相似

《相似》教材分析 《相似》教材分析 其知识结构框图如下： 相似三角形的常见图形及其变换： （1）相似三角形的判定 ：①平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形，与原三角形相似。 ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 在学生了解所有的判定方法后，可以安排适当的题组进行训练，总结规律，形成技能。 例1、（2006苏州）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M。 （1）​ 求证：△EDM∽△FBM； （2）​ 若DB=9，求MB的长。 例2、（1）如图1，△ABC中，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD、CE交于H，指出图中哪几个三角形相似？ （2）连接ED后，（如图2）新增加哪些三角形相似？ 例3、已知：如图AD为△ABC的角平分线， AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F。 求证：（1）△BAE∽△ACE；（2） 。 例4、（2008.1西城）如图， 和 都是直角三角形， ，DE与BC相交于点F，AB=6， AC=9，CD=4，CE=6，问 是否为等腰三角形？ 试说明理由。 例5、（2007.5西城）在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论。 例6、如图：△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。 （1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长。 （2）观察图形，请你提出一个与点P相关的 问题，并解答。 例7、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF． 例8、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G． 求证：FG＝FC． 判定方法的总结 （2）相似三角形的性质及其应用： 相似三角形的基本性质： ①对应角相等； ②对应边成比例； ③对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比； ④周长比等于相似比； ⑤面积比等于相似比的平方。 例1、（2007.5朝阳）如图，要在一个三角形ABC的花坛中，种满花草，工作人员沿与AB平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一片三角形的的地块，测出△CDE的面积为10m2， CE长为4m，BE长为6m，请你根据测得的数据，计算出整个花坛△ABC的面积是多少？ 例2、（2007.5海淀）如图7，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，点E是BC边上一点，且BE＝1cm，求点D到AE的距离． 例3、梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O.已知 =1：3，求 . 例4、如图：在△ABC中，∠C＝90°AC=CB，点D在BC上，∠ADC＝60°，在AD上取一点E，使AE=2ED.过点E作EF∥BC，交AB于点F，连接CF，交AD于点P， 求 . 例5 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于E，DE=2AE.已知△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积. 例6、如图，P为△ABC内部任意一点，过点P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积 分别为1、1、2，求△ABC的面积. 例7、（2006南通）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°． （1）求直线CB的解析式； （2）求点M的坐标； （3）∠DMC绕点M顺时针旋转α　（30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F　，设DE＝m，BF＝n .求m与　n的函数关系式． （3）位似： 例1、如图， HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" EMBED Equation.DSMT4 是由 经过位似变换得到的，点 是位似中心， 分别是 的中点，则 与 的面积比是（ ） A． B． C． D． 例2、给定△ABC，作一个正方形，使其一边在BC上，两个顶点分别在AB、AC上. 例3、在已知半圆内作一个内接正方形，使它的一边在半圆的直径上，其它两个顶点在半圆上. 例4、（2008陕西）如图，矩形 的长、宽分别为 和1，且 ，点 ，连接 ．（1）求经过 三点的抛物线的表达式； （2）若以原点为位似中心，将五边形 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．请在下图网格中画出放大后的五边形 ； （3）经过 三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由． 图形的变换是新课标中加强的部分，这部分教学应注意： 巩固基本知识与基本技能，并注意基本规律的总结。 通过大量地观察、动手操作、图案设计等实践活动理解其内涵，抓关键点。 注意观察现实生活中图形变换的案例，认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的作用。 认真审题，注意观察图形在变换过程中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，怎么变的，从而抓住变化过程中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量，不变关系或特殊关系，通过建立函数模型或方程模型来解题 （三）把握难度要求，适当进行综合题分类训练 1．相似与圆： 例1、（2008.6西城）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC 于E点，AE=2，ED=4. （1）求证: ～ ； (2) 求 的值； （3）延长BC至F，连接FD，使 的面积等于 ，求 的度数. 例2、（2008陕西）如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线．过 三点的圆与斜边 交于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）求 外接圆的半径． 例3、（2008青海）已知，如图，直线 交⊙O于 两点， 是直径， 平分 交⊙O于 ，过 作 于 ． （1）求证： 是⊙O的切线； （2）若 cm， cm，求的半径． 2．相似中的分类讨论： 例1、已知两数是4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，问第三个数是多少？ 例2、矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，这样的点有几个？ 例3、在△ABC中，点D是AC边上的一点，过D的直线交AB边于点E，若△ADE与△ABC相似，试问这样的直线有多少条？ 例4、P是Rt△ABC斜边上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有多少条？ 例5、已知：Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的一动点，线段PC把Rt△ABC分割成两部分。 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△ABC相似？（在图上画出符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标） 例6、如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似（注意：全等图形是相似图形的特殊情况） 3．相似三角形与动点问题 例1、​ 如图：已知△ABC的高AE=5，BC= ，∠ABC=45°，F是AE上的点，G 是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H，与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K。 （1）​ 请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形，并对你得到的结论予以证明； （2）​ 当点F在AE上运动并使点H、I、J、K都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围。 例2、（利用相似）如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使△ABD∽△DCE，且点D与点E是对应顶点。 （1）​ 求∠ADE的度数。 （2）​ 设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。 （3）​ 当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？ （4）​ 当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。 例3、如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，点P在AB边上由A向B匀速运动，点Q在CB边上由C向B匀速运动，它们同时出发，速度都为1厘米/秒，当点Q先到达点B时，点P也停止运动。设运动时间为t秒。 （1）​ 若△CPQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围。 （2）​ 当△CPQ为直角三角形时，它的面积为多少平方厘米？ （3）​ 分析发现P、Q两点的运动速度相同时，无论t为何值，△CPQ都不可能是正三角形。那么在“保持点P运动速度不变”的条件下，是否能通过改变Q的运动速度，使△CPQ在运动过程中成为正三角形？若能，请求出点Q改变后的运动速度v和此时ｔ的值；若不能，请说明理由。 例４、已知直线 与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点，动点Ｑ从Ｂ点开始在线段ＢＡ上以每秒２个单位长度的速度向点Ａ移动，同时动点Ｐ从Ａ点开始在线段ＡＯ上以每秒１个单位长度的速度向点Ｏ移动，设动点的移动时间为ｔ秒。 （１）求出点Ａ、Ｂ的坐标； （２）当ｔ为何值时，△ＡPQ与△ＡＯＢ相似？ （３）求出（２）中，当△ＡPQ与△ＡＯＢ相似时，线段ＰＱ所在直线的解析式。 4．相似三角形中的存在性问题（题组示例）： 例1、如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC边上一点（不与B、C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B。 （1）​ 求证：△ABP∽△PCE； （2）​ 求等腰梯形的腰AB的长； （3）​ 在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？ 如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由。 例2、（点的存在）在△ABC中，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否存在一点D，使得AC =AB·AD？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由。 （分类：∠ACB>∠B; ∠ACB<∠B两种情况） 例3、（2006深圳）如图9，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），抛物线上另有一点 在第一象限，满足　　　∠ 为直角,且恰使△ ∽△ . (1)求线段 的长. (2)求该抛物线的函数关系式． (3)在 轴上是否存在点 ，使△ 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例4、（值的存在）已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC于E，交AB于F，连接FC（AB>AE）. (1)△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论：若不相似，请说明理由； (2)设 =k,是否存在这样的k，使得△AEF∽△BCF？若存在，证明你的结论并求出k的值：若不存在，请说明理由； 例5、（2006成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P. (1)设DE＝m（0