球谐函数级数式的改化形式

�� � 年 � 月 解放军测绘学院学报 第 �! 卷第 ∀ 期 球谐函数级数式的改化形式 刘绩武 陆仲连 #解放军测绘学院 郑州 ! ∃ % % ∃ & ∋ 摘要 首先将级数式中缔合勒让德函数 的计算转化为一般勒让德函数的导数 计算 , 并给 出相应的递推公 式 ( 其次将球谐函数级数式转化为仅含带谐项的级数 式 , 并给 出相应 系数的计算公 式。 经实例计算 , 用机 时间节省约 �% ) 。 这对于应 用部门快速计算重力场 的有关数据将十分有利 。 关键词 球谐函数级数式 , 改化形式 分类号 ∗ & & ∀ · + 应用大地位球谐级数计算地球重力场的有关数据 , 对于大地测量 、 空间技术 、 地球物 理以及国防科学等方面的生产和研究工作具有重要作用 。 但由于位系数很多 , 计算工作量 大 , 计算点的增多又占用大量 内存 。 因此 , 许多专家撰文就球谐函数级数式的计算方法进 行改进 , 以图节省机器内存和减少机器工作时间 。 在这众多的计算方法中 , 均没有涉及公 式中缔合勒让德函数 尸 , , #−+ .的 的计算改善 。 而众所周知 , 该项的计算时间占球谐级数计 算中的主要部分 。 基于此 , 本文作者给出计算 尸、 #−+ .的 项的两种改进 。 将 / 。‘ #0+ .0∋ 转化为 1 2凡‘ #0+ ..∋ 1 #0 + ..∋“ 的计算 常用 3 阶重力场模型为 习艺 #4 , , 0 + . , 、5 , , , . 67 , , ∋ 尸, ( #0 + .“∋ #8∋ 式中 ∗ , , #0 + .. 为普通缔合勒让德函数 。 因为‘∀〕 ∗ , , #0 + . .∋ 9 . 67 龙夕1 五∗ , #0 + . .∋ 1 #0 + .. ∋ #� ∋ 式化为 习 , 67 ,灸。 .走、艺。 , , 1 连∗ 二 #0 + .夕∋1 #0 + .夕∋泛 5 习. 67 ‘先67 , , 又 , , 1 ∗ 二 #0 + .夕∋ ‘山 : , 一子一丁一一下又下一 气艺∋月 9 盛 ; 气< + . = 少’> 对关系式 〔∀〕 #?7 一 � ∋ ∗ , 一 � #0 + .夕∋ 1 ∗ , #0 + 1 ∗ , ≅ , #0 + .夕∋刀�一、声� !一叨∀ # ∃ ∀ # ∃ !夕% # & % 求 ∋一 ( 次导数 , 则得 ) 一∗%# +, 一 ( % ∀ 盛一 (尸 # ∃ ! 夕% ∀ 泛− , # ∃ !夕% ∀ 应− ! 夕% ∀ # ∃ ! . %卜‘ / ∀ # ∃ ! .% ‘ 一 ∀ # ∃ ! ∃ % ‘ 收稿日期 0 1 & 2 3一 4 3 一4 1 解放军测绘学院学报 � � � 年 由此得1 是∗ , #0 + . +∋ 1 #0 + .夕∋ 的递推公式 1 乏∗ , #0 + .夕∋ 1 2 ∗ , 一 Α #0 + .+ ∋ 1 2 一 ‘∗ 7 一 � #0 + ..∋ 1 #0 + . +∋ 1 #0 + .夕∋ 5 #?7 一 � ∋ 1 #0 + .夕∋乏一 ‘ #! ∋ 利用 #!∋ 式 , 由 1∗ Β #0 + .夕∋ 1 ∗ Α #0 + .夕∋ 1 #0 + . 夕∋ 1 #0 + .. ∋ 9 ∀0 + .. 和 ∗ , #0 + .