基于CopulaACD模型的股票连涨和连跌收益率风险分析

第30卷第2期 2010年2月 系统工程理论与实践 SystemsEngineering—Theory＆Practice Vbl．30．No．2 Feb．，2010 文章编号：1000-6788(2010)02—0298-07中图分类号：F830．9 文献标志码：A 基于Copula-ACD模型的股票连涨和连跌收益率风险分析 胡心瀚，叶五一，缪柏其 (中国科学技术大学统计与金融系，合肥230026) 摘要分别使用包含“天数变量”的Log-ACD和Copula模型对股票的连涨和连跌收益率的边 缘分布以及二者的联合分布进行了拟合，检验结果表明该模型拟合的效果要优于传统方法．对上证 180指数数据做了实证研究，并使用条件VaR对股票连涨连跌收益率进行风险分析，实证结果证明 该模型的拟合结果与股市的实际情况是相吻合的．投资者可以依照模型得出的“涨跌风险对比图” 分析当前股票市场的涨跌风险对比，从而指导投资行为． 关键词上证180指数；Copula-ACD模型；条件VaR Riskanalysisofcontinuouslyrisingandfallingstockyieldbased onCopula-ACDmethod HUXin-han，YEWu-yi，MIAOBai-qi (DepartmentofStatisticsandFinance，UniversityofScienceandTechnologyofChina，Hefei230026，China) AbstractTheLog-ACDmodelwhichincludesthe“numberofdays"variableandCopulamodelare usedrespectivelytofitthemarginalandjointdistributionofcontinuouslyrisingandfallingstockyield． Theresultoftestshowsthatthismodeliscomparativelybetterthantraditionalmethods．Inthispaper． Shanghaistock180indexisusedforempiricalanalysisandconditional眦iscomputedforriskanalysis． TheempiricalresultprovesthatthismodeliSconsistenttoactualmarket．andinvestorcalluse‘'figureof risingandfallingrisk'’toanalyzeandestimatetheiractionofinvesting． KeywordsShanghaistock180index；Copula-ACDmodel；conditional衍鸿 1引言 通常关于股票收益率的研究重点在于每日收益率，即关心的是股票收益率随时间的变化规律，但是从实 际研究的情况来看股票当日收益率对日后收益率的影响并不是很大．本文从相对宏观的角度研究了股票的 连涨(连跌)收益率，发现通过分析这种收益率形式可以很好地解释和判断股票涨跌风险的变化规律，从而为 投资者的投资行为提供指导和帮助．股票的连涨(连跌)收益率是指股票在一段连续上涨(下跌)时期内的对 数收益率，也即股票收益率由正转负或由负转正之间时期的收益率之和．例如当收益率由正转负时我们就认 为股票的连涨时期结束而连跌时期开始，反之亦然．国内对这一课题较早的研究主要有雷鸣等ItJ．然而从目 前来看该课题的研究还存在一些问题，如对股票连涨(连跌)收益率样本序列的拟合还不够理想，股票连涨连 跌收益率的联合分布难以用一种已知的多元分布来描述等，并且现有模型的实证分析结果和股市的实际情况 以及经济理论之间也缺少印证．本文使用Copula-ACD模型和条件VaR方法对以上问题的研究进行扩展和 补充，并为投资者的投资行为提供一定的指导． 收稿日期：2008-11—06 资助项目：国家自然科学基金委员会创新研究群体科学基金(70821001)；安徽省自然科学基金(090416245)；教育部科学技术 研究重大项目(309017) 作者简介：胡心瀚(1984-)，男，汉，江苏盱眙人，博士研究生， 研究方向： 金融风险管理、 投资组合，E-mail： azurehuOmail．