15动力学4

nullnull（1）主振型m1m2特征方程 频率方程§15-4 两自由度体系的自由振动一、刚度法null令主振型二、柔度法null三、主振型及主振型的正交性 由功的互等定理：整理得：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。第一主振型第二主振型null由功的互等定理：上式分别乘以ω12、ω22，则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。null§15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动在平稳阶段，各质点也作简谐振动：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象null例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=－k2 ,k22=k2 , k12=－k2当m1=m2=m，k1=k2=knull两个质点的 位移动力系 数不同。当 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况null如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是=－1当θ=ω2 ，D0=0 ，也有：不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。 对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。 nullyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:null这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定，再确定null例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）由弹簧刚度系数为：N/m=102 kgnull§15-9 近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法 根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U 之和应等于常数。 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Umax=Tmax ω求Umax ，Tmax 求频率 如梁上还有集中质量mi，位移幅值Yi为集中质量mi处的位移幅值。null假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即null2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)例12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线满足边界条件且与第一振型相近3）假设第一振型的精确解。精 确 解null例13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。解：单位长度的质量：设位移形状函数：满足边界条件： Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。截面惯性矩：null 1、假设多个近似振型都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合（a1、a2、·········、an是待定常数） 3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。 为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束， Ritz 提出了改进： nullnull例14 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。解：悬臂梁的位移边界条件为：只取第一项代入：代入频 率方程：其精确解：与精确解相比，误差为27%。null例14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。解：取两项代入：代入频率方程：求得kij，mij：求得最 初两个 频率近 似值：（0.48%）（58%） 说明说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差， 故第二频率不准。 2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。null2、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。 作 法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。例15 试用集中质量法求简支梁自振频率。null(－0.7%）(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）null 对于对称刚架，可分别用不同的集中质量求出对称振动和反对称振动的自振频率。最小频率对应 着反对称振型