]n + p 定理 A 设 M 是 n 维紧致黎曼流形 , 等距 S 中的 n 维紧致黎曼子流形 , 记 S 和 H 分别为 n + p M 的第二基本形式长度的平方和平均曲率. 文献 浸入在 n + p 维单位球面 S 中 , 具有平行单位平 [ 1 ], [ 5 ] 对 S 的 拼 挤 问 题 进 行 过 系 统 的 研 究 , 均曲率向量 , 当 其中经典的结果当属 Si mo n s 不等式 . 若 M 是极小 22 ( )( )n 1 + 2 H n 1 + H , S ?ma x 子流形 , 文献 [ 5 ]得到了较好的拼挤常数 , 即当 S n + 1 n - 1 + 1 n + p n + 1时 , M 位于 S 的一个 n + 1 维全测地子流形 S 24 n 时 , M 或 是 全 测 地 子 流 形 , 或 是 S 中 的 ? 中 , 其中 p > 1 .3 本文在同样的假定下 , 用新的估计方法 , 得到 Ve ro ne se 曲面 . 若 M 具有平行平均曲率向量 , 文 了比定理 A 更为精细的结果 , 即有 : 1 献 [ 6 , 7 ]证明了当 S ?nn + 3 - 时 , M 是 n + p p - 1 定理 1 设 M 是等距浸入在单位球面 S 中 ,全测地子流形. 文献 [ 8 ]在较弱的条件下 , 即假设且具有平行单位平均曲率向量的 n 维紧致黎曼子流 ( 形 , 则当 M 具有平行单位平均曲率向量 由于具有平行平 收稿日期 : 2005Ο11Ο04 ; 修改稿收到日期 : 2006Ο05Ο08 () 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 10571129 () 作者简介 : 刘建成 1968 —, 男 , 甘肃镇原人 , 副教授 , 博士 . 主要研究方向为整体微分几何与几何 . EΟmail : liujc @nw nu1 edu1 cn (第 42 卷西 北 师 范 大 学 学 报 自然科学 )版 2 Vol1 42 ( )J o ur nal of No rt hwe st No r mal U niver sit y Nat ural Science 2 )( 限制到 M 上 ,有率张量.n 1 + 2 H n > 4 , S ?ma x , αα α n + 1 ωω ( )hh= h, α=,4 ijji i ijj ? 2 2 2 n + H ( )2 n 1 + H 2 n + n , , ωωωω)ω( ?,5 di = -ij + ji = 0 ,ij j ? n - 1 + 2 n + 2 1 或 ωωω( )ωω?R?, 6 = - + dijik kjij klk l ?? 2 2 2 4 + 8 H 4 + 5 H ω)ω( , Rβα?, 7 n = 4 , S ?ma xk lk l , 1 ?ωω3 2 ωdβ α = - γ α ?β γ +? 2 或 α α α α ) ( )δδδδ( h , 8 h= - + hh -il jk Ri kjl ilik jl jk i j k l 2 2 ? H 2 n +)( n 1 + 2 H 2 n + n ,n < 4 , S ?ma x α β α β ( 4 )( ) = hh 9 Rαβ- hh .i k ilk l il ik n + 1 ? n + p n + 1时 , M 位于 S 的一个 n + 1 维全测地子流形 S 其中 R和 Rβα分别是 M 的曲率张量分量和法曲ij kl k l α中 , 其中 p > 1 .ωω? , h =率张量分量 ij j h i? eα 为 M 的第二基 ? 注 1 容易验证 ,当 n ?4 时 , 我们得到的拼 α 2 ( ) 本形式 , 其长度的平方 S= h. ij n > 4 ?而 当挤常数 比 定 理 A 中 的 拼 挤 常 数 更 大 . α , i , jα 时 , 由于ξ ( ) α对每 个 , 用 Hα 示 矩 阵 hij, 称 = 2 2 ( )( )2 n 1 + H n 1 + H 1 - = t r Hαeα 为 M 的平均曲率向量 , 其长度 H 称α? n n - 1 + 2 n - 1 + 1 α 2 为 M 的平均曲率 . 另外 , h的一次和二次共变导 ij ( )n - 1 1 + H n > 0 , 1 + 1 1 + 2 数分别为n - n - αα α α 所以 ω ωωhd h- = h- h-ij kkij immjmjmi ??? 