ustc．edu．cn；通讯作者：叶五一(1979--)，男，汉，山东安丘人，讲师，博士，研究方向：风险管理和金融工程，B mail：wyye@ustc．edu．cn；缪柏其(1945-)，男，汉，江苏无锡人，教授，博士生导师． 万方数据 第2期 胡心瀚，等：基于Copula-ACD模型的股票连涨和连跌收益率风险分析 299 ACD(Autoregressiveconditionalduration)模型由Engle和Russell[2]首先提出，主要用来研究市场 连续两笔交易之间的持续期，从而揭示市场的流动性．随后又有许多学者对其进行了补充扩展，如Bauwens 和Giot(Sl的Log-ACD模型，Zhang，Russell和Tsay[al的TACD模型，以及Fernandes和Grammig[51的 AACD模型等．由于文献[1】中指出连涨(连跌)收益率可以用Gamma分布拟合，而误差项为Gamma分布 的ACD类模型可以提供一种动态的Gamma分布，由此本文尝试对一定时间段内多个连涨(连跌)收益率 使用Log-ACD模型建模，并在模型中加入连涨(连跌)天数解释变量来提高模型的拟合效果．实证分析证明 该模型可以有效地消除连涨(连跌)收益率之间的自相关性，动态确定分布参数，且拟合效果优于标准ACD 模型和未加天数解释变量的标准Log-ACD模型． 由Schweizer与Sklar[6】于1959年提出的Copula函数在金融产品定价以及风险分析等方面取得了一 系列有意义的成果[7-1x】．本文首次使用二元ArchimedeanCopula族对股票连涨连跌收益率的联合分布建 模，并以条件VaR为度量对二者的条件风险做了分析，结果表明模型拟合的结果是与股市实际情况相吻合 的，投资者可以依照模型得出的“涨跌风险对比图”分析判断股市的涨跌形势． 本文第2部分应用Log-ACD模型分别对股票连涨(连跌)收益率的边缘分布进行了估计；第3部分应 用Copula方法估计了股票连涨和连跌收益率间的联合分布，并依此计算二者间的条件概率分布；第4部分 使用上证指数数据做了相关实证分析，并用条件VaR方法进行了风险分析；最后对全文进行了． 2基于Log-ACD模型的股市连涨连跌收益率边缘分布估计 首先我们举例说明股票连涨(连跌)收益率的计算方法【1】．设n天内股票每日对数收益率样本序列为 {7’1，r2，⋯，‰)，rl>0，⋯，％>0，rk+l<0，⋯，rk+i<0，rk+j+l>0，⋯，定义Xl=rl+r2+⋯+ 他，Yl=一(rk+1+⋯+rk+J)，⋯，则股票连涨收益率样本序列为{z1，X2：⋯，z。，}，连跌收益率样本序列为 {yi，Y2，⋯，‰。】-，其中nl+n2≤n．连涨(连跌)天数序列为{z1，Z2，⋯，‰1+。。)．表1介绍了有关样本数据 的计算方法． 表l连涨(连跌)收益率及天数计算 设甄，Yi分别为第i个连涨和连跌收益率的观察值，下面以连涨收益率为例介绍模型设定．设亿一1为 第i一1个观察点的信息集，以为第i个连涨收益率条件期望的对数值．则有他=lnE(xil亿一1)． 我们使用Bauwens和Giot【3l提出的第二型Log-ACD模型对样本数据建模．由于连涨(连跌)收益率 样本均大于零，我们分别对对数正态分布，威布尔分布以及伽玛分布等进行KS检验后发现伽玛分布能更好 地拟合样本数据．故在Log-ACD模型中假设残差￡服从伽玛分布．具体模型如下： J，现=讥岛X毛一 ，p) 1 lIl以=u+Q-7il_1+rp(k妒‘一+叼hl旎(、-l，／In1 I- 钆一1 其中u，Ol，p，叩为模型系数，k，0为伽玛分布的参数，待估参数0=如，a，p，卵，k，口)，旎是连涨(连跌)天数， 作为新加入的额外解释变量．为保证条件期望的平稳性，模型系数须满足蚓<1． 万方数据 系统工程理论与实践 第30卷 根据Engle和Russell[21，Drost和Werker[12】提出的拟极大似然(QMLE)方法得到模型的对数似然函 数为 N Ⅳ N ． (尼一1)∑In戤一忌∑凳一后∑111警一NIn，(后) (2) i=l i=1 7‘ i=1 ’’ 使(2)式达到最大值就可以得到模型所有参数a的极大似然估计，其中动态参数吼=饥／k．