夕∋ 将其代入 #& ∋ #7 一 。 , � , & , ⋯ , 3 ∋ 可推得 #& ∋ 式所需要的各个 式即可求得总值 。 1 2∗ , #0 + ..∋ 1 #0 + .夕∋走 #7 ∋ 2∋ % ∋ 。 经分析容易看出 , 这种方法不论是在运算步骤还是所占内存 , 基本上同 #�∋ 式的改化 形式 3 3艺艺 #4 , 乏0 + . 。、5 。, , .67 ,、∋ 尸 , , #0 + . “∋ #∃ ∋ 式中 尸 , , #−+ .的 的递推公式如下 Α #7 一 2 ∋ ∗ , , #0 + .夕∋ 9 #?7 一 � ∋ 0 + .夕∗ , 一 � , , #0 + .夕∋ 5 #7 十2一 � ∋ ∗ 7 一 & , , #0 + . .∋ 比较两个递推公式 #!∋ 式和 #Χ∋ 式易知 , #!∋ 式优于 #Χ ∋ 式 。 因 #& ∋ 多计算 3 次 Δ 67 . , 而 #Χ ∋ 式递推公式总共要多计算 3 #3 5 � ∋ Ε & 次 0 + .. , #& ∋ 式计算显然要比 #∃∋ 式省时 。 & 将 氏, #0 + .日∋ 转化为 ∗ ‘ #0 + . .∋ 的计算 &Φ � 公式推导 为推求方便 , 作代换 Γ 一 − + .夕, #∀∋ 式化为 ∗ , 。 5 � #Γ ∋ 一∗ ‘, 一 , #Γ ∋ 9 #?7 5 � ∋ ∗ , #Γ ∋ 由 # ∋ 式 , 令 7 分别取 7 一 � , 7 一 & , ⋯ , 则得 ∗ ‘7 #Γ ∋ 9 #?7 一 � ∋ ∗ , 一 � #Γ ∋ 5 ∗ ‘二一 Α #Γ ∋ ∗ ‘7 一 & #Γ ∋ 9 #?7 一 ∃ ∋ ∗ , 一 ∀ #Γ ∋ 5 ∗ ‘, 一、 #Γ ∋ 因为 ∗ ‘Α #Γ ∋ 9 ∀ ∗ Α #Γ ∋ ∗ ‘∀ #Γ ∋ 9 Δ∗ Α #Γ ∋ 一 ∗ 。 因此可得 当 7 一 ?Η 为偶数时 , #Χ ∋ 式求和中只 因此 , 采用 # ∋ 尸 , & , #Γ ∋ 一习 #! ,一 8∋ 尸 &、 #Γ ∋ #Ι ∋ 当 7 一 ?Η 5 � 为奇数时 , 尸 了 &, 5 , #Γ ∋ 一 习 #!, 5 6 ∋ 尸 & , #Γ ∋ #� ∋ 将 #Ι ∋ 式两端求导 , 并由 #� ∋ 式 , 得 爪 6一 �/ 一 #ϑ , 一 、答 #“ 一‘, ‘蓦#“ � 5 ‘, / ?、� #ϑ , 第 ∀ 期 刘缅武等 Α 球谐函数级数式的改化形式 � Χ ∃ #少9 ‘Κ 5 � ∋ 忿 习 #!、一 � ∋ 习 #!Λ一 ∀ ∋ ∗ ? , 一 Α #Γ ∋ 咨〔、容#‘一‘, #‘Λ一 ∀ ’〕“ &少一 #二’ 即 ∗ “& , 再对 #�% ∋ 式求导 , 并由 #Γ ∋ 咨〔睿‘ #‘, 一‘, #“一 ∀ ’〕/ ? ,一 #ϑ , #� % ∋ #Ι ∋ 式 , 同样得 尸那? Η #Γ ∋ > 溉仁全Φ全 #! , 一 � , #‘、�一 ∀ , #“一 ∃ ,二/ ?‘一 ‘ϑ ’ 少8 9 口少9 少� 依次类推 , 可得 少� 尸 (髻 #Γ ∋ > ‘一 Μ牛 Ν #! Λ, 一 , 一 式中 Μ司 表示不大于 Ο 的最大整数 。 同理可得 艺习⋯ 少左一 & 习 #!Λ8一 � ∋ #! Λ厂 ∀ ∋ 了8 9 , Ν & 9 乞 少泛一 � 9 忿 #?2一 ∀ ∋ #! �一 #?2 一 � ∋∋ Ν ∗ ?