作为数学教育任务的数学解题

第 9卷第 4期 数 学 教 育 学 报 Vol.9, No.4 2000 年 11月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Nov., 2000 收稿日期 2000 10 16 试论反思性数学学习 涂荣豹 南京师范大学数学系 江苏 南京 210097 摘要 提出了反思性数学学习的概念 探讨了反思性数学学习的意义和基本特征 并提出了反思 性数学学习的具体 关键词 反思 反思性数学学习 元认知 操作性数学学习 中图分类号 G423 文献标识码 D 文章编号 1004 9894 2000 04 0017 05 反思性数学学习 顾名思义就是通过对数学学习活动过程的反思来进行数学学习 这是一种有效的学习方式 反思 在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴 用元认知的理论来描述 反 思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程 以及活动过程中涉及的有关的事 物 材料 信息 思维 结果等 的学习特征的反向思考 由于赋予 反思 以元认知的涵义 因此反思就不仅仅是对数学学习一般性的回顾 或重复 而是深究数学活动中所涉及的知识 方法 思路 策略等 具有了较强的科学 研究的性质 反思的目的也不仅仅为了回顾过去 或培养元认知意识 更重要的是指向 未来的活动 尤其是今天 当我们以创造性意识和解决新问的能力 来作为衡量和评 价学生数学学习成绩优劣的主要标准时 更应该重视引导和激励学生在数学活动中进行 反思性学习 反思性数学学习可以说是针对操作性数学学习的 这两种学习形成鲜明对照 操作 性数学学习是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动 这种活动所依赖的是 那些通常并不清楚的经验和理解 进行的自动化的 直觉的操作活动 大多数学生在活 动中作出的决策是刺激-反应式的而非反思的 直觉的而非理性的 例行公事的而非主 动自觉的 反思性数学学习的基本特征是它的探究性 就是在考察自己活动的经历中探 究其中的问题和答案 重构自己的理解 激活个人的智慧 并在活动所涉及的各个方面 的相互作用下 产生超越已有信息以外的信息 反思性数学学习的优势是可以帮助学生 从例行公事的行为中解放出来 帮助他们学会数学学习 可以使学生的数学学习活动成 为有目标 有策略的主动行为 可以使学习成为探究性 研究性的活动 增强学生的能 力 提高个人的创造力 可以有利于学生在学习活动中获得个人体验 使他们变得更加 成熟 促进他们的全面发展 操作性数学学习是相对单一的学习 而反思性数学学习则是多维的学习 操作性数 18 数 学 教 育 学 报 第 9卷 学学习只要完成了学习任务就达到了学习的要求 而反思性数学学习不仅要完成学习任 务 而且使学生的理性思维得到提高 操作性数学学习是被动的 消极的 而反思性数 学学习是主动的 积极的 操作性数学学习以 学会知识 为目的 关注的是学习的直 接结果 即眼前的学习成绩 而反思性数学学习以 学会学习 为目的 既关注直接结 果又关注间接结果 即眼前的学习成绩和学生自身未来的发展 实际上 如果不能 学 会学习 就不能真正 学会知识 显而易见 操作性数学学习的含金量不高 而反思 性数学学习更具有启智价值 含金量高 但是目前数学教学中最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节 但它却是数学学习 活动的最重要的环节 由于数学对象的抽象性 数学活动的探索性 数学推理的严谨性 和数学语言的特殊性 决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数 学活动的本质 必须要经过多次地反复思考 深入研究 自我调整 即坚持反思性数学 学习 才可能洞察数学活动的本质特征 那么 反思性数学学习 要反思什么 即如何进行反思 1 要求学生对自己的思考过程进行反思 对自己的思考过程反思 就是在一个数学活动结束以后尽力去回忆自己从开始到结 束的每一步心理活动 一开始自己是怎么想的 走过哪些弯路 碰到哪些钉子 为什么 会走这些弯路 碰到这些钉子 有什么规律性的经验可以吸取 我的思考与老师或同学 的有什么不同 其中的差距是什么 其原因是什么 自己在一些思考的中途能否做某些 调节 为什么当时不能做出这些调节 自己在思考的过程中有没有做出过某种预测 这 些预测对自己的思考是否起到了作用 自己在预测和估计方面有没有带普遍性意义的东 西可以归纳 等等 千万不要小看对自己思考过程的反思 这是一种元认知能力的培养 这是一种学会 学习的能力的培养 是一种学习潜能的培养 是可持续发展的人的素质的培养 是数学 教学中素质教育的最重要体现 2 