导数

回归课本(十四)导数 一．考试： 　　导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数. 　　两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式. 　　利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 二．考试要求： (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. (2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. (3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 三．基础知识: 1. 在 处的导数（或变化率或微商） . 2.瞬时速度 . 3.瞬时加速度 . 4. 在 的导数 EMBED Equation.3 . 5. 函数 在点 处的导数的几何意义 函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 . 6.几种常见函数的导数 (1) （C为常数）. (2) . (3) . (4) . (5) ； . (6) ； . 7.导数的运算法则 （1） . （2） . （3） . 8.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点U处有导数 ，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 . 9.常用的近似计算公式（当 充小时） (1) ; ； (2) ； ； (3) ； (4) ； (5) （ 为弧度）； (6) （ 为弧度）； (7) （ 为弧度） 10.判别 是极大（小）值的方法当函数 在点 处连续时， （1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值； （2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值. 四．基本方法和思想 1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作 ； 2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量 （2） (2)求平均变化率 ; （3）取极限,得导数 ; 3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导； 4.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，切线方程是 5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果 那么f(x)为增函数；如果 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有 那么f(x)为常数； （2）求可导函数极值的步骤：①求导数 ；②求方程 的根；③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值； （3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系 ㈠ 与 为增函数的关系. 能推出 为增函数，但反之不一定. 如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件. ㈡ 时， 与 为增函数的关系. 若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 . ∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件. ㈢ 与 为增函数的关系. 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 . 当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性. ∴ 是 为增函数的必要不充分条件. 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性. 因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题. 但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理. 五．高考题回顾 一、曲线的切线： 1.（04年重庆卷.理14）曲线 与 在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答） 2.（湖北卷）在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中， 坐标为整数的点的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 3. (重庆卷)曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_________. 二、函数单调性和极值点问题. 4.（全国卷Ⅰ）函数 ，已知 在 时取得极值，则 =（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 5. (重庆卷)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中a(R. (1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值； (2) 若f(x)在((,0)上为增函数，求a的取值范围. 6. （湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ ax2＋bx，a≠0. 若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围 ； 7. 已知函数 在R上是减函数，求 的范围. ; 三、函数的最大值、最小值： 8. （04年江苏卷.10）函数 在闭区间 的最大值、最小值分别是（ ）. A. 1,－1 B. 1,－17 C. 3,－17 D. 9,－19 9. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = ( -2ax) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论 10. （北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 六.课本中习题归纳 一 导数的概念,几何意义,函数的求导. 1曲线 在点A(1,2)处的切线方程是 . 2曲线 在点A(1,1)处的切线方程是 . 3曲线 的切线方程过点(1,2),则这切线方程是 . 4已知曲线 ,及两点 , (1)若直线 经过点A,且与曲线 相切,则直线 的方程是 ; (2) 若直线 经过点B,且与曲线 相切,则直线 的方程是 . 5质点M按规律 作匀加速直线运动,则质点M在 时的瞬时速度为 , 加速度 . 6求下列函数的导数 (1) , ; (2) , ; (3) , ; (4) , ; (5) , ; (6) , ; (7) , ; (8) , ; (9) , ;(10) , ; (11) , ;(12) , . 7曲线 在点P(2, )处的切线方程是 . 8曲线 在点P(8,4)处的切线方程是 . 9曲线 在点P( )处的切线方程是 . 10曲线 与 轴相切的条件是 . 11已知两条曲线 与 . (1)若这两条曲线在 的点处的切线互相平行,则 ; (2)若这两条曲线在 的点处的切线互相垂直,则 . 12(1)设 在 处可导,则 . (2) 设 在 处连续,则 . 二 导数的应用 13(1)函数 的递增区间是 ;递减区间是 . (2)函数 在 上为增函数,则 的取值范围是 . (3)函数 在 上为增函数,则 的取值范围是 . 14函数 ,的递增区间是 ;递减区间是 . 15(1)函数 的极大值是 ;极小值是 . (2)函数 在 有极大值 ,在 有极小值是 ,则 ; . (3)函数 有极大值又有极小值,则 的取值范围是 . 