利用向量巧解中学数学题

高考地理十类综合题答题模式 利用向量巧解中学数学题 目 录 1. 前言……………………………………………………………………………2 2. 向量基本性质回顾……………………………………………………………3 3. 向量巧解空间几何中的问题…………………………………………………5 3.1向量巧解角的问题………………………………………………………5 3.1.1求异面直线a与b所成角θ………………………………………5 3.1.2求线面所成角θ……………………………………………………7 3.1.3求二面角的大小……………………………………………………8 3.2向量巧解距离问题………………………………………………………9 3.2.1求点到平面的距离…………………………………………………9 3.2.2求两异面直线的距离………………………………………………10 3.3向量巧解平行与垂直的问题……………………………………………11 3.3.1平行………………………………………………………………11 3.3.2垂直………………………………………………………………12 4. 向量巧解平面解析几何中的问题………………………………………………12 4.1平面几何……………………………………………………………………12 4.2解析几何……………………………………………………………………13 5. 向量巧解复数的问题……………………………………………………………14 6. 向量巧解三角函数的问题………………………………………………………15 7. 向量巧解其他代数问题…………………………………………………………16 7.1求最值……………………………………………………………………16 7.2求取值范围………………………………………………………………17 7.3解方程……………………………………………………………………17 7.4代数求值…………………………………………………………………17 7.5证明等式…………………………………………………………………17 7.6解不等式…………………………………………………………………18 7.7代数式……………………………………………………………………19 7.8数列………………………………………………………………………19 8. 结束语…………………………………………………………………………19 1.前 言 随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。 2.向量基本性质回顾 1.向量的概念 　既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。 2.向量的几何表示 　　具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作 。（AB是印刷体，书写体是上面加个→） 　　有向线段 的长度叫做向量的模，记作| |。 　　有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。 长度等于0的向量叫做零向量，记作 。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 3.相等向量与共线向量 　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量 、 平行，记作 // ，零向量与任意向量平行，即 // 。 任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。 4.向量的运算 　　4.1加法运算 　　 ＋ ＝ ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，指向终点） 　　已知两个从同一点O出发的两个向量 、 ，以 、 为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线 就是向量 、 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 ，有： ＋ ＝ ＋ ＝ 。 | ＋ |≤| |＋| |。 　　向量的加法满足所有的加法运算定律。 　　4.2减法运算 　　与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，－(－ )＝ ，零向量的相反向量仍然是零向量。 （1） ＋(－ )＝(－ )＋ ＝0 （2） － ＝ ＋(－ ) 　　4.3数乘运算 　　实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ ，|λ |＝|λ|| |，当λ> 0时，λ 的方向和 的方向相同，当λ< 0时，λ 的方向和 的方向相反，当λ= 0时，λ = 0。 设λ、μ是实数，那么： （1）(λμ) = λ(μ ) （2）(λ + μ) = λ + μ （3）λ( ± ) = λ ± λ （4）(－λ) =－(λ ) = λ(－ )。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 5.向量的数量积 　　已知两个非零向量 、 ，那么| || |cos θ叫做 与 的数量积或内积，记作 ，θ是 与 的夹角，| |cos θ（| |cos θ）叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 　　 的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cos θ的乘积。 　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 　　向量的数量积的性质 (1) =| | ≥0 (2) = (3) = = (4) = + (5) = ⇔ ⊥ 6.平面向量的基本定理 如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ、μ，使 = λ ＋μ 。 7.空间向量的基本性质 7.1共线向量定理 对空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， ∥ 的充要条件是存在实数λ，使 =λ 7.2共面向量定理 如果两个向量 ， 不共线，则向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 =x +y 7.3向量的数量积 = cos< , > 7.4数量积的性质 ⊥ = | | = 3.