要求学生对活动所涉及的知识进行反思 在数学活动中总是要涉及一些业已获得的具体数学知识的 那么要反思自己对这些 所涉及的知识的认识是否达到了活动所要求的程度 这包括对知识理解的程度 对知识 本质属性把握的程度 这些知识与认知结构中相关方面建立联系的程度 对知识的各种 表达形式掌握的程度 通过亲身经历这一数学活动过程 自己对所涉及的知识是否有了 新的认识 有些什么新的认识 原有的认识有什么欠缺之处 这种欠缺是如何造成的 如果需要补救必须及时进行 就大多数学生而言 对某一个数学对象的认识 不是在一次数学活动中就能完成的 例如 就函数的概念而言 从一开始对定义学习中 不可能就其所蕴涵的东西建立 比较深刻的 完整的认识 比如 函数的定义域和值域所涉及的集合 可以是整数集 有理数集 实数集 可以是维空间的点集 可以是几何图形 可以是矩阵 可以是其它 函数 还可以是其它任何类型的事物 函数的对应方式 可以是一个统一的解析式 可 以是分段的表示 可以是列表的形式 可以是一个几何变换 可以是一系列的数值 可 以是一个迭代过程 可以是任何随意的结合 只要它们满足元素随处定义 单值定义的 第 4期 涂荣豹 试论反思性数学学习 19 准则就行了 但是要达到对函数关系本质属性的这种认识水平 不是在短时间内就可能 达到的 必然要经历一个长期的过程 事实上 每一次数学活动都可能提供对某一个数学对象提高认识水平的机会 由于 每一次活动的背景不尽相同 如果每次都能对不同背景下涉及的同一数学对象进行反 思 那么就可能产生许多新的认识 特别是 虽然同一数学对象的本质特征在不同的情 境下是不变的 但其表现出的非本质特征却不尽相同 如果在不同情境下把这个数学对 象的本质属性与其各种非本质属性加以比较 分析 归纳 就会大大提高对其本质属性 认识的深刻程度 久而久之其认识就会变得越来越深刻 越来越完善 更重要的是 与 情境联系在一起的认识 才是活的认识 才是能够迁移的认识 才是在新的问题情景下 能够加以运用的认识 才是真正有用的认识 反过来 放弃对活动中所涉及的知识的反思 那么对数学对象的认识就难免停留在 肤浅的 片面的 隐含着错误危险的水平上 3 要求学生对所涉及的思想方法进行反思 在数学学习中对数学思想方法的领会 掌握和运用十分重要 可以说是数学学习的 精髓之所在 但数学的思想方法没有独立的存在形式 在数学的各类教科上没有也很 难系统的讲述 往往蕴涵在具体内容的字里行间 或伴随在具体的数学活动的过程之 中 数学思想方法的传播和学习 主要靠教师在长期的教学中提示 归纳 点拨 更要 靠学生自己在长期的数学学习中领悟 吸收和运用 中学数学中蕴涵的思想方法主要有 转化的思想 等价的和不等价的 函数与方 程的思想 分类讨论的思想 数形结合的思想等 消元 降次 换元 配方 待定系数 数归法和反证法等 在数学活动中 总是要涉及数学思想方法的 因此反思的一个重要内容就是 要特 别注意发掘活动中涉及了哪些数学的思想方法 这些思想方法是如何运用的 运用的过 程中有什么特点 这样的思想方法是否在其它情况下运用过 现在的运用和过去的运用 有何联系 有何差异 是否有规律性的东西 有了这样的反思 对数学思想方法的认识 把握 运用的水平就会不断提高 4 要求学生对活动中有联系的问题进行反思 所谓对有联系的问题进行反思 是指在数学活动中必然要与一些已曾相识或似曾相 识的问题有所联系 因而在活动结束以后应对那些有过联系的问题进行反思 回顾整个 活动中曾经与哪些问题有过联系 在什么地方联系过 除此以外还可以与哪些问题联系 思考为什么会或可以产生联系 具体产生了什么联系 是问题的情景 知识 表述方式 图形等 有联系 是问题的方法 包括策略 数学思想等 有联系 还是问题的结论有 联系 是整个问题有联系 还是问题的某个局部有联系 所有这些联系之间能否概括出 某种规律或经验 经过这样的联系对原问题是否有新的认识 通过这种反思 力求使得 每一个数学活动都不是孤立无援的 从而起到举一反三 融会贯通的作用 5 要求学生对题意的理解过程进行反思 就学生的解题学习活动而言 理解题意 无疑是首先要学习的 很多学生找不到 解题途径的根本原因 正是 理解题意 这一环节存在问题 20 数 学 教 育 学 报 第 9卷 一般地说 在波利亚划分的数学解题的四个阶段中 最受重视的是 制定解题 其实就 学习 解题而言最重要的却应该是 理解题意 和 解题回顾 它们是最终 学会 制定解题计划 的前提和基础 往往从表面上看 学生不会解题是在 制定解题 计划 这一环节过不去 究其原因却是没有在 理解题意 和 解题回顾 两个环节上 下功夫的结果 在数学解题学习中 其实学生的主要任务并不是 解题 而是 学习 解题 因此教师教的重点和学生学的重点 不在于 解 而在于 学解 如何学习 理 解题意 除了直接从 理解题意 的过程中学以外 一个十分重要的途径是在 解题 回顾 中来学 也就是解题后的 