从而可以得到 连涨(连跌)收益率的条件边缘分布： F(zJ亿一，)=P(玩≤zI琅一·)=PGt≤云I亿一t)=，(云I亿一-；忌，日) ·(3) 设9(·)为伽玛分布密度函数，则连涨(连跌)收益率的条件边缘概率密度函数为 f(xl亿一1；k，口)=g(x／e妒‘I亿一l；k，p)／e妒‘ (4) 3 基于Copula理论的股票连涨连跌收益率联合分布估计 3．1Copula理论介绍 设x=(X1，x2，⋯，并)为P维总体，(Xil，五2，⋯，疋p)，i=1，2，⋯，竹是从中获得的一组样本，C为 —个Copula函数，风(zk)，k=1，2，⋯，P，为第k个个体的边缘分布函数，则C(Fi(X1)，F2(z2)，⋯，昂(唧)) 确定了(xl，恐，⋯，％)的一个联合分布． 为研究股票的连涨和连跌收益率二者间的关系，本文主要考虑了ArchimedeanCopula族，因为该Cop- ula的覆盖面很广，能够包含大多数常见的二元Copula结构．按照生成函数妒(·)的不同，Archimedean Copula可以分成不同的类，目前比较常见的有20个类【71．对每—个类都有—个参数，y，可以通过样本数据 估计出来． 为了在ArchimedeanCopula族中选择一个最为合适的Copula类，我们首先需要计算样本的Kendall 相关系数办．然后由Mattei8【7】提出的方法根据肼的取值范围来确定ArchimedeanCopula候选类．最后 对候选类做三种拟合优度检验，以此来确定哪个Copula类能够最好地拟合样本数据． 3．2股票连涨连跌收益率联合分布估计 按照本文第2部分所述，对股票的连涨和连跌收益率样本序列{zl，X2，⋯，z。。】．和{∥1，Y2，⋯，‰。)(若 样本个数n1，n2相差1则将多出的那个样本去掉)分别使用Log-ACD模型(1)拟合后可以由(3)式得到连 涨和连跌收益率的边缘分布F1(z)和F2(耖)．由Copula理论可得连涨和连跌收益率的联合分布可表示为： F(x，Y)=C(F1(z)，F2(可))=c(5(x／etf，：)，疋(可／e妒；))(5) 这里的，分布实际上是条件分布．从(5)式我们可以看出连涨和连跌收益率的联合分布是—个动态分布，随 着条件期望料，僻的变化而变化． 设，(·)为联合分布密度函数，^(·)，^b(·)分别为边缘密度函数和条件密度函数，则有 f(x，可I亿一1)=^(zI亿一1)·，211(可l亿一1，z) (6) 其中联合概率密度和边缘概率密度分别从Copula模型和Log-ACD模型得到，故由(6)式可求得条件密度 函数． 由以上分析可以看出通过Copula可以将连涨和连跌收益率的边缘分布‘‘连接”起来，即得到二者的联 合分布表达式，通过联合分布就可以非常容易地分析连涨和连跌收益率的相互关系和条件风险． 4实证分析 4．1数据描述 本文使用2005年1月4日至2008年3月19日共776个交易日的上证180指数数据进行了实证分析． 按照文章第2部分所述方法计算得到连涨和连跌收益率样本各183条．其基本统计性质如表2所示． 表2连涨和连跌收益率样本统计性质描述 由表2可以看出连涨和连跌收益率样本序列的标准差均大于其均值，这说明数据存在着过度分散(Over- dispersed)的特点，使用ACD模型可以有效地解决这一问题．此外从Ljung-BoxQ统计量滞后10阶的值来 万方数据 第2期 胡心瀚，等：基于Copula-ACD模型的股票连涨和连跌收益率风险分析 301 看，连涨和连跌收益率样本序列都存在着十分显著的自相关性(p值均小于e-06)，这也为我们使用ACD模 型对样本序列进行拟合提供了一个重要的依据． 4．2基于ACD模型的样本边缘分布分析 下面我们使用ACD模型对样本数据建模．图1和图2给出了连涨和连跌收益率样本序列的频数图． 连涨收益率(” 连跌收荔率(％) 图1连涨收益率样本序列频数图 图2连跌收益率样本序列频数图 根据以上频数图的特点我们分别选取对数正态，威布尔以及伽玛分布对样本数据进行拟合，Kolmogorov- Smirnov(KS)检验的结果如表3． 