3人绕三角形追逐问题的数学模型和matlab仿真

大学生论坛 《钔 陡 院 瓠 )2007年第4期 — 个多人追逐问题的数学模型和matlab仿真 黄会明 (铜陵学院，安徽 汪 燕 铜陵 244ooo) 摘 要：追逐 问题是现实生活 中的常见问题 ，本文就三人绕正三角形 的追逐 问题建立起 了两个数学模型 ：一个充分应用运 动的周期性首先给出了三人共边的充要条件 ，然后直接给出在一个周期 内三人共边 的次数及起止时刻，另一个则 利用初等数论的方法给 出了三人共边的另一个充要条件 ；利用 matlab长于计 算和强大的绘 图功能，本文分别 给出 了求解两个模型的 matlab程序 ，通过 动画仿真演示三人绕正三角形 的追逐模 型，并给 出三者共边 的时间起止 点和 共边的次数。 关键词：追逐问题；数学模型；matlab程序；动画演示 中图分类号 ：O156．1 文献标识码 ：A 文章编号 ：1672—0547(2007)04—01 19—05 1．引言及问题 当前数学建模竞赛在世界各 国开展得如火如荼 ，我国 也不例外。数学建模竞赛涉及到 自然科学、技术、经济、 管理等领域的方方面面，数学模型能为这些领域 中的很多 问题提供有力的数学上 的解答 ．这正是数学建模竞赛 的生 命力之所在。本文解决 了如下一类多人追逐 问题，并实现 了 maflab仿真。甲乙丙三人绕着正三角形 ABC跑道(见图 1)， 甲自顶点 B出发 。乙自顶点 C出 发，丙 自顶点 A出发，以同向(反时 针方 向)前进．设三 角形每边长 100米，甲每秒跑 10米 。乙每秒跑 8米 。丙每秒跑 5米。问在什么时 候开始三人第一次在三角形 的同 一 边上跑?什么时候第二次?第三 次?并推出什么时候第 20次? B(甲) 图 l C(乙) 本文为该 问题建立了两个数学模型 ：一个利用运动的 周期性直接给 出在一个周期 内三人共边 的次数及起止时 刻 ：另一个则利用初等数论的方法给出了三人共边的充要 条件 。并利用 matlab长于计算和强大 的绘图功能 。分别给 出了求解两个模型的 matlab程序 。通过动 画仿真演示三人 绕正三角形的追逐模型．并给出三者共边 的时间起止点和 共边的次数。 2．数学模型 易知，甲乙丙三人绕正三角形追逐运动是周期运动 ，我 们首先求其最小正周期 T。设在一个周期内。甲、乙、丙分别 绕正三角形 ABC奔跑的圈数为 k p，其中 k P为正整 数 ，则由时间速度位移关系。得 300k 300／ 300P 下 ■ ， (1) 】0 8 5 ’ L1 使得(1)式成立 的最小正 整数只 能是 k=10，／=8，p=5， 所 以最小正周期 T_300s。 关于三人追逐共边 的问题 。只要我们把第一个周期内 的共边情况讨论清楚了．三人追逐共边的问题也就迎刃而 解 了。 首先我们给出如下两个结论： 定理 1 条件如问题所述．则甲乙丙在追逐过程中不 相逢于三角形上任何一点。 证明 前面我们 已经说明 。在所给条件下 甲乙丙追逐 运动是周期运动 。最小正周期 为 T=300s。所以我们只需讨 论第一个周期 内的情形就够了。在一个周期内，甲路程为 Sl=10x3OO=30OOm。刚好从顶点 B出发沿正三角形 ABC跑了 10圈回到 B，乙路程为 S2=8x300=2400m，刚好从顶点 C出发 沿正三 角形 ABC跑 了 8圈回到 C。丙路程 为 S~=5x300=1500m，刚 好 从 顶 点 A 出 发 沿 正 三 角 形 ABC跑了 5圈回到 A。假设 甲乙 丙相逢于正三 角形 ABC上反 时 针方向距离顶点 C m处 (见图 2)，则 0~O qm~oor(n／5)；r=rem(n。5)； if r==0 fl=300·(q-1)+18008；tr=150·(q-1)+2300／10； eheif r= 1 tl--300’q+300／10；tr=300‘q+300／8； elseif r==．2 tl=300‘q+400／10；tr=-300‘q+500／10； elseif r==3 tl--300‘q+1600／10；tr=-300‘q+1300／8； else tl--300’q+1700／8；tr=-300‘q+2200／10； end disp([ 第 num2str(n) 次共边 的起止 时刻为 [ num2str (d) 。 num2str(tr) ] ]) end 下面我们给出模型二的 matlab程序 。