C1离散时间信号和系统的时域分析

|杨志伟 zwyang@mail.xidian.ed u.cn |Tel:88202580 第一章 离散时间信号和系统的时 域分析 主要内容 | 模拟信号的数字处理方法 | 离散时间信号的示 | 典型离散信号和序列基本运算 | 离散时间系统 1.1 信号及系统 | 信号分类 时间连续、幅度连续 模拟信号 时间离散、幅度连续 离散时间信号 时间连续、幅度离散 时间离散、幅度离散 数字信号 一维信号(如语言信号) 二维信号(如图像信号) 多维信号 1.1 信号及系统 | 系统 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具 有特定功能的整体称为系统 基本作用：对输入信号进行加工和处理，将其转换为所 需要的输出信号。 模拟系统 数字系统 数模混合系统 线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统 特别地：线性时不变系统（LTI） 1.2 数字信号处理的特点 | 通用结构—乘法器和加法器 | 灵活性好 | 精度高—12位字长即可达到0.001精度 | 稳定可靠 | 便于开发和升级 | 便于大规模集成 1.3 离散时间信号的表示 | 离散时间信号Æ序列 ( ) ( ) ( ) ( ) a t nT a a x t x nT n x n x nT n = = − ∞ < < ∞ = −∞ < < ∞ 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 －1 0 1 2 3 1 n δ (n) δ (t) t 0 ( a ) ( b ) 单位冲激序列 ( ) 1 0 0 0 n n n δ =⎧= ⎨ ≠⎩ ( ) ( ) ( ) m x n x m n mδ∞ =−∞ = −∑任意序列的表示Æ 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 单位阶跃序列 ( ) 1 0 0 0 n u n n ≥⎧= ⎨ <⎩ u(n) 0 1 2 3 1 n … 0 ( ) ( ) ( ) nk n m m k u n n m n mδ δ∞ = − = =−∞ = − = −∑ ∑ 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 矩形序列 ( ) 1 0 1 0N n N R n ≤ ≤ −⎧= ⎨⎩ 其它 R4(n) 0 1 2 3 1 n ( ) ( ) ( )NR n u n u n N= − − 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 实指数序列 ( ) ( )nx n a u n= O n 1 ( )nuan 1− 1 2 3 4 1>a O n 1 ( )nuan 1− 1 2 3 4 01 <<− a 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 复指数序列 ( ) ( )0j nx n e σ ω+= ( )0 02j M n j ne eω π ω+ = 数字角频率(rad) ( ) ( ) ( )0 0 0 0sin sinx n A nT A nϕ ω ϕ= ⋅ Ω + = ⋅ + 特例 正弦序列 0 0Tω = Ω 1.3 离散时间信号的表示 | 常用典型序列 周期序列 ( ) ( ) x n x n N n= + −∞ < < ∞ ( ) ( )0 0 0sin x n N A n Nω ω ϕ+ = ⋅ + + ‹正弦序列的周期性 02N Mπ ω=条件 问序列是否周期？ )4sin()( nnx π= ) 4 1sin()( nnx = 1.3 离散时间信号的表示 | 序列的基本运算 序列加法和乘法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z n x n y n z n x n y n = + = ⋅ 1.3 离散时间信号的表示 | 序列的基本运算 序列标乘 ( ) ( )y n c x n= ⋅ 序列移位 ( ) ( )0y n x n n= − 序列翻转 ( ) ( )y n x n= − 序列累加 ( ) ( )n k y n x k =−∞ = ∑ 序列尺度变换 ( ) ( )y n x m n= ⋅ 序列卷积 ( ) ( ) ( )y n x n h n= ∗ 在系统响应部分介绍 1.4 离散时间系统 | 线性离散时间系统 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k k k y n T x n y n T c x n c T x n c y n = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇓ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ 线性系统 1.4 离散时间系统 | 问系统是否线性？ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y n T x n a x n c T b x n a b x n c b T x n y n T x n T x n a x n x n a x n = = ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⋅ = ⋅ ⋅ + ≠ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⋅ % %� 1.4 离散时间系统 | 离散时不变系统 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 y n T x n y n n T x n n = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇓ − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ 时不变系统 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin sin sin y n T x n x n n y n n x n n n n T x n n x n n n y n n T x n n ω ω ω = = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇓ − = − ⋅ − − = − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ − ≠ −⎡ ⎤⎣ ⎦ 线性时不变系统(LTI) 1.4 离散时间系统 | LTI系统输出和输入关系 单位脉冲响应 ( ) ( ) ( )h n T x n T nδ= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) m x n x m n mδ∞ =−∞ = −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m y n T x m n m x m T n m x m h x nn m h n δ δ∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ =−∞ ⎡ ⎤= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ∗= − = ∑ ∑ ∑ 线性叠加原理 时不变性 线性卷积 1L N M= + − 1.4 离散时间系统 | 线性卷积计算和性质 R4(n) 0 1 2 3 n 0－1 m R4(－ m) －2－3 R4(n) 0 1 2 3 n m R4(m) 0－1 2 3 m R4(1－ m) －2 1 1 1 1 1 0－1 2 3 m R4(2－ m) 1 1 0 2 3 n y(n) 1 1 1 2 3 4 4 5 6 7 翻转Æ移位Æ乘Æ累加 h1(n) h2(n) h1(n) h2(n) y(n)x(n) y(n)x(n) h1(n)＋h2(n) y(n)x(n) h1(n) h2(n) y(n)x(n) （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） *系统级联 系统并联 1.4 离散时间系统 | 系统的因果稳定性 因果性 ( ) 0 0h n n= < n时刻的输出与n时刻之后的输入无关 非因果数字系统可利用存储器，延时实现 稳定性 ( ) n h n ∞ =−∞ < ∞∑ 有界输入产生有界输出(BIBO) 1.4 离散时间系统 | 稳定性充要条件证明 充分性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m x n p y n h m x n m h m x n m p h m ∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ =−∞ < ⇒ = − = − ≤ <∞ ∑ ∑ ∑ 输入有界Î输出有界 1.4 离散时间系统 | 稳定性充要条件证明 必要性 输入有界Î输出无界(矛盾) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 n n m m h n M h n x n h n y n h m x n m h m M ∞ =−∞ ∞ ∞= =−∞ =−∞ ⎫> ⎪⎪⇒⎬− ≥⎧⎪ ⎪= ⎨ ⎪− − <⎪⎩ ⎭ = − = ≥ ∑ ∑ ∑ 1.4 离散时间系统 | LTI系统的差分方程描述 模拟系统 Î微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 M N l k l k N M k l k l y n b x n l a y n k or a y n k b x n l a = = = = = ⋅ − − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = ∑ ∑ ∑ ∑ 线性常系数差分方程 特别 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 M l l N k k y n b x n l y n b x n a y n k = = = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ∑ ∑ MA、FIR AR、IIR 1.4 离散时间系统 | LTI系统的差分方程求解 1 经典解法 类似于模拟系统中微分方程的解法，较麻烦 2 递推算法(适于计算机求解) 3 变换域解法ÆZ变换方法(后续内容) 4 Matlab求解 1.4 离散时间系统 | 递推法求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1n y n a y n x n x n n y n y a y a n y a y a a y n a y n n a a u n δ δ δ δ = ⋅ − + ⎫⎪= ⇒⎬⎪− = ⎭ = = ⋅ − + = + = = ⋅ + = + = ⋅ − + = + M 是 否 是 单 位 冲 击 响 应 1.4 离散时间系统 | 递推法求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 n y n a y n x n x n n y n y a y n y a y a y n a y n n a u n δ δ δ δ = ⋅ − + ⎫⎪= ⇒⎬⎪− = ⎭ = = ⋅ − + = = = ⋅ + = = ⋅ − + = ⋅ M 系 统 的 单 位 冲 击 响 应 1.4 离散时间系统 | Matlab求解 xi=filtic(B,A,ys,xs); %由初始条件计算等效初始条件输入 ys=[y(-1),…,y(-N)]和xs=[x(-1),…,x(-M)]为初始条件；若 xs=0则可省略。 yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程 B=[b0,…,bM]; A=[a0,…,aN]; %差分方程系数， a0=1(若不等于1，则filter用a0对B和A归一化。) 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 时间连续信号Æ时间采样Î离散时间信号 问题：采样间隔如何确定？ | 幅度量化Æ数字信号 问题：是否有损？ 离散时间信号能否无损地恢复原始模拟信号？ 如何恢复？需要满足什么条件？ 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 采样示意 理想采样 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 采样信号表示 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n a a a n a a n P t t nT x t x t P t x t t nT x t x nT t nT δ δ δ δ δ ∞ =−∞ ∞∧ =−∞ ∞∧ =−∞ ⎫= − ⎪⎪⇒⎬⎪= ⋅ = − ⎪⎭ = − ∑ ∑ ∑ 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 采样信号的频谱分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 2 = 2 1 a a a a k s k s s X j FT x t X j FT x t P j FT P t a k T f T δ δ π δ π ∧ ∧ ∞ =−∞ Ω = Ω = Ω = = Ω − Ω Ω = ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 s T jk k T s k a a a s k a s k a s k a t e dt T T P j k T X j X j P j X j k d T X j k d T X j jk T δ δ δ π δ π π θ δ θ θπ θ δ θ θ − Ω − ∞ =−∞ ∧ ∞∞ −∞ =−∞ ∞ ∞ −∞=−∞ ∞ =−∞ = = Ω = Ω − Ω Ω = Ω ∗ Ω = ⋅ Ω − Ω − = Ω − Ω − = Ω − Ω ∫ ∑ ∑∫ ∑ ∫ ∑ 采样信号的频谱 是原信号频谱的 周期延拓 0 Ω c－Ω c Xa(jΩ ) P (jΩ ) －Ω s Ω s Ω Ω 0 Xa(jΩ ) Ω 0 Xa(jΩ ) Ω Ω cΩ s （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） ＾ ＾ 2 sΩ 0 －Ω s Ω s －Ω s δ 2sΩ2sΩ 采样频率 > 信号最高频谱的 2倍 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 采样恢复 0 Xa(jΩ ) Ω ＾ G(jΩ ) xa(t) ya(t) 0 G(jΩ ) Ω －π/ T π/ T 0 Xa(jΩ ) Ω （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） ＾ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 1 2 1 2 sin 2 2 sin s s j t j t s s g t G j e d Te d t t t T g t t T π π π π ∞ Ω −∞ Ω Ω −Ω = Ω Ω = Ω Ω= Ω = ∫ ∫ 信号最高频率未知，按 采样频率滤波器 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ a a a a n y t x nT g t x nT x nT t nTδ∞ =−∞ = ∗⎧⎪⎨ = −⎪⎩ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) sin a a n a n a n a n y t x nT g t d x nT g t d x nT g t nT t nT T x nT t nT T τ δ τ τ τ τ δ τ τ τ π π ∞∞ −∞ =−∞ ∞ ∞ −∞=−∞ ∞ =−∞ ∞ =−∞ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = − − = − −= − ∑∫ ∑ ∫ ∑ ∑ 理想低通无法实现 采样恢复滤波器响应无限长 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 零阶保持器恢复模拟信号 解码 零阶保持 平滑滤波 x(n) xa(t)xa(nT) xa(t)′ ( ) ( ) 0 2sin 2 2 T j t j T H j e dt T T e T − Ω − Ω Ω = Ω= Ω ∫卷积 1.5 模拟信号的数字处理方法 | 拓展问题 9 采样序列为矩形脉冲，问采样信号的频谱与原 始模拟信号的频谱关系如何？ 9 能否无失真恢复？ 9 条件？ 小结 | 模拟信号的数字处理方法 z 采样定理 z 采样恢复 | 典型离散时间序列的特征 | 时域离散线性时不变系统(LTI)分析 z 因果稳定性分析、线性和时不变分析 z 输入输出关系Æ线性卷积求解 z 差分方程求解