‘一 , #Γ ∋ #2 ∋ � ∋ 尸 (熟 Α #Γ ∋ 一 习 ‘一 Μ合 #!Λ 8 5 � ∋ #! Λ& 一 � ∋ ⋯ 少盛一 � Π Φ 、名沪Φ艺尸 #! Λ, 一 � #?2一 ∃ ∋ #! �一 #?2一 ∀ ∋∋ Ν ∗ ?‘一 #,一 � ∋ #Γ ∋ #2 ∋ � ∋ 即有 4 , , , ∗ Α‘一是 #Γ ∋ 月‘, , ∗ ? 6一 , #Γ ∋ 5 6口门7习 习件阴艺书 8‘ − 9份 #: % ; 尸羞慧 ( # <=6 一 1 % # <=1 一 & % 、,尹#:响艺 式中 劝 少( 少1 又 8飞 、丁, 、 ,价加 一 山 山山 ” ’少> 巴 舒? + / 忿少& ≅ 孟 少五一 6 / 万 # <=Α 一 (一 +∋ 十 & % # < (一 +∋ Β ( % # ∋ % ( % # <=6 Β ( % # <=1一 ( %妇习少6凡二一 习习⋯ 夕( / 口= + ≅ 盆 少‘一 ( / , # < =卜 , 一 +∋ Β Χ % # < (一 +∋ Β & % 当 ∋一 Δ 时 , 尸 04% # : % 一尸 。 # : % 以上公式可统一为 砚一 乏 −二乏, 式中当 , 一 ∋ 为偶数时 , Ε 只取偶数 9 # : % 当 , 一 ∋ 习 , ‘, , 尸、 为奇数时 # : % # ( ( % , Ε 只取奇数 。 解放军测绘学院学报 � � � 年 一丁4 Θ一 当8从7 , , 当 为偶数时 , 为奇数时 , 几一乏 少4 少& 一名习名⋯ Λ乏一 & 习 #!Λ8一 � ∋ #! Λ&一 ∀ ∋ ⋯ #!Λ,一 �一 ?2 5 ∀ ∋ #! �一 ?2 5 � ∋ 夕8 一少& Φ ￡少∀ 9 留 少乏一 Κ Π Φ 凡 一 2 少� Λ户一 & 艺 #!Λ8 5 � ∋ #!Λ&一 � ∋ #2∋ � ∋ 一习习⋯ ⋯ #!儿一 � 一?2 5 ∃ ∋ #! �一 ?2 5 ∀ ∋ 编鲡瓜Θ8ΡΣΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ8 夕Κ 9 , 了& 9 , Λ泛一 8民 , #� & ∋ #� � ∋ 式中 Γ 代以 。% ∃夕, 则得 1 2∗ 。 #0 + .夕∋ 1 #0 + .夕∋ ≅ 习艺, , 尸‘ #0 + . + ∋ 式中 7 一 2 为偶 #奇 ∋ 数时 , 6 只取偶 #奇 ∋ 数 。 因此 , 习4 , , 1 2尸1 0 + .夕∋ #0 + .夕∋是 一习“‘, / ‘ #− + .+ ∋ 合 , 1 ‘尸 , #0 + .夕∋ 甘 , ≅户 , Υ ”奋> 一几一>了 , Π > > 下万� 一 一 夕 口注厂,爪其 一 4 又− + . = ∋“牡或〕 ’一 ’ ς #� ∀ ∋#0 + .夕∋式中 4‘, 一 习 艺, , 4 , , ( 将 #� ∀ ∋ 式代入 #& ∋ 式 , 并由 #∃ ∋ 式 , 得 石、,一 习 , ‘, 2。, 2 #� ! ∋ 习艺 #4 , , 0 + .、, 5 。。, . 67 ,、∋ 尸, , #0 + .4 ∋ 一习二、。尸‘ #0 + .。∋ 5 艺艺 #Α ‘, 0 + . , , 5 石‘, . 