反思 中来学 以信息论的观点 理解题意 就是从问题的情景中 如何获取信息 和 如何加 工信息 理解题意的第一步是从题意中 获取信息 获取信息的主要方法是检索信息 和搜索信息 检索就是分检 辨析 就是对众多的信息加以区分和辨认 搜索则是抽取 捕捉 就是抽取和捕捉闪烁于题设字里行间的不很明确的信息 在检索和搜索信息的过 程中 每一个名词符号都是信息 每一句语义都是信息 所涉及的各种对象之间的关系 也是信息 要真正弄清它们的意义 就要辨认哪些信息是自己熟悉的 哪些信息是自己 所知道但不很明了的 哪些信息是自己不明白的 尤其注意不要被信息的表面形式所迷 惑 对熟悉的信息要展开广泛的联想 不要遗漏信息的每一种含义 对不很明了或不明 白的信息 属于概念性知识性的 要重温课本 钻研教材 分析原因 属于问题本身新 出现的名词概念 要反复阅读问题 深入钻研问题的内容 从中发掘新名词概念的含义 加工信息 就是以发散性加工的方式或收敛性加工的方式解释 组织和转化信 息 数学问题一般都是以十分严谨而精炼的数学的语言表述的 因此 解释信息 就成 为理解题意的一项非常重要的工作 这首先是指要用自己的语言对问题重新描述 也就 是对问题用自己熟悉的方式重新编码 使得许多问题成分变为自己熟悉的信息 组织 信息 就是将获取的信息重新加以组合 常常是按照原来的信息组合并不能看出其中对 解题有价值的联系 而重新组合以后 一些有价值的联系就变得一目了然 转化信息 就是对信息进行变形 改造 因为题设中有的信息并不能直接用来解决问题 必须转化 成新的信息才能成为达到问题目标的有价值的信息 因此要求学生对自己最初理解题意的过程进行反思 实际就是在解题活动完成以 后 要求他们反过来对自己 获取信息 和 加工信息 的过程进行思考 一般的说 在需要高度自觉和紧张思维的有意义的活动中 比较容易获得较深刻的元认知体验 所 以尤其要对那些有过反复曲折过程的问题进行反思 要思考自己遗漏过什么信息 为什 么会遗漏 思考题意中的哪些信息是自己不很明了的 为什么会不明了 无论是被表面 形式所迷惑 还是遗忘了 都要对其原因追根究底 思考自己对题设的条件之间 条件 与目标之间有哪些关系没有发现 关系的转化是否有错误 是什么原因导致的 对题意 的理解自己存在什么其它的偏差 造成这种偏差的原因是什么 等等 重要的是要通过 这样的反思 使学生在理解题意方面学会寻找规律 积累更多的经验 6 对解题思路 推理的过程 运算的过程 语言的表述进行反思 这一内容的反思 目的在于追求对解题的思路 推理的过程 运算的过程 语言的 表述进行 优化和简缩 就是在完成了某一个数学活动以后对活动中的运算过程 推 第 4期 涂荣豹 试论反思性数学学习 21 理过程以及整个活动过程的思路进行反思 修改 简缩 从中归纳 总结出形成简缩的 思维结构的经验和规律 经过长期训练形成简缩的思维结构 逐步提高用简缩的思维结 构进行思考的能力 7 对数学活动的结果进行反思 这个方面 波利亚早已有十分精彩的论述 这里就不作赘述 反思性数学学习的形成要靠教师的示范 引导 但重要的是要学生自己学会反思 并在数学学习中自己自觉地进行反思 逐渐形成一种反思的意识和习惯 参考文献 [1] 郑毓信 梁贯成 认知科学 建构主义和数学教育[M] 南京 江苏教育出版社 1998 [2] 熊川武 反思性教学[M] 上海 华东师范大学出版社 1999 [3] 刘坤 常相舜 数学教学改革的实践与认识[M] 北京 北京教育出版社 1998 [4] 涂荣豹 数学建构主义学习的实质和主要特征[J] 数学教育学报 1999 4 [5] 波利亚 怎样解题[M] 北京 科学出版社 1984 [6] 克鲁捷茨基 中小学生数学能力心理学[M] 上海 上海教育出版社 1983 [7] D.A.格劳斯 数学教与学研究手册[M] 上海 上海教育出版社 1999 A Discussion on Reflective Mathematics Learning TU Rong-bao (Department of Mathematics, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China) Abstract: This article propounded the conception of the reflective mathematics learning and mapped out the meaning and property of its, moreover, the content of the reflective mathematics learning given. Key words: consider; consider and mathematics study; basic perceive; mathematics study handle