2 2 ( ) ( ) n 1 + 2 H 2 n 1 + H β , ,ma x ω hαβ ,ij? n + 1 n - 1 + 2 α α α α 2 ωd hωω= hij k- h- h-ij kllmj kmiim kmj 2 n + H ??? 2 n + n ? β β n + 2 ωωhhαβ.- ij mmkij k?? 2 2 ( ) ( )n 1 + 2 Hn 1 + H 因此 , 有 , ma x . n + 1 n - 1 + 1 α α ij k = h, hik j 由此可见 , 本文的结果确实改进了定理 A . α α α α hij l khR hR hij kl - = + - i m m j klmj m i kl?? 2 准备工作 β hRβα,ij k l ? n + p 设 M 是 n + p 维单位球面 S 的 n 维紧致黎曼 ααααΔhR + = + ij h ij k k= h kk i jk m m i j k hn + p ???? 子流 形 ,选 取 S 中 的 局 部 标 准 正 交 标 架 场 e, 1 k , en + p , 使得限制到 M 上时 , 向量场 e1 , , en 和 α β hR - hRαβ.m i m k j kki j k ?? M 相切 . 对指标范围我们作如下约定 : 1 ? A , B , C , ? n + p , 1 ? i , j , k ,? n ,ξ = 现在 , 假设 e, 则n + 1 ξβγα? n + p ,n + 1 ?,,, α t r H = n H . t r Hα = 0 , ? n + 1 , n+1并约定重复指标 时关 于 相应 的取 值范 围 求和 .设 ? 则等价于 若 e在法丛中平行 , 即 A e= 0 , ωn + 1 n + 1 ω n + p 为 所 选 取 切 标 架 场 的 对 偶 标 架 场 , 则,,1 n + p ( )10 ω( )α = 0 .n+1 S 的结构方程为 ( ) ( ) 外微分 10式 . 再由 7 式 , 可得ωωωω( )ω d= - ?,AB + BA = 0 ,1 A AB B ?( )R ( )α= 0 .11 n+1j k 1 ( )ωωωωω?D , 2 d= - ?+KAB AC CB A B C DC?? ( ) ( ) 结合 9 式可知 , 11式等价于2 ( )( ) δδδδH Hα = Hα H ,12 3 K= - ,n+1 n+1 A B C D A CB D A DB C n + p n + p K是 S 的曲2 22 AB CD ω 其中 是 S 的联络 1Ο形式 ,( ) ( ) AB 从而有 t r H Hβ= t r H H,于是β n + 1 n + 1 2006 年第 4 期刘建成等 : 单位球面中具有平行单位平均曲率向量的子流形 3 Submanifolds wit h p arallel no r malized mea n curvat ure vecto r in a unit sp here 2006 No1 4 2 n+1 2 2 2 βββ( h- n -1 λ+- n n H ) ( ) j j Hi Δ = + hij m i m h k R m i j k+ h R m k j k?? ? ?? i k 2 2λH?i n α n + 1 ? ( )β 13 hRαβ, ? n + 1 .ki j k i ? α?n+1 n+1 2 2 ( ) h- H j j 2? λ- n + i 3 定理 1 的证明 ? 2 i 适当选 取 局 部 标 准 正 交 标 架 场 , 使 得 e=2 2n + 1 λH=n i n + 1 ?i ξ ( ) ( ) ( ) . 又 en + 1 在 法丛 中平 行 , 由 8 , 9 , 11 , ξn 2 n + 1 2 β2 n+1 2() ( ) hh.ij +- n H ij ?? 