第九讲：曲线积分

1 1 工程硕士复习 上海交通大学应用数学系 张忆 zhangyimt@sjtu.edu.cn 2 第九章 曲线积分 （1）对弧长的曲线积分(略） 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i iC f x y ds f sλ ξ η Δ→ == ∑∫ 2 性质 (1) ( , ) ( , ) C C kf x y ds k f x y ds=∫ ∫ (2) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) c c c f x y g x y ds f x y ds g x y ds± = ±∫ ∫ ∫ 1 2 (3) ( , ) ( , ) ( , ) c c c p x y ds p x y ds p x y ds= +∫ ∫ ∫ 1 2c c c= + 1 (4) C ds S S=∫ 为曲线C的长度 3 3 计算方法 若 ( ): ( ) x x t C y y t =⎧⎨ =⎩ [ ],t α β∈ 则 [ ] 2 2( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) c f x y ds f x t y t x t y t dt β α ′ ′= +∫ ∫ 若 : ( ) x x C y y x =⎧⎨ =⎩ [ ],x a b∈ 则 [ ] 2( , ) , ( ) 1 ( )b a c f x y ds f x y x y x dx′= +∫ ∫ 若 [ ],y c d∈ 则 [ ] 2( , ) ( ), 1 ( )dc c f x y ds f x y y x y dy′= +∫ ∫ ( ) : x x y C y y =⎧⎨ =⎩ 4 计算 AB AB L xyds L∫ 为圆 的一段弧2 2 2x y a+ = 3(0, ) ( , ) 2 2 a aA a B 解 3 32 3 sin cos 8 ABL axyds a t tdt π π= =∫ ∫ ABL cos sin x a t y a t =⎧⎨ =⎩ , 3 2 t π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 5 计算 曲线如图 OABOL yds∫v 2y x= 1x = 0y = OABO OAL L yds yds=∫ ∫v ABL yds+ ∫ BOL yds+ ∫ 1 1 2 2 0 0 0 1 (2 )ydy x x dx= + + +∫ ∫ 1 (5 5 7) 12 = + 6 2 2( ) : 3cos , 3sin L I x y ds L x t y t= + = =∫ (0 )2t π≤ ≤ 解 2 2 3ds x y dt dt′ ′= + = 2 2 2 27( ) 3 2L L I x y ds ds π= + = =∫ ∫ 7 设平面曲线 则2 2: 1,C x y+ = 2 2(2 3 ) C x xy y ds− + =∫v 5π 解 2 2(2 3 ) C x xy y ds− + =∫v 2 2 2 21(2 2 ) ( )2C Cx y ds x y ds+ + +∫ ∫v v 5 5 2 1 5 2 2C ds π π= = ⋅ ⋅ =∫v 8 （2）对坐标的曲线积分 实例 变力 ( ) ( )→→→ += jy,xQiy,xPF 沿曲线C将质点从A推到B 所作的功。 0 1 lim ( , ) ( , ) n i i i i i i i W P x Q yλ ζ η ζ η→ == Δ + Δ∑ 1. 定义 P260 ∑∫ =→λ Δηζ+Δηζ=+ n 1i iiiiii0C y),(Qx),(Plimdy)y,x(Qdx)y,x(P 注意： （1）x,y受曲线C限制 （2）C有向曲线 y,x ΔΔ 可正，可负（3） 3 9 2. 性质 P260 (1) ( , ) ( , ) c c kp x y dx k p x y dx=∫ ∫ (2) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) c c c f x y g x y dx f x y dx g x y dx+ = +∫ ∫ ∫ 1 2 (3) ( , ) ( , ) ( , ) c c c p x y dx p x y dx p x y dx= +∫ ∫ ∫ 1 2c c c= + 1 2,c c 同向 (4) ( , ) ( , ) , c c p x y dx p x y dx c c−= − −∫ ∫ 方向相反 10 3. 对坐标曲线积分的计算 P261 设 在平面曲线 上连续，( , )p x y : ( )C y f x= pC AB= 起点 A t α= 终点 B t β= { [ ] [ ] }( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) C P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt β α ′ ′+ + = +∫ ∫ 如 如 ( ) ( ) x x t C y y t =⎧= ⎨ =⎩ 起点 A x a= 终点 B y b= { [ ] [ ] }( , ) ( , ) , ( ) , ( ) ( )b C a P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx′+ + = +∫ ∫ : ( )C x yϕ=如 起点 A y c= 终点 B y d= { [ ] [ ] }( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ),d C c P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy′+ + = +∫ ∫ 11 ∫C xydx xy2 =例 计算 C：抛物线 ，由点(1,-1)到点(1,1) 解一. ∫∫∫ += OBAOC xydxxydxxydx ∫∫ +−= 1010 dxxxdx)x(x 5 4dxx2 1 0 2 3 == ∫ 解二. ∫ ∫∫ − − ==⋅⋅⋅= 11 11 42C 54dyy2dyy2yyxydx 第九章 曲线积分 0 ),( 11 − ),( 11 0 A B 12 解： cos: : 0 2 sin x a t c t y a t π=⎧ →⎨ =⎩ [ ]∫ ∫ π −+−=+−c 20 dt)tsina(tcosatcostasinaxdyydx 22 0 2 a2dta π== ∫ π ∫ +−c xdyydx 222 ayx =+例 c: 正向 第九章 曲线积分 4 13 求质点在变力 作用下沿螺旋线F yzi xzj zk= − + + : cos , sin ,C x t y t z t= = = 从点 远动到点 所作的功1(0,0,0)m 2 ( 1,0, )m π− 解 2 1 m m w yzdx xzdy zdz= − + +∫ 0 ( sin sin cos cos )t t t t t t t dt π= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +∫ 2π= 14 1.格林公式 （P265） 定理. P253 ( ) ( ) ( ) C D Q PP x y dx Q x y dy dxdy x y ∂ ∂⋅ + ⋅ = −∂ ∂∫ ∫∫v C：正向 :D 闭曲线 所围平面区域C 15 例 计算 ∫ −++C dy)yx(dx)yx( C是扇形区域D的 边界曲线（如图） 解法一， ∫∫∫∫ ++=−++ BOABOAC dy)yx(dx)yx( 第九章 曲线积分 2 2 1x y+ = 1 A [ ]1 2 0 0 ( 0) (cos sin )( sin ) (cos sin )cosx dx t t t t t t dt π = + + + − + −∫ ∫ ∫ −+ 10 dy)y0( 1 11 02 2= − + = 解法二： 0d)11(dy)yx(dx)yx( D C =σ−=−++ ∫∫∫ B 0 16 ∫ −+−c yx dy)x3e(dx)y2e( ax2yx:c 22 =+例 ， ，沿顺时针方向。 解： [ ] 2 DD c yx add)2()3(dy)x3e(dx)y2e( π=σ=σ−−−−=−+− ∫∫∫∫∫ ∫ −c 22 ydxxdyxy 222 ayx =+例 ，c：A(a,0)沿圆周 到B(-a,0) 解： ∫∫∫∫∫∫ −=−+= + BABAcBABAcc 42 0 a 0 2 D BA 22 a 4 10rdrrdd)xy( π=−θ=−σ+ ∫ ∫∫∫ ∫ π 第九章 曲线积分 a 2aa B A 5 17 2、曲线积分与路径无关的条件 在单连通区域D内以下四种提法等价 （1）在D内曲线积分与路径无关 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 L + =∫v L（2）在D内 ， 为D内任意闭曲线 y P x Q ∂ ∂=∂ ∂ 在D内处处成立（3） )y,x(dudy)y,x(Qdx)y,x(P =+（4） 第九章 曲线积分 （略） 18 第九章 曲线积分 19 例 设闭曲线C： ( ) ( ) 11y1x 22 =−+− 取逆时针方向 求曲线积分 ( )( )2 2 2 25 lnC x y dx x y x x y dy+ + + + +∫v ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=∂ ∂ ++=∂ ∂ 2222 yx y y P yx y5 x Q 第九章 曲线积分 ( )( )2 2 2 25 lnC x y dx x y x x y dy+ + + + +∫v ( ) 5 5 D D Q P dxdy dxdy x y π∂ ∂= − = =∂ ∂∫∫ ∫∫ ( ) ( ) 11y1x 22 =−+− 解 1 1 20 例7．求 ∫ −++= C 3222 dy)yyx2(dx)xy2x(I ，其中C为从点A（0，1） 沿圆 1)2y(x 22 =−+ 的四分之一弧到点B（1，2）的一段曲线。 解： y Pxy4 x Q ∂ ∂==∂ ∂ ∴,∵ 曲线积分与路径无关 ∴ ∫∫ =++−= 10 2321 127dx)x8x(dyy 2 2 2 3( 2 ) (2 ) AE I x xy dx x y y dy= + + −∫ 2 2 2 3( 2 ) (2 ) BE x xy dx x y y dy+ + + −∫ A BE (1,2) (0,1) 6 21 例8． ∫ −−+C yy2 xdxcosedy)xsine1x( ，其中C： 2y1x −= 上由A（0，-1）到B（0，1）的一段弧。 