高一数学教案：正弦定理、余弦定理（4）

示为 ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程  解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝ ， 在△ADB中，cosADB＝ 在△ADC中，cosADC＝ 又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC  ∴ 解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型  另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下： 由三角形内角平分线性质可得 ，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA 三、课堂练习： 1 半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积  解：设△ABC三边为a，b，c 则Ｓ△ABC＝ ∴ 又 ，其中R为三角形外接圆半径 ∴ , ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1 所以三角形三边长的乘积为1  评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理： ，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝ 发生联系，对abc进行整体求解 2 在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB  解：在△ADC中， cosC＝ 又0＜C＜180°，∴sinC＝ 在△ABC中， ∴AB＝ 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用 3 在△ABC中，已知cosA＝ ，sinB＝ ，求cosC的值  解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝ ∵sinB＝ ＜ ＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180° 若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符  ∴0°＜B＜30° cosB＝ ∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝ 又C＝180°－（A＋B）  ∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－ 评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较  四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力 五、课后作业： 六、板书（略） 七、课后记及备用资料： 1 正、余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得： sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之  ［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝ sinAsinC，求B的度数 解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB， ∴－2sinAsinCcosB＝ sinAsinC ∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－ ∴B＝150° ［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值 解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50° 在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°， 则A＝120° sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120° ＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（ ）2＝ ［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状  解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A， 由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B∴B＝C 故△ABC是等腰三角形  2 一题多证 ［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形  证法一：欲证△ABC为等腰三角形 可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得a＝ ∴2bcosC＝ ，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC ∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）  ∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形  证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB， 又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即 又∵ ∴ 即tanB＝tanC ∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形  证法三：∵cosC＝ ∴ 化简后得b2＝c2 ∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形 