该程序利用 mat— lab强大的绘图功能，用形象的动画仿真演示追逐过程 ，并 且给出了第一个周期内的共边的次数及相应的起止时刻 。 ％模型二的 maflab 程序一 动画演示追逐过程． ％追逐模型的程序——动 画演示追逐过程． clear all；close all format long；％数据用 lang格式 ，只是为了起止时刻记录的 更精确一点 ％初始状态 ：等边三角形，甲乙二人 的位置． x=[O 100 500]；)r=[O0 50·sqrt(3)0]； plot(x。Y。qinewidth',3)； text(O。-4， )；text(99。-4，，C )；text(49。90。 )； a 8([一10 110-10 95])；hold on ． - 122 -- ％甲及其所在的位置． hi--plot(O，O)；set(hl，"color ，，r ，"marker ， 0 ，"erase ，"xor 。 "LineWidth ，6)； ％乙及 其所 在 的位 置． h2=plot(100，O)； set(h2，"color ，，m 。"m~ll"ker 。1l ，"erase ， "xor ，1_Jinewidth 。4)； h3=plot(50，50★sqrt(3))；set(h3，"color 。，g ，"marker ，，p ， "erase ， " xor ，1_JinewidtIl ，5)； title(~秒后开始追逐 (圆圈代表 甲，六角星代表 乙，五角星 代表丙 ) )；hold off；pause(3) ％下面动画演示追逐过程(一个周期的情形)． dt=l／48；t--O：dt：300％一个周期为 T=150秒． s=zeros(3，1)；c=[]；ss=[]；next=l； x1=[]；y1=[]；x2=[]；y2=[]；x3=[]；y3=[]； for i=l：length(t) s(1)=10-t(i)； s(2)=8★t(i)；s(3)=5★t(i)； k=floor(s／!O0)；l=s-k★100； as(：，i)-l；p=mod(k，3)； axis([一10 110—10 953)； ％对甲的描述． ifp(1)--0 xl(i)-l(1)；yl(i)=0； set(hl。"Xdata',xl(i)，"Ydata',yl(i))； drawnow elseif p(1)= 1 xl0)=100-1(1)·cos(pi／3)；yl(i)-l(1)·sin(pi／3)； set(hl，"Xdata',xl(i)，"Ydata',yl(i))； drawnow else ‘ x1(i)--50-1(1)·sin(pi／6)； yl(i)--50‘sqrt(3)-l(1)·cos(pi／6)； set(hl，"Xdata ，xl(i)，"Ydata 。yl(i))； drawnow end ％对乙的描述． ifp(2)=---O x2(i)=100-1(2)·cos(pi／3)；y2(i)：：l(2)·sin(pi／3)； set(h2。"Xdata 。x2(i)。"Ydata 。y2(i))； drawnow elseifp(2)w~ l x2(i)=50-1(2)·sin(pi／6)； y2(i)--50·sqa(3)-l(2)·cos(pi／6)； set(h2，"Xdata 。x2(i)，"Tdata 。y2(i))； drawnow else x2(i)-l(2)；y2(i) O； set(h2。"Xdata 。x2(i)，"Ydata 。y2(i))； drawnow end ％对丙的描述 维普资讯 http://www.cqvip.com <局订陡 鹰 最 )2007年第4期 if p(3)--O x3(i)=(100--1(3)) cos(pi／3)； y3(i)=(100-1(3))·sin(pi／3)； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata',y3(i))； drawnow elseif p(3)=：1 x3(i)=1(3)；y3(i)=0； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata",y3(i))； drawnow else x3(i)=100-1(3) eos(pi／3)；y3(i)=1(3)·sin(pi／3)； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata',y3(i))； drawnow