2 i , j i , j 2 n ( ) 13式 , 可得 β β 2 ( )17 ( )Δ= t r H Hβh hn+1 - ijij?? ? ββ?n+1 i , j ?n+1 又 2 2 2 2 2 ( ) ( )[ t r H Hβ]+ n H t r H Hβ( ) ( ) ( ) n+1 n+1 ( )ββ- 18 [ t r H n+1 H] ?t r H n+1 t r H, ?? ββ?n+1 ?n+1 ( ) ( ) ( ) 将 17, 18式代入 15式 , 可得2 2 β 2 ( ) ( )t r H Hβ+ n hn+1 ij + βββ 2 ?? ? ( ) ββΔ h? h?n+1 ?n+1 i , j h?ij ij ij ? ?? ? ββ ?n+1 i , j n+1 i , j ? 2 ( )α β β αt r HH- HH- ? αβ,?n+1 2n + 1 2n+1 2n 1 + H ( - n - hij ) + 1? 2 2 i , j 2 n ( ) ( )[ t r Hα Hβ] .14 ? αβ,?n+1 1 β2 ( ) 由 12式及文献 [ 2 ]中 Si mo n s 的证明技巧 ,有 ( ) 2 - ( ) h 19 ij . ? ? p - 1 β?n+1 i , j β β 2 ( )Δ? n H t r H Hβh hn+1 - ijij?? ? ββ?n+1 i , j ?n+1 1 n ) , 于是1当 n ?4 时 , + 1 > 2 - 2 β 2 2 p - 1 ( ) ( ) [ t r H Hβ] + n h-n+1 ij ?? ? ββ?n+1 ?n+1 i , j β β β 2? Δ( )h hh?ijijij 2 ? ?? ? ββ?n+1 i , j ?n+1 i , j 1 β 22 - ( )( ) 15 ij h. ? ? p - 1 β?n+1 i , j 2n + 1 2n 1 + ( ) H . 20 β n - + 1 S λδβ使得 hij =, Hβ 对角化 ,则对对固定的, 把 iij 2 2 n 任意常数 a , 有2 2 n + H 2 n + n ( ) 因此 , 当 S ?时 , 20 式右边非 2n+1 2λ) ( = n H ( )βn H t r H Hii hn+1 i - a H + n + 2 ? i β 2( ) 负 , 进而 h是紧致黎曼流形 M 上的下ij 2 2 ? ?λ( ) na H .i 16 β?n+1 i , j ? i 调 和 函 数 , 根 据 Hopf 极 大 值 原 理 , 可 知 n + 1 β 2 取 a =由 Schwa rz 不等式 ,可知, ( ) h是常数 , 因此ij ? ?n β?n+1 i , j 2 n + 1 1 2 n+1 Δ β 2 ( )0 = h λh-H ?ij ii = i ? ? ? 2β?n+1 i , j i n 2 2 β β β ( )hΔ( )ij k + h h?0 . 21n + 1 ijij n+1 4 ? ? ? ? λh-H ?j j βi β?n+1 i , j , k ?n+1 i , j ?? i j n β β Δ( ) 故h h= 0 . 对照 20式 , 可知 ijij2 ? ? β?n+1 i , j 2 n+1 2 2 ( ) ( ) λhn - 1H j j- , i2 ?? 2 n + i j H 2 n + n β 2( ) ij = 0 或 S =h . ? ?β?n+1 i , j所以 n + 2 22 ( n H t r H H)?n+1 β 2 n + H 2 n + n ( ) ( ) , 则 19, 20式中等号成若 S = 2 n+1 2 2 n + 2 ) λ( ) ( 1H h- n H - n - + ij j?? β i 2( )立 , 从而这两式的右边相等 , 仍然有 h ij ? ? β?n+1 i , j 22 λH=n i n + 1 ? = 0 , 由文献 [ 6 ]的定理 1 , 可知结论成立. i (第 42 卷西 北 师 范 大 学 学 报 自然科学 )版 4 Vol1 42 ( )J o ur nal of No rt hwe st No r mal U niver sit y Nat ural Science - 1 n n ) 故又有2当 n < 4 时 ,+ 1 < 2 , 而当 n ?4 时 , + 1 < 2 , 2 2 β β β β ΔΔh h?h h?ijij ijij ? ?? ? ββ?n+1 i , j ?n+1 i , j 2 2 β ( ) ( )[ n 1 + H- 2 S ] . hij 2 n + 1 2 β 2 ? ? ( )1 + h2 S ij H βn - . ?n+1 i , j ? ? β?n+1 i , j 2 n 类 似 于 前 面 2 种 情 形 下 的 证 明 , 可 证 得 当 2 2 2 H 2 n + 2 n + n ( )( )2 n 1 + H n 1 + H 时 ,结论仍成立 .