表3连涨连跌收益率样本分布拟合检验 从表3中我们可以看到伽玛分布对样本数据拟合的较好，因此我们选取伽玛分布作为ACD模型的残差 分布．此外为了增强模型的拟合效果，我们还在模型中加入了‘链涨连跌天敦’这一外生解释变量，这就使得 传统ACD模型中系数非负的条件难以得到满足．因此这里我们使用了Log-ACD模型来对数据建模，模型 如(1)式所示．应用拟极大似然(QMLE)方法可以得到模型的参数估计值如表4． 表4Log-ACD模型参数估计值 其中巩的估计值由残差r分布的均值枷=讥这一等式得到．可以看到参数巩也是动态的，因此有助于提 高模型的拟合效果．为了检验Log-ACD模型的拟合效果，本文以KS检验统计量和模型残差的Ljung-Box Q统计量【2—3】为标准对单一伽玛分布、不加连涨连跌天数解释变量的Log-ACD模型(简称Log-ACDI)以 及加入连涨连跌天数解释变量的Log-ACD模型(简称Log-ACD2)三种模型做了对比，比较结果如表5． 表5三种模型拟合结果对比 从表5中我们可以看到：1)从KS统计量角度来看，无论是拟合连涨还是连跌收益率，单一伽玛分布的 KS统计量p-value值要远远低于其它两种模型，这说明该静态模型对样本数据拟合的比较差．而Log-ACD2 模型的KS统计量p-value值相对Log-ACDl模型较高，这说明加入了连涨连跌天数这—解释变量有助于提 升模型的拟合效果．2)从模型残差的Ljung-BoxQ统计量10阶滞后值来看，Log-ACD2模型的p-value值 万方数据 系统工程理论与实践 第30卷 也要高于Log-ACDI模型，这说明Log-ACD2模型可以更有效地消除样本数据的自相关性[2-s]．此外对比 表2中原始数据的Ljung-BoxQ(10)值我们可以清楚的看到两种Log-ACD模型都使该指标有了明显的下 降． 由以上分析可以得出结论：由于股票收益率分布参数的时变性以及样本数据的自相关性，采用动态参数 模型(Log-ACD)的拟合效果要好于传统的单一伽玛分布，这就改进了文章引言中提到的“股票连涨(连跌) 收益率样本序列的拟合不够理想”的问题．从经济学的角度来看，由于中国股市的特殊环境以及国际经济环 境等各方面因素的影响，股票收益率在不同时期必然呈现出不同的变化规律，这使得静态参数模型难以根据 时期调整收益率的分布．此外Log-ACD2模型更能反映收益率样本的变化规律说明连涨连跌天数变量对于 连涨连跌收益率的变化也是一个重要的解释因素，它主要描述了股票上涨或下跌的速度． 4．3基于Copula的样本联合分布分析 估计出Log-ACD2模型的所有参数后就可由(3)式得到股指连涨和连跌收益率的边缘分布．为了拟合 联合分布，我们先对连涨和连跌收益率各183个样本进行配对得到序列(规，玑)，i=1，2，⋯，183，应用文章 第4部分的方法我们用ArchimedeanCopula族对其进行拟合．首先计算得到样本序列Kendall相关系数P 为0．0392，满足此条件的ArchimedeanCopula有7类n其生成函数分别为(其中7为参数)： 1．妒1(t)=(t-1—1)／7 2．妒7(￡)=(1一t)7 3．妒70)=ln[(1—7(1一t))／t】4．妒10)=(一int)1 5．妒10)=ln(e一，y一1)一ln(e～70一1)6．妒1@)=(1一t)／p+(，y—1)￡】 7．n(t)=(1一t1／1)7 使用文献[7】中的方法我们分别用以上7种Copula对连涨和连跌样本序列进行拟合，由Kendall相关 系数P计算出参数，y的估计值以及三种检验方法p-value值结果，如表6所示． 由于三种检验方法得到的p-value值越大说明该Copula类对于样本数据的拟合效果越好，因此综合表 6中三种方法的检验结果我们选择第四类Copula来拟合样本数据的联合分布．此类Copula又称为Gumbel Copula，其参数7=1／(1一p)．它的上尾相关性较强，在我们的研究中就是说大涨和大跌的相关性较强． 