end title([ 当前时刻 ，num2str(t(i))，，s ， (圆圈代表 甲，六角 星代表乙，五角星代表丙) ]， Color ， )； if(p(1)~----O&p(2)=2&p(3)= l I p(1)一 1＆p(2)— ＆p(3)一2 ⋯I p(2)= l&xl(i)--50&yl(i)==50·sqrt(3)&x3(i)--O&y3(i) ==oI xl(i)~ lOO&yl(i)~----0＆ x2(i)~---O&y2(i)--O＆ x3(i)~ lOO&y3(i)==O ⋯ Ixl(i)--50&yl(i)一50 sqrt(3)& x2(i)==50&y2(i)--50 sqrt(3)& x3(i)~----O&y3(i)---O ⋯ lp(2)一1＆】【1(i)==o＆y1(i)==0＆】【3(i)一50＆)，3(i)一50·sqrt (3))＆ rem(t(i)，50)---0 e(next)=t(i)； next=next+l； end pause(dO； end ％一个周期内共边 的次数统计 。及相应的起止时刻． nmbrs=l；nat--[]； mt(1)=e(1)；％第一个周期内第一次共边的起始时刻． for i=l：length(e)-I if e(i+1) (i)>1 nmbrs=nmbrs+l； rot=[mt c(i)e(i+1)]；％第 i次共边终止时刻 c(i)，第 i+1次共边起点时刻 e(i+1)． end end rot(2·nmbrs)=e(end)；％第一个周期内最后一次共边 的终 止时刻． mt _ final=[]； fori=l：nmbrs mLfinal=[rot_final；rot(2·i-1)rot(2·i)]； end nmbrs ％一个周期内共边的次数． mt final ％第一个周期内第一次至最后 一次共边 的起止 时刻． 程序 二的运行结果 为一个周期 内共边次数 为 nmbrs= 5。相应的共边 的起止时刻为 mr_final=1．Oe+O02· 0-37479166666667 0．499791 66666667 1．62479166666667 2．19979166666667 2．250《×××X×X}(×××} 2．2S 979166666667 从上面 的结果我们 不禁惊 叹于 maflab强大的数值计 算功能 ：30、40、160、212．5和 225这五个值都为真实值而非 近似值。 3．讨论 对于引言 中提到的追逐问题 。我们建立了两个模型。模 型一给出了完整的解答 ，运动的周期性用得淋漓尽致 ，一个 周 期 内的共 边 的次 数和 起止 时刻 交待得 都很 清 楚。模型二表述简单 ，运 用初等 数论 知识 建立模 型 ．能够较易地 推广到多 人 绕正 多边 形追逐 的情 形 ：但模型二没 有明确 交 待 共边 的起 止时刻 和 没 有给 出相逢的判断 。即留 下了三个模糊 的东西 ：一 是共边的起止 时刻 ．二是 时段 [0，t]内共 边 的 次 数 ．三是相逢前后都有共 边 。应算一 次共边 ，模 型 二却将其一分为二。虽然 这三 个 问题 都 可通 过计 算机程序给 以解决 。但 由 于计算机运算的近似性 起 止时刻 只是 近似 的数 字解。本文为引言中提到 的追逐 问题 所建 立 的两 追逐到第 13．5417s时刻的图像 追逐到第 30．5417s时刻的图像 个模型 ，都是一种理想化 的结果 ，即甲乙丙三人体质无差异 地绕正三角形做持续的匀速运动 ，没有考虑人 的生命特征 ， 所以理论上的结果将与实际情况有所不符。 Matlab语言具有极 强的数值计算功能和绘图功能．是 工程计算、系统仿真等领域具有广泛应用性的软件【l】。本文 没有用 maflab的仿真工具箱 simulink．也没有用动 画命令 getframe和 movie(这两个命令一般很难看到它们的使用方 法的介绍)t2a。 参考文献： [1]薛定宇，陈阳泉．高等应用数学问题的matlab求解[M]．北 京：清华大学出版社，2006． [2]胡 良剑，孙晓君．matlab数学试验[M]．北京：高等教育出版 社，2006，107_113． ． 123 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com