向量巧解空间几何中的问题 3.1向量巧解角的问题 3.1.1求异面直线a与b所成角θ 求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握如下公式： 向量 和 所成的角记为< , >，若 =（x ,y ,z ）, =(x ,y ,z ),则 cos< ， >= = =a， 所以直线AB和CD所成的角为arccos . 特别的，AB CD · =0 =0。 例1：如图1,三棱柱 AOB-A 0 B 中，平面 OBB O ⊥平面 AOB,∠0 OB＝60°，∠AOB=90°且 OB=OO =2，OA= ,求：(1)异面直线 A B与AO 所成角的大小；(2)略。 1：由条件可得 OA⊥0B，OA⊥0 0，再结合题干可知共点于 0的三条线段 OA、0B、00 的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以｛ , , }为基底来解决异面直线AB与A0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量 、 都表示成基向量 的形式。 图3.1.1 解:∵平面OBB O ⊥平面A0B，0A 平面A0B，平面OBB O ∩平面 A0B＝OB，且 OA⊥0B， ∴OA⊥平面OBB O ∴OA⊥00 ，即∠AOB＝90°，∠AOO ＝90°，因此,选择一组基向量｛ , , }，则 = - ， = - - ， ∴| |= = = ， 同理 | |= = ,又 设异面直线A B与AO 所成角为θ，则 ， 所以θ=arccos . 3.1.2求线面所成角θ 用向量求线面所成角的公式如下： 如图2，若 为平面 的一条法向量，直线AB与平面 所成角为 ，则sin = . 图3.1.2.1 例2：如图3，正方体ABCD-A B C D 中，E是C C的中点，（1）求BE与平面B BD所成角的余弦值；（2）求二面角B-B E-D的余弦值。 解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，则设正方体的棱长为2，则（1）因为B（2,2,0），B (2,2,2),E（0,2,1）,所以 =（-2，-2，0）， =(0,0,2), =（-2，0，1），设平面B BD的一个法向量是 =（x,y,z）,则由 , 得 ，所以 ，令y=1，则有 =（-1，1，0），所以cos< , >= = ，所以sin< , >= ， 即BE与平面B BD所成角的余弦值为 . （2）略. 3.1.3求二面角的大小 用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。公式如下： 如图，若平面 、 的法向量分别为 、 ,则 cos< ， >= =a， 结合图形判断，若二面角 为锐角，则 =arccos ； 若 为钝角，则 = - arccos . 例3：上题第（2）问 解：令 、 分别为平面B DE与平面B BE的法向量，则易知 =（1，1，-2）， =（-1，0，0）， 所以cos< ， >= ， 所以二面角B-B E-D的余弦值 . 3.2向量巧解距离问题 3.2.1求点到平面的距离 所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量．设 P为平面a外一点，则点P到面a的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P到平面a的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之．其公式为 ,其中 为单位法向量，PO 面 于点O，A∈ ， 为面 的斜线段向量．注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。 例4 ：如图，在正方体中，棱长为1，E、F分别为A B ，CD的中点，求点B到平面AEC F的距离。 简解：A（1，0，0），B（1，1，0），E（1， ，1），F（0， ，0）， =（0， ，1）， =（-1， ，1）。设平面AEC F的法向量为 =（x,y,z）,则 ， ，由 得 令y=2，得 =（1，2，1），则 =（ ， ，- ）,因为 =（0， ，1），故所求距离d= = 3.2.2求两异面直线的距离 我们先来看看空间向量在轴上的投影。设向量 ，那么它在 轴上的投影为 Prju = ，式中Prju表示向量在 轴上的投影． 从图7可以看出，为了作出 在 轴上的投影，可以过点A、B分别作与 轴垂直的两个平面、，那么点A、B在 轴上的射影分别为A’、B’，且点A’、B’必定在平面、上， 显然， 就是 在 轴上的投影．从另一方面看，线段A’B’就是异面直线A’A和B’B(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离．所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上投影的绝对值就是两异面直线间的距离． 因为 = ,所以Prju = ，于是有d= Prju ．式中d表示两异面直线间的距离。由于 // ，它们之间的距离处处相等，所以 轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，也就是说只要与公垂线方向向量共线即可。 例5：若上题中的已知条件不变，求异面直线EC 与 CB 的距离． 简解： =(-1, ,0), =(1,0,1), =(0, ,0),设 与 的法向量为 =(x,y,z),由 · =0且 · =0得 =（1，2，-1），故所求距离为 = . 3.3向量巧解平行与垂直的问题 3.3.1平行 无论是证明线线平行，还是线面平行，都对空间图形抽象思维有较高要求，用向量法的话，则显得简单、易于上手。若要证明AB和CD两条直线平行， =（x ,y ,z ）, =(x ,y ,z ),则只要证实数 = = = ；若要证MN与面ABC平行，则只要证明 能用 、 、 中任两个向量进行线性表示就可以了。 例6：如图8，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M,N分别在PA、BD上，且 = = (1)​ 求证：MN//平面PBC， (2)​ 求证：MN AD. 分析：（1）根据共面向量定理，只需证明 可以表示为 、 、 中任两个向量的线性组合，为此，必须选基底，再利用基底和三角形法则，找到上述向量之间的线性关系。取基底{ ， ， }，设 = ， = ， = ，则 = , = - , = - , ∴ = + = + -2 , ∴ = + = + = ( + + ),又 = , ∴ = - = ( + )= + , ∴ 与