第九章 曲线积分 A 解： xcosex2 x Q y−=∂ ∂ xcose y P y−=∂ ∂ ∫∫∫∫∫∫ −=−+= + BABACBABACC ( )∫∫∫ −−+−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= BA yy2 D xdxcosedyxsine1xdxdy y P x Q 3 102xdxdy2dyxdxdy2 2y1 0 1 1 D 1 1 =+=+= ∫∫∫∫ ∫ −−− B 22 第九章 曲线积分 2 24C ydx xdy x y − + +∫v 2 2: 4 1C x y+ = 2 24C ydx xdy x y − + +∫v 例 12 2 1 2C D ydx xdy dxdy π π= − + = = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫∫v 正向 解 23 曲线在A点处的切线交y轴于B点，试计算沿直线段 AB 的曲线积分 ∫ ++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+AB dy)]x1ln(ycos1x[dx1yx1 ysin ＋ 之值。 解： 2yx22y 2x −=′−=′ = ( )2x2y −−=A点处切线方程 同时得B点坐标（0，4）， 2 y P x Q =∂ ∂−∂ ∂ ∫∫∫∫∫∫ −−++= OABOOABOABAB 10dxdydxdy2 2 0 4 0 D =−+= ∫∫∫∫ 第九章 曲线积分 0 A 例 曲线 )x2(xy −= 与x轴交于原点O（0，0）及点A（2，0）， B (2,0) 24 所围面积为6π。 解法一： ∫∫∫∫ −+= BABAAMBAMB ∫∫ −= BAAMBA ∫∫∫ += AB D dxdyπ ∫+= AB2π6 的方程 1π xy +=AB dxπsinx1) π x( π 1 π)(xcosx1) π x( π3 πAB ∫∫ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ϕ′++−+ϕ= dx1)π(xdxsinx1) π x( π 1 π3 π π3 π ∫∫ ++− ′ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +ϕ= 2 π3 π π6π2sinx1) π x( −−+ϕ= ∴ π2π6π2π6 22 AMB −=−−=∫ 第九章 曲线积分 例 设函数 具有连续导数，试计算曲线积分Φ [ ] [ ]dyπsinx(y)dxπycosxI AMB −ϕ′+−ϕ= ∫ 其中 AMB π π3为点A（ ，2）与点B（ ，4）的直线段 AB 的下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段 AB （略） 7 25 解法三、 ∫∫∫∫ −−= CABCAMBCAAMB [ ] dyπ)(dxπ4cosx(4)dxdyπ 2 4 π π3 D ∫∫∫∫ −−−ϕ−= π2π2π8π)6π22 2 1 π( 2 −=−−+⋅⋅= 第九章 曲线积分 解法二、 ∫∫∫ += ABAMBAAMB [ ] ∫∫∫ +−+ϕ′+ϕ= ABAMBAAMB dy)π(ydxdxsinxdy(y)cosxdx(y) π2π6π2dxdy1)(0π 2 D −=−−−−= ∫∫ （略） 26 2)π/t(0 ≤≤ 中的一段 ∵ )0,0()y,x( ≠ yP)y(x yxxQ 22 22 ∂ ∂=+ −=∂ ∂解： 当 ， ∴ costx= sinty=取 ， 则 2 π tcostsin tcostsinI 2 π 0 22 22∫ −=+−−= ∫ +−= C 22 yx xdyydxI C tcosx 3= tsiny 3=例 计算 ，其中 为曲线 ， C1: cos sin x t y t =⎧⎨ =⎩ 27 所以曲线积分与路径无关， ∫ −++C 2 dy]ysin 2 x)xy(xf[dx)]xy(yfycosx[ ∫ ∫ −++= 12 3 2 3 dy]ysin2 1)y(f[dx)]x 2 3(f 2 3 2 3cosx[ ∫ ∫ −=−+++−= 233 3 2 3 )2 3cos43(cos 2 1) 2 3cos3(cos 2 1dy)y(fdu)u(f 2 3cos 2 3 ) 2 3cos43(cos 2 1 −= Φ 第九章 曲线积分 B 3(2, ) 2 A (1,3)B 例 ∫ −++C 2 dy]ysin 2 x)xy(xf[dx)]xy(yfycosx[ C是从点A（2， 2 3）到点 B（1，3）的直线段， xy Q)xy(xyf)xy(fysinxP =++−=解 3(1, ) 2 28 ∴ x2 x Q =∂ ∂ (y)xy)Q(x, 2 ϕ+=即 [ ]∫∫ ϕ++=+ )1(t,(0,0) 2(t,1)(0,0) dy(y)xxydx2dyy)Q(x,xydx2又 [ ] ∫∫ ϕ+=ϕ+= 10210 2 dy(y)tdy(y)t [ ]∫∫ ϕ++=+ t)(1,(0,0) 2t)(1,(0,0) dy(y)xxydx2dyy)Q(x,xydx2 [ ] ∫∫ ϕ+=ϕ+= t0t0 dy(y)tdy(y)1 积分 第九章 曲线积分 y)Q(x, xoy例 设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数，曲线 dyy)Q(x,xydx2 C +∫ 与路径无关，并且对任意t恒有 (t,1) (1,t) (0,0) (0,0) 2xydx Q(x,y)dy 2xydx Q(x,y)dy+ = +∫ ∫ 求：函数 y)Q(x, 解： ∵ 积分与路径无关 （略） 8 29 第九章 曲线积分 由设知 ∫∫ ϕ+=ϕ+ t0t02 dy(y)tdy(y)t (t)1t2 ϕ+= 1t2(t) −=ϕ两边对t 求导： 即 ∴ 1y2xy)Q(x, 2 −+=