67 ,、∋ 、67 ‘。尸‘ #0 + .口∋ #� ∃ ∋ 式中系数 瓦, , 石6, 同原位系数一样 , 由 入, , :7 ,根据 #�! ∋ 式和 #� & ∋ 式计算后作为资料保存 。 采用 #� ∃ ∋ 式计算时 , 只需调用新系数瓦, , 及,即可计算 。 比较 #� ∃∋ 式两端易知 , 因公式右端只用到一般勒让德多项式 尸、 #−+ .+ ∋ 的计算 , 避免 了左端缔合勒让德多项式 ∗7 , #−+ .Χ ∋ 的大量递推和存取 , 因此 , 采用 #�∃∋ 式右端计算将 会大大提高运算速度 , 并可节省大量机器内存 。 当计算地球重力场的其它有关数据时 , 只须在 #� & ∋ 式中乘以一个相应因子 , 同样可 得到相应一组新系数并作为资料保存 。 它们与 #� ∃∋ 式具有等效之功能 。 由于确定新系数是根据勒让德多项式的定义及性质进行的严密数学推导 , 所以 , 两种 方法的计算结果不存在理论上的误差 。 需要说明的是 , 目前所给重力场模型中的位系数均以完全正常化勒让德函数为基础 , 即 位 系数为完全正常化 了的 。 因此 , 若采用完全正常化位系数作为上面的 么, , :7 , , 则在 #� &∋ 式和 #� !∋ 式的系数转化中还应乘以一个关于 7 和 2 的相应因子 。 这可由只, #−+ .的 与 ∗ , , #0 + .夕∋ 的关系式导 出 。 & Φ & 实例分析 �∋ 节省内存分析 一般地 , 用 #� ∋ 式计算每一点的值 , 由 #Χ ∋ 式递推 尸 , , #−+ .+ ∋ 时就要占用 & Γ 3 个 第 ∀ 期 刘绩武等 Α 球谐函数级数式的改化形式 单元 。 若计算 Ω 个点 , 在整个计算中始终要保留 Ω Γ ? Γ 3 个单元 。 而改用 #� ∃ ∋ 式计算每 一点的值 , 同样由 #Χ ∋ 式递推 尸 , 。 #−+ .的 , 只需占用 & 个单元 。 即一个点就能节省 ? Γ #3 一 �∋ 个内存单元 。 若仍计算 Ω 个点 , 则 只需保留 Ω Γ ? 个单元 , 即 Ω 个点可以节省 Ω 又 ? ϑ #3 一 �∋ 个内存单元 。 由于节省了大量内存 , 因而可以扩大计算点数 。 &∋ 节省机时分析 利用 #�∋ 式计算一个点的值 , 由 #Χ∋ 式递推 尸, , #−+ .的 大约需要 3 , Ε& 次递推计算 。 而用 #� ∃ ∋ 式计算一个点的值 , 同样由 #Χ∋ 式递推 尸 , 。 #−+ .的 , 只需约 3 次递推计算 。 仅 这一项 , 计算速度就能提高 3 Ε& 倍 。 若在考虑机器在实现中的存取交换用时 , 实际计算速 度提高更多 。 特别是随着计算阶数的增高和计算点的增多 , 将会充分显示它的优越性 。 本研究以 3 一 � Ι% 为例 , 先后进行了一个点及多个点的实际计算 。 实验表明 , 两种方法 的计算结果基本相同 #由于是严密的数学推导 , 显然不存在理论误差 , 仅有计算过程中的 累积误差 ∋ 。 而一个点的计算 , 采用 #� ∃∋ 式比用 #∃∋ 式省时约 �& ) ( 在一次计算 ∃ 个点 #纬度 ∃ 个 , 经度 巧 个 ∋ 的实验中 , 节省时间约 �% 呢 。 即计算速度提高约 �% 倍 。 这对于应 用部门快速计算重力场的有关数据将十分有利 。 