椭圆

(1.1)(1.1) 椭圆积分 (Elliptic Integration) - 2 ? 西希安模拟软件（上海）有限公司，2009 工作环境：Maple 13 内容： 介绍 F, E, Pi 的定义 三角函数形式的椭圆积分 为什么要约简为范式 为什么要使用 RootOf 不定椭圆积分 其他相关函数 介绍 格式的积分， , , 是多项式 ，通常返回解析解。例如， 当 的次数是1或2，积分常常返回初等函数形式的解，例如对数、指数、三角函数、 或反三角函数。 注意：为了输出美观的积分，方程左边部分的积分使用了惰性格式。 但 y(x) 的次数为3或4时，这种积分通常称为椭圆积分（elliptic integral），只会在某些情 况下返回初等函数格式的解。在这些情况下，它们称为伪椭圆积分（pseudo- (1.2)(1.2) (1.4)(1.4) (1.3)(1.3) elliptic integrals）。 然而，在大部分情况下，椭圆积分返回结果的形式不是非初等函数，例如，Legendre椭圆 函数。与前一个例子小的差别给出： 椭圆积分出现在各种各样的应用中（一些在经典文件中由Byrd和Friedmann提到）。例 如，双曲线 中顶点到任意点 的弧由积分给出： (2.2)(2.2) (2.1)(2.1) (1.6)(1.6) (1.5)(1.5) (1.4)(1.4) (1.7)(1.7) 举例，当 和 时，顶点到点 的弧长： 也就是： 结果是以椭圆函数的形式给出。也可以求数值近似解： F, E, Pi 的定义 下面的方程显示Maple中Legendre F，E，Pi函数的定义。 (2.4)(2.4) (3.1)(3.1) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) 变量 的范围是 。对 ，您可以这些积分的完整形式。例如， 更多信息，参考帮助系统中的 EllipticE, EllipticF, EllipticK, 和 EllipticPi. 三角函数形式的椭圆积分 形式的积分是三角函数形式的椭圆积分，这 里 是关于 和 的有理多项式， 是关于 和 的次数为2的多项 式。双曲三角表达式（如上）相应的形式也存在。这样的积分也可以表示为Legendre椭圆 函数的形式，例如， R y (4.2)(4.2) (3.3)(3.3) (3.2)(3.2) (4.1)(4.1) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (3.4)(3.4) 和 这两个例子，您都可以求数值近似解： 为什么要约简为范式 由于在积分中可能存在极，椭圆积分常常难以用的数值积分求数值解。然而， AGM 方法可以对Legendre函数进行非常有效的数值求解。因此，将积分约简为范式可以 为数值求解提供方便。例如， (5.1)(5.1) (4.3)(4.3) (4.2)(4.2) (4.6)(4.6) (4.4)(4.4) (4.5)(4.5) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) 可以快速对输出求数值近似解： 当然，人们总是直接使用下面的方式求数值解： 当然，对于输出公式您可以使用相同的命令求更高精度的数值解： 同样也可以直接用 evalf 求近似解。但是，在这个例子中，数值积分器需要耗费比较长的 时间才能得到结果： 为什么要使用 RootOf (5.3)(5.3) (4.2)(4.2) (5.4)(5.4) (5.7)(5.7) (5.5)(5.5) (5.6)(5.6) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) 考虑积分问： 以及 将这个积分约简为Legendre范式的经典技术包含处理有理函数的极点，将有理函数转换为 部分分式，并约简每个“更小”的部分。 和 的极点可有下面求解得到： 所有的极点包含嵌套根式。在当前的小数位（Digits）的设置下，数值解为： 将 转换为一个完整的部分分式形式： (4.2)(4.2) (5.8)(5.8) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) (5.11)(5.11) (4.2)(4.2) (5.8)(5.8) (5.10)(5.10) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) (5.9)(5.9) 这又是一个包含复杂嵌套根式的表达式。Maple中的椭圆积分算法特别小心地尽可能避免 不必要的根式。首先使用一个在上个世纪由Hermite发现的经典约简技术，消除积分中的 重复极点，同时在约简过程中不会产生新的根式。因此，您可以获得： 此外，Maple中的椭圆积分算法尽可能地使用隐式根，而不是显式根。在使用Hermite约简 消除多个极点后，通过使用Maple中的对根求和函数将最终的答案约简到范式。因此，您 可以获得： 数值求解： (5.19)(5.19) (5.14)(5.14) (5.18)(5.18) (5.16)(5.16) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) (5.13)(5.13) (5.11)(5.11) (5.17)(5.17) (4.2)(4.2) (5.8)(5.8) (5.15)(5.15) (1.4)(1.4) (5.12)(5.12) 求更高小数位的积分数值解： 有些时候，人们将多项式的根表示为隐式形式。例如，使用alias获得一个更简单格式的答 案： (5.11)(5.11) (4.2)(4.2) (5.8)(5.8) (5.19)(5.19) (6.1)(6.1) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.20)(5.20) (5.2)(5.2) 0.09691069514 0.096910695142820439269099009374730407267346394794447 不定椭圆积分 在求定积分时，您也可以使用约简程序返回椭圆积分的封闭形式解。在这种情况下，没 有用包含介于（0，1) 的 k 的椭圆函数，而是用一个任意的复数。例如， 结果验证： (5.11)(5.11) (6.4)(6.4) (6.2)(6.2) (4.2)(4.2) (5.8)(5.8) (5.19)(5.19) (6.3)(6.3) (1.4)(1.4) (2.3)(2.3) (5.2)(5.2) 0 相似的，三角形式的椭圆积分： 结果验证： 0 其他相关函数 diff, EllipticE, EllipticF, EllipticK, EllipticPi, evalf, Int, simplify