同理 , 当 S ? n > 4 , S ?, 或 当 n ?4 , S ? 4 2 n - 1 + 2 另外 , 由文献 [ 8 ] , 可知 时 , 结论都成立. 2 2 完成了定理 1 的证明.结合定理 A , ) ( n H t r H Hβ? n H - 1 H ?n+1 ( ) n n - 参考文献 : n+1 2 2 2 ( hn H λ- ) j j.i ? ? i [ 1 ] SIMON S J . Minimal varieties in Riema nnia n a + b manifolds [J ] . A nn o f M at h , 1968 , 88 : 62Ο105 . ( ) ab ? a > 0 , b > 0,另一方面 , 由不等式可 2 [ 2 ] C H ERN S S , do CA RMO M , KOBA YA S H I S. 得 M i ni m al S ubm ani f ol ds o f a S p he re w i t h S econ d 2 F un d a me nt al Fo rm o f Cons t a nt L e n g t h [ M ] . New ( ) n H - 1H ? n n - Yo r k : Sp ringer Verlag , 1970 : 59Ο75 . [ 3 ] S H EN Yi Οbing. O n int rinsic rigidit y fo r mini mal n+1 2 2 2 ( λ) hj j- n H i= ?? i ( submanifolds in a sp here [J ] . S cie nce i n Chi n a Serie s ) A, 1989 , 32 : 769Ο781 . 2 2 n H - n - n H ? 1 [ 4 ] L I Hai Οzho ng. Cu rv at u re Pi nc hi n g T heore ms f o r M i ni m al S ubm ani f ol ds [ D ] . No vi Sad : No vi Sad n+1 2 2 2 ( h- n Hλ) ?j j i? ?U niver sit y , 1992 . i [ 5 ] L I A nΟmin , L I J iΟmin. A n int ri nsic rigidit y t heo rem 21 2 n - n+1 2λ. i ( ) n H - hij A rc h fo r minimal submanifolds in a sp here [ J ] . ?? 2 i i , j M at h , 1992 , 58 : 582Ο594 . 于是 , [ 6 ] YA U S T. Subma nifolds wit h co nstant mea n β β Δ( ) h h?curvat ure ?[ J ] . A me r J M at h , ijij ? ?1974 , 96 : 346Ο β?n+1 i , j 366 . β 22 n - 1 ( )( )h?n 1 + H ij - + 1 [ 7 ] YA U S T. wit h co nstant mea n Subma nifolds ? ? 2 β?n+1 i , j ( )curvat ure ? [ J ] . A me r J M at h , 1975 , 97 : 76Ο 1 β n+1 2 2100 . ) 2 - ( ( )hhij- ij . ?? ? p - 1 βi , j ?n+1 i , j [ 8 ] 莫小欢 . 常曲率空间中的具有平行平均曲率向量的 n - 1 1 子流形 [J ] . 数学年刊 , 1988 , 9 A : 530Ο540 . 当 n > 4 时 ,于是 + 1 > 2 - , 2 p - 1 β β Δh h?ijij ? ? β?n+1 i , j ()责任编辑 马宇鸿 β 2 2n - 1 )( ( )n 1 + hH - S . ij + 1 ? ? 2 β?n+1 i , j