以数助形：向量解法PK传统解法

口湖：11~／高慧明 以数助形 ■ 一 向量解法PK传统解法 如 图 1． 已知 四棱 锥 p-ABCD．PB上 AD．侧面 PAD 为边 长等 于 2的正 三角形 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ． 侧 面 PAD 与 底 面 ABCD所成的二 面角为 12O。 fI)求点 P到平面 ABCD的距 离。 (Ⅱ球 面APB与面CPB所成二面角的大小。 P A 图 1 命题意向：本小题以多面体(棱锥 )为载 体，全面考查空间中线线、线面、面面的关系 以及有关角、距离等几何量大小的求法，同 时考查空间想象能力和推理、运算能力。可 将空间图形问题转化为平面图形问题，用传 统的几何法求解，也可用向量法求解。 传统解法 (1X解法1】如图2，作 PO J_"-T-~ ABCD，垂 足为点O。连结 OB、OA、OD、OB与AD交于 点 E， 连 结 PE’．’AD 上PB，，‘．AD 上OB， ， ． ， PA=PD ．OA=OD，于是 OB平分 AD，所 以 PE上AD。由此知 ／PEB为面 PAD与面 ABCD 所 成 二 面 角 的 平 面 角 ，．．． PEB：1 20。 ， PEO：60。 ，PE= 、厂 ， ． · ，PO=PE·sin60~=、／ ×单 =昙，即点P 到平面ABCD的距离为 。 【解法 (等积变换)取 AD的中点 E，连结 PE、B Ej 可 推 得 LPEB =12 ， 再 由 VP-AEB=V PE ，得点 P到平面ABCD的距离为 3 。 【解法 3】(构造直角三角形 )取 AD的中 点 E，连 结 PE、BE，推得 ／PBE=30。 ， PB=3，过点 P作 PO上BE于 O，可推得 PO =PB·sin30。 = ．。 (Ⅱ)【解法 1】如图3，取 PB的中点 G，PC P o A 图 2 的中点 F，连结 EG、AG、GF，则 AG上PB， FG上PB1．．． AGF是所 求二面角 的平面 角 。 ’．’AD J_面 POB，．’．AD J_EG。 又 ‘ ． ‘PE=BE，．‘．EG上PB，且 PEG=60。，在 RtAPEG中，EG：PE．cos60。： ，于 tanLGAE= = ，X LAGF=丌 一 GAE，所以所求二面角的大小为 丌一arctan单 。 【解法 2】(化整为零 )实际上二面角 A—PB—C的大小等于二面角 C—PB—E与 A—PB—E的和 。 P O C 图 3 懈 法3】(等积变换 )此图略，过 C作 CM上面 PAB于 M，连结 BM，可推 得 CBM 为所求二面角 A—PB—C的平面角 的补角，rh{s谶 ·PO={s△ABP·CM，得 0 0 sin LCBM： ：单 ，．．．二面角 D、 ， A—PB—C的大小为 丌一arcsin 。 ， 【解法 4】(利用异面直线两点间的距离 公式)取 PB的中点 G，连接 AG，可推得 BG 为异面直线AG、BC的公垂线段 ，设二面角 A—PB—C的大 小 为 e， 由距离 公 式得 c。s e = —AG — 2+ GB 2+ BC _ 2 - AC2 =一T2VT ， 故所求二面角的大小为 丌一arccos 。 向量解法 (I)(利用法向量 )此图略，作 PO上平面 ABCD于 O，连结 OB，则由三垂线定理 的 逆定理知 OB上AD，作 Ox／／AD，建立以O 为原点，Ox为X轴，OB为 Y轴 ，OP为 Z轴 的空间直角坐标系 O—xyz，设平面 ABCD 的法向量n=(X，Y，Z)，则n上O-K，n上 ， 推得 n：(O，O，Z)。，·．点 P到平面 ABCD 的蹰葑为I n I：要。 I ⋯ I I (Ⅱ)衅法 1】(利用向量的几何运算)取 PB的 中点 G，连结 AG，得 上阿 ， 上阿 1．．． 、百 的夹角 e等于所求二面角的'-T-~角。 【解法 2】(常规向量法 )建立直角坐标 系，其中 O为坐标原点，x轴平行于 DA，PB 中点G的坐标(0， ，车 )，求G-K， 阿 ， 的坐标l有 ·阿 =O， ·阿 ：O 所以G-A*J_阿 ，B-G J_阿 。G-A*， 的夹角 e 等 于 所 求 二面 角 的 平 面 角 ， 于 是 C0 一 ，故所求 二面角 的大小为 丌一arccos 一。 对 空间 问题 的处理 ，传统 的几何 解 法和 向量 解法各有利 弊优 劣 ，应视具体 情况而定 ，灵活处理 、择优选 用。“传统 解法 ”需作 辅助线 ，有时一窍难 得、不易 解 出 ；而使用 “向量解 法 ”程序化 强 、便 于 操作 ，求解 的关键 在于建 立恰 当 的空 间直 角坐标 系(基本原 则 ：使 图 中尽可 能多 的点 落在 坐标轴上 ，这样便于 用坐 标 示相 关的点及 向量 )，然后利 用坐 标 系确定 各相 关点及 向量 的坐标 ，再借 助 向量 坐标 运算 法则 、公式 ，无 须添 加 辅 助线 ，即可达到 解题 目的。 维普资讯 http://www.cqvip.com