16(1)函数 在区间 上的最大值是 ;最小值是 . (2)求函数 在区间 上的最大值与最小值. 17圆柱形金属饮料罐的容积一定时,为了使所用材料最少,则它的高与底半径之比等于 . 18已知某商品生产成本C与产量 的函数关系式为 ,价格 与产量 的函数关系式为 .求产量 为何值时,利润L最大,并求这个最大值. 19设函数 ,其中实数 满足 ; . (I)求证: 在 上为减函数; (II)证明: EMBED Equation.DSMT4 . PAGE 4 _1151389723.unknown _1171113896.unknown _1171298508.unknown _1183993977.unknown _1183994786.unknown _1183994883.unknown _1183995009.unknown _1186083212.unknown _1185698532.unknown _1183994903.unknown _1183994842.unknown _1183994130.unknown _1183994200.unknown _1183994077.unknown _1181109692.unknown _1183993025.unknown _1183993140.unknown _1181110120.unknown _1181111086.unknown _1181110121.unknown _1181109693.unknown _1181109688.unknown _1181109690.unknown _1181109691.unknown _1181109689.unknown _1171300899.unknown _1171300951.unknown _1171298598.unknown _1171115302.unknown _1171115933.unknown _1171123202.unknown _1171124347.unknown _1171125095.unknown _1171177423.unknown _1171178539.unknown _1171178840.unknown _1171177451.unknown _1171125165.unknown _1171177400.unknown _1171125220.unknown _1171125129.unknown _1171124503.unknown _1171125043.unknown _1171124406.unknown _1171123274.unknown _1171123441.unknown _1171123255.unknown _1171122153.unknown _1171123036.unknown _1171123186.unknown _1171122672.unknown _1171122025.unknown _1171122062.unknown _1171121951.unknown _1171121794.unknown _1171115729.unknown _1171115851.unknown _1171115889.unknown _1171115790.unknown _1171115532.unknown _1171115703.unknown _1171115501.unknown _1171114515.unknown _1171115001.unknown _1171115191.unknown _1171115261.unknown _1171115048.unknown _1171114842.unknown _1171114858.unknown _1171114529.unknown _1171114249.unknown _1171114365.unknown _1171114384.unknown _1171114264.unknown _1171114171.unknown _1171114183.unknown _1171113917.unknown _1171090034.unknown _1171091019.unknown _1171113660.unknown _1171113797.unknown _1171113810.unknown _1171113674.unknown _1171113543.unknown _1171113616.unknown _1171113506.unknown _1171090859.unknown _1171090967.unknown _1171091006.unknown _1171090884.unknown _1171090367.unknown _1171090709.unknown _1171090296.unknown _1154616024.unknown _1168543294.unknown _1171089635.unknown _1171089647.unknown _1171089748.unknown _1168543318.unknown _1171089584.unknown _1165761707.unknown _1168533108.unknown _1168539266.unknown _1168539289.unknown _1168533148.unknown _1165761783.unknown _1165761924.unknown _1165753838.unknown _1165754050.unknown _1165761226.unknown _1165754049.unknown _1154616047.unknown _1151393725.unknown _1151393830.unknown _1151393870.unknown _1151396970.unknown _1154579729.unknown _1151396603.unknown _1151396947.unknown _1151396663.unknown _1151394078.unknown _1151394341.unknown _1151393848.unknown _1151393773.unknown _1151393789.unknown _1151393746.unknown _1151393593.unknown _1151393698.unknown _1151393553.unknown _1147020720.unknown _1151328819.unknown _1151388703.unknown _1151388778.unknown _1151388815.unknown _1151388729.unknown _1151328961.unknown _1151329463.unknown _1151385051.unknown _1151385044.unknown _1151328990.unknown _1151328888.unknown _1151327971.unknown _1151328443.unknown _1151328777.unknown _1151328016.unknown _1151328037.unknown _1151325416.unknown _1151327964.unknown _1151325121.unknown _1078734167.unknown _1127846375.unknown _1127846509.unknown _1127846618.unknown _1127846570.unknown _1127846395.unknown _1127846427.unknown _1127845837.unknown _1127845931.unknown _1078734448.unknown _1078734385.unknown _1078734392.unknown _1078734341.unknown _1078733030.unknown _1078734035.unknown _1078734095.unknown _1078733094.unknown _1078732400.unknown _1078732647.unknown _1078731789.unknown