五 频率分析响应

null第五章 频率分析响应第五章 频率分析响应 5.1 频率响应的概念 定义：线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。输入 r(t) = Arsinωt 则 ：nullnullΦ(jw) 为一复数，设其幅值|Φ(jw)| = A(w)，相角∠Φ(jw)=φ（ω） null输出信号与输入信号的幅值比输出信号与输入信号的相位差null2、频率响应特性: Φ(jω)例 设系统单位反馈控制系统的开环传递函数为：当系统作用有输入信号 r(t) = sin(t+300) 时，求系统的稳态输出。解：nullw = 1Ar = 1 null 3、频域性能指标以 w 为横坐标，以频率响应特性的A(w) 和φ（ω）为纵坐标，则可分别得到系统的 A(w) — w 幅频特性和— w 相频特性曲线null频带宽，峰值小，过渡过程性能好。null5.2 典型环节的频率特性1 频率特性的表示方法频率特性谱图，幅相频率特性(Nyquist)，对数频率特性(Bode)2 典型环节的频率特性谱图nullnullnull峰值 Am 、峰值频率 wmζ > 0.707 ，没有峰值，A(w) 单调衰减 ξ< 0.707 , Am > 1,wm >0 , 且 ξ↓， Am 、wm↑ ξ = 0 时，Am = ∞,wm → wn 。null3 典型环节的奈氏图（Nyquist)和伯德图(Bode)Nyquist图:频率响应特性 Φ(jw) 在复平面上为一复数矢量，则当 w = 0 →∞变化时，矢量的端点在复平面内形成的轨迹 nullBode图：利用对数坐标绘制系统的幅频和相频特性曲线，称为对数幅频和相频特性曲线1）对数幅频特性的纵坐标2）对数相频特性的纵坐标A 渐近线低频段：w << 1/30 时， 900w2 << 1 可忽略，于是null高频段：w >> 1/30 时，900w2 >>1 ，故1可忽略。B 转折频率 ws：两条渐近线相交处的频率，即C 穿越频率 wc：对数幅频特性与频率轴交点的频率，即 L(wc) = 0 null（1）比例环节null2 积分环节穿越频率 ：wc = 1null理想微分环节 G(s) = S ,G(jw) = jw穿越频率： wc = 1 null（3）惯性环节和一阶微分环节低频渐近线：w << 1/T 时， L(w) 为一条与横坐标重合 的直线。高频渐近线：当 w >> 1/T 时， L(w) = – 20lgwT nullnull高于或低于转折频率一个十倍频程处，即w = 10ws 或 w = ws/10 处， △=0.04db一阶微分环节null4、振荡环节和二阶微分环节nullnull5、延迟环节null5.3 开环频率特性的绘制及稳定性和稳定裕度1 奈氏图A 0型系统曲线始于实轴有限值处(K,j0)；I系统始于 -90o的无穷远处；II型系统始于-180o的无穷远处。nullB 大多数系统频率特性表达式的分母阶次高于分子， Nyquist 曲线终于原点， 而对于分母分子阶次相等的 系统，终于实轴的有限值处。C 加极点使系统相角滞后，加零点使系统相角超前nullD 令从-增长到0的 Nyquist曲线与从0 增长到+的Nyquist 曲线以实轴对称。nullnull2 映射定理nullnull3 奈氏判据null 奈氏判据：N=P（-∝<ω<∝),N=P/2（0<ω<∝）例 设控制系统的开环传递函数分别为 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性 nullnullnull穿越：当 w = 0 →∞变化时，Gk(jw)奈氏曲线穿过实轴（－∞，－1）区段。正穿越：由上半平面向下的穿越。 负穿越：由下半平面向上的穿越。1/2穿越：Gk(jw)奈氏曲线始于或止于实轴的（– ∞，–1）区段null判据：当 w = 0→∞变化时，Gk(jw) 的奈氏曲线在实轴的（– ∞，– 1）区段上正穿越次数减负穿越次数等于 P/2 时，系统闭环稳定。null3 含积分环节奈氏判据null以原点为圆心，以∞为半径，从正实轴开始顺时针向Gk(0)端作圆弧，则曲线即为闭合曲线 null例：已知：当τ> T 时，闭环稳定， 当 τ< T 时，闭环不稳定。解：null4 延迟环节奈氏图null5 开环对数幅频特性(Bode)图的绘制null例：试绘制其波德图。解：1 分解开环系统为若干典型动态环节传递函数相乘的形式null2、找出各环节的转折频率，并按由低到高的顺序标注在对数坐标系的横坐标上3、画出积分环节和放大计算放大环节的对数幅频特性渐近线。在横轴 w = 1 处，增益值L1(w) = 20lgK 20lg80 = 38db 。4、延长低频渐近线到第一个转折频率处得另一个新的起点，然后从此点起把该环节的斜率与后一环节的斜率相加又可得到一段渐近线，把这一段渐近线延长至第二个转折频率处又得一个起点。….不断重复上述过程直到所有转折频率。5、画出各环节的相频曲线，把它们相加就可得到系统的对数相频特性曲线。nullnullnull6 开环对数幅频特性(Bode)图稳定性判据（1）开环稳定的系统当开环系统是稳定的即 P = 0 ，则在 L(w) ≥0 的所有频率 w 值下，相角φ（ω）不超过-π线，则系统闭环稳定。例试用对数频率特性分析系统的稳定性，若开环增益增加5倍，将如何？nullnullws1 = 0.5 , ws2 = 1,ws3 = 10从幅频特性可知：null 求穿越频率 L(w) = 0相频特性：系统闭环稳定null开环增益增加 5 倍系统闭环不稳定。（2）开环不稳定系统如果系统在开环状态下的特征方程式有 P 个右根，则闭环系统稳定的充要条件是：在所有 L(w) ≥0 的频率范围内，相频特性曲线在-π线上的负穿越与正穿越次数之差为 P/2。nullL(w)P = 2wwnullL(w)P = 1wwnull7 稳定域度: 用于衡量闭环系统的稳定程度的指标（1）相稳定域度γ ： Gk(jw) 的奈氏曲线上模值等于 1 的矢量与负实轴的夹角系统稳定条件：γ>0nullnullnull（2）模稳定域度：在相位交介频率 wg 处(φ（wg ）=－π）的 –20lgA(wg) 值为模稳定域度 h = –20lgA(wg)nullnull例：已知系统开环传递函数K =10 ,T1 = 0.5 ,T2 = 1 分析系统的稳定性和相稳定域度解：系统由比例、两惯性环节组成，转折频率：ws1 = 1 ,ws2 = 2 null