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导数导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用一．选择题 1．函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为（） A、f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2) 2．函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则 ( ) A.00 D.b0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为( ) A.(0,0) B.( ,p) C.( ) D.( ) 二．填空题 7．如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断: ①函数y=...

导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用一．选择题 1．函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为（） A、f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2) 2．函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则 ( ) A.00 D.b< 3．设是函数的导函数, 的图象如下左图,则的图象最有可能的是（） 4．若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（） A．若，则是函数的极值 B．若是函数的极值，则在处可导 C．函数至多有一个极大值和一个极小值 D．定义在R上的可导函数，若方程无实数解，则函数无极值 6. 已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为( ) A.(0,0) B.( ,p) C.( ) D.( ) 二．填空题 7．如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断: ①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增; ②函数y=f（x）在区间（－ ,3）内单调递减; ③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增; ④当x=2时,函数y=f（x）有极小值; ⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值. 则上述判断中正确的是_____________ 三．计算与

证明

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8．设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根. （1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2. 9．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1, （1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由. 导数在研究函数中的应用参考答案一．D A C C D D 2. 解析：（x）=3x2－3b，当b>0，0< <1时，适合题意. 答案：A 6.

分析

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:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的

方法

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求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解. 解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有 d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－ )2+(p－y)2. ∴(d2)′=2(p－ )(－ )+2(p－y)(－1)= －2p. 令(d2)′y=0,即－2p=0,解得y= p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得 . 所以点( )为所求的点. 答案:D 二．7．解析:当x∈（4,5）时,恒有f′（x）＞0. 答案:③ 三．8．分析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢? 解：（1）（x）=3x2+2mx+n. ∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数， ∴当x=0时，f（x）取到极大值. ∴ （0）=0.∴n=0. （2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－， ∵函数f（x）在［0，2］上是减函数， ∴x2=－ ≥2.∴m≤－3. ∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2. 评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之. 9．分析:考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值. （1）解:f′（x）=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点, ∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知又f（1）=－1,∴a+b+c=－1. ③ 由①②③解得a= ,b=0,c=－ . 解法二:由f′（1）=f′（－1）=0, 得3a+2b+c=0, ① 3a－2b+c=0. ② 又f（1）=－1,∴a+b+c=－1. ③ 由①②③解得a= ,b=0,c=－ . （2）解:f（x）= x3－ x,∴f′（x）= x2－ = （x－1）（x+1）. 当x＜－1或x＞1时,f′（x）＞0;当－1＜x＜1时，f′（x）＜0. ∴x=－1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.

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