表6Copula参数估计及检验结果 根据其Copula函数形式我们得到联合分布形式如下： F(zt，Yi)=c(F1(z‘)，F2(玑))=exp{一【(一lnFl(xi))1+(一lnF2(yO)1】V1} =e印H(地(n0t／e以)))7+(乩(乃(玑／e孵)))7n(7) 通过(7)式我们还可推出条件分布的函数形式．例如给定连涨收益率条件下连跌收益率的条件分布为兄池=C,(Fl(xi)，F2‰))=￡旦掣exp{_AII'y)A(1一．1)(8) 其中A=(一InF1(瓤))1+(一InF2(犰))1． 4．4基于条件Valt的连涨连跌收益率风险分析 为了进一步分析连涨连跌收益率的风险特征，我们使用(8)式来计算连涨或连跌收益率随机变量的条件 VaR(CVaR)的值．根据文献【11】中的方法我们可以得到已知连涨收益率条件下连跌收益率的条件VaIL计 算公式如下： CVaR(Q)=FZ(1一QIzi) (9) 上式中a为置信水平．由于(8)式中条件分布的反函数难以写出显式的表达式，故我们使用数值方法来计算 条件VaR．图3给出了在置信水平为95％的条件下z取不同值时Y的条件VaIL的变化情况． 万方数据 第2期 胡心瀚，等：基于Copula-ACD模型的股票连涨和连跌收益率风险分析 303 从图3我们可以看出：1)在连涨天数固定时连跌收益率条件VaR的值随着连涨收益率的增加在不断增 大．这说明固定天数下连涨越多连跌的风险就越大，这是因为股票涨的越多则获利盘就会不断抛售使得股价 下跌风险增加．同时可以看到连涨收益率在。一1％时连跌的风险增加得最快，往后则逐渐缓慢增加，这可以解 释为是由于短期投机行为所造成的．这在连涨一天时表现得尤为明显．2)在连涨收益率固定时连跌收益率条 件VaIL的值随着连涨天数的增加不断减小，且连涨收益率越大这种差距越明显．这一点我们可以理解为是由 于股市的波动性造成的，例如连涨一天往往有可能是因为某些系统因素或某些消息所导致的，而连涨天数较 长则很可能显示出的是一种市场的趋势，故连跌风险会相对较小．3)我们还注意到当连涨收益率固定时，各 连涨天数间条件VaIL的值的间距是不断减小的．如连涨一天与连涨三天条件下连跌条件VaR的值之间的差 距要比连涨三天与连涨五天条件下连跌条件VaR的值之间的差距大．这也可以用市场的波动性来解释，即 短期连涨往往是市场波动而长期连涨则反映了基本面、政策面等宏观方面的趋向，因此连涨时间越长连跌的 风险越接近． 用同样的方法我们也可以计算连跌收益率的条件VaR变化规律．由于其基本特征与图3一样，这里不 再列出．下面看连涨条件下连跌和连跌条件下连涨两种情况下条件VaR变化的对比图(图4)． 图3 不同连涨收益率及天数条件下 连跌收益率条件VaR变化图 从图4中我们可以看出连涨条件下连跌的条件VaR无 论是从增速还是数值来看都要远远高于连跌条件下连涨的 条件VaR．这也就是说，连涨后连跌的风险非常大而连跌后 连涨的风险却非常小，这就说明股市开始处于一种下跌的 态势．对照我们所采用的实验数据很容易可以看出2008年 3月正是股市大幅下滑的时期． 为了进一步验证模型分析结果和股市实际情况的一致 性，我们分别截取2005年12月1日到2007年9月3 日的426条上证180指数数据作为第一组数据，2006年4 月7日到2008年1月4日的426条上证180指数数据作 为第二组数据重复实验(见图5)．同理图4我们可以得到 图6和7． 图6 第一组数据不同连涨(连跌)收益率及天数条 件下连跌(连涨)收益率条件VaIL变化图 图4 不同连涨(连跌)收益率及天数条件下 连跌(连涨)收益率条件VaR变化图 图5不同实验日期对应上证180指数走势图位置 圉7 第二组数据不同连涨(连跌)收益率及天数条 件下连跌(连涨)收益率条件VaR变化图 万方数据 系统工程理论与实践 第30卷 从图6中可以看到情况和图4中正好相反，即连涨条件下连跌的条件VaR要低于连跌条件下连涨的 条件VaR，说明股市正处于上升时期．从大盘历史走势我们可以看到2007年9月正是牛市的上升时期(图 6)．而从图7我们看到连涨条件下连跌和连跌条件下连涨的条件VaR变化曲线处于一种胶着状态，难以判 断究竟是哪一方占优势．对比大盘走势我们看到2008年1月的正是处在一个大盘涨跌形势不十分明了的状 态(图5)．