例如 , 在空间技术研究中 , 需要用位系数模型计算空间大量点的扰动引力三分量 , 如 果采用本文所述的方法 , 只要事前根据 #� !∋ 式和 #� & ∋ 式的相应公式计算出一组位系数 , 就会大大提高计算速度 。 这正是有关部门所期望的 。 参 考 文 献 Ξ 06 .2 47 即 Ψ Ζ , [+∴ 6ΟΚ Ξ Φ 物理 大地测量学 Φ 卢福康等泽 Φ 北京 Α 测绘 出版社 , � � � [+∴ 6Ο Α Ξ Φ 高等物理 大地 测量学 Φ 宁津生等译 Φ 北 京 Α 测 绘出版社 , � � Ι ! 陆仲连 Φ 球谐 函数 Φ 北京 Α 解放军 出版社 , � � Ι Ι ] 4 / / ] Ξ Φ Ζ 0 0 ⊥ ∴ 4 0 _ + ⎯ ∗ + Ο 0 7 Ο 64 8 < + 0⎯⎯6060 7 Ο Υ 0 Ο0 ∴ Η 67 4 Ο 6+ 7 . ⎯∴ + Η Δ 4 Ο 0 886Ο 0 Ζ 8Ο 6Η 0 Ο ∴ _ 4 7 1 α 0 ∴ ∴ 0 . Ο ∴ 64 8β ∴ 4 χ 6Ο_ , δ Δ= Υ β Δ 3 + � Χ Χ , � � < + 8+ Η : + % ε Φ 3 ⊥ Ο70 ∴ 60 4 8 [ 0 Οφ+ 1 . ⎯+ ∴ Ξ 4 ∴ Η + 7 60 Ζ 7 48_ . 6. + 7 Οφ0 Δ / φ0 ∴ 0 , δ = Δ Υ β Δ 3 + ∀ � % , � � Ι � 陆仲连 , 吴晓平 Φ 人造地球卫 星与地球重力场 Φ 北京 Α 测绘 出版社 , � � � ! α φ 0 ΒΗ ∗∴ + χ 0 Η 0 7 Ο + 7 Δ∗φ 0∴ 604 8 Ξ 4 ∴ Η + 7 6− γ Γ ∗4 7 .6+ 7 ε 6⊥ ? ⊥ 4 7 η ⊥ ε ⊥ ?φ + 7 ι 864 7 Ζ : .Ο∴ 40 Ο Β7 Οφ 0 . Ο ⊥ 1 _ + ⎯ Οφ 0 0 + Η ∗⊥ Ο4 Ο 6+ 7 + ⎯ . / φ0 ∴ 60 4 8φ4 #Η + 7 60 0 Γ ∗4 7 . 6+ 7 + ⎯ ι 0 + ∗+ Ο 0 7 Ο 64 8, η 0 Η 42 0 4 7 ⊥ Η : 0 ∴ + ⎯ 6Η > ∗∴ + χ 0 Η 0 7 Ο . + 7 Οφ 0 0 Γ ∗4 7 . 6+ 7 , 4 7 1 Η 0 4 7 Ο 6Η 0 ι 6χ 0 ⎯6∴ . Ο8_ 4 7 0 η 0 Γ ∗4 7 . 6+ 7 η φ60φ + 7 8_ 67 08⊥ 1 0 . Οφ0 Κ + 7 4 8 φ4 ∴ Η + 7 60 . , 4 7 1 67 η φ60φ Οφ 0 Ο 6Η 0 +⎯ 0 + Η / ⊥ Ο 67 ι ι ∴ 4 χ 6Ο_ 1 6. Ο ⊥ ∴ : 4 7 0 0 . 0 4 7 : 0 . 4 χ 0 1 : _ 4 : + ⊥ Ο � % ) 67 0 + Η / 4 ∴ 6. + 7 η 6Οφ + 7 0 + ⎯ Οφ 0 + ∴ 6ι 6χ 4 8 0 Γ > ∗4 7 Δ Βδ 7 Φ ϕ 0 _ η + ∴ 1 . Δ∗φ 0 ∴ 60 4 8 φ 4 ∴Η+ 7 6七 0 Γ ∗4 7 .6+ 7 , ΒΗ ∗∴ + χ 0 Η 0 7 Ο 责任编辑 陶大欣