由此可见，我们根据模型画出类似与图6—7的曲线图可以看作是股票当前的—个“涨跌风险对比 图”，当连涨的条件VaR曲线在连跌的条件VaR曲线之上时，连跌的条件风险较小即多方占优，市场处于牛 市，投资者可适当买进；而当连跌的条件VaR曲线在连涨的条件VaR曲线之上时情况则正好相反． 5结论 本文首次应用ArchimedeanCopula和Log-ACD模型对股市连涨连跌收益率特征进行了分析，其中在 应用Log-ACD模型对连涨(连跌)收益率拟合时在传统模型中加入连涨连跌天数变量，改善了模型的拟合 效果．本文并对上证180指数数据做了实证分析，检验结果证明了该Copula-ACD模型在拟合连涨和连跌收 益率边缘分布以及拟合其二者之间联合分布时都比传统的模型更具优势． 基于模型拟合结果本文还使用条件VaR对连涨连跌收益率的条件风险进行了度鼍，得到了一些具有实 际意义的结果：1)连涨(连跌)条件下连跌(连涨)收益率的条件VaR变化曲线(图3)显示出连涨(连跌)的 越多连跌(连涨)的风险就越大，这一点也是符合股市高抛低吸的实际情况的．2)图3还显示出连涨天数越 长则连跌的条件风险就越低．即连涨1—2天是一些随机因素或投机行为所引起的，因此随后连跌的风险较大， 若连涨天数较长则显示了一种市场向上的趋势，因此连跌风险反而较小．3)从图4、图6以及图7等“涨跌 风险对比图”可以清楚地看出我们所采用的Copula-ACD模型能较好的分析股票市场所处的涨跌形势，即牛 市时连跌收益率的条件VaR曲线在连涨收益率条件VaR曲线的下方，而熊市时正好相反．综上所述，使用 Copula-ACD模型得到的收益率条件VaR变化曲线可以较好地分析连涨(连跌)的风险变化因素，并通过分 析风险来捕捉股市多空力量以及经济形势变化的规律，实证分析表明这种变化规律与股市实际运行情况是相 吻合的．投资者可据此判断股市买卖风险从而指导投资行为． 我们认为还有以下一些问题有待进一步研究：1)实验数据的数量对结果精确程度的影响．这一点作者 初步研究发现离预测点越近的数据对预测结果的影响越大，但具体程度还不清楚．2)不同时期连涨和连跌收 益率的条件VaR变化曲线的相对位置的变化规律也有待进一步研充 参考文献 【1】雷鸣，缪柏其．运用生存模型对上证指数涨跌天数的研究【J】．运筹与管理，2003，(6)：87_91． LeiM，MiaoBQ．Studyofsuccessiverisesandfallsofdayswithsurvivalanalysis[J1．OperationsResearchand ManagementScience，2003，(6)：87—91． 【2】2 EngleR，RussellJ．Autoregressiveconditionalduration：Anewmodelforirregularlyspacedtransactiondata[J]． Econometrica，1998，66：1127-1162． 『31BauwensL，GiotP．TheLogarithmicACDmodel：Anapplicationtothebid-askquoteprocessofthreeNYSE stocks[J1．Annalesd’EconomieetdeStatistique，2000，60：117．149． f41ZhangMY，RussellJR，TsayRS．Anonlinearautoregressiveconditionaldurationmodelwithapplicationto financialtransactiondata[J1．JournalofEconometrics，2001，104：179-207． 『515 FernandesM，GrammingJ．Afamilyofautoregressiveconditionaldurationmodeis[J1．JournalofEconometrics， 2006．130：l一23． 『61 SchweizerB，SklarA．ProbabilisticMetricSpaces[M1．NewYork：North．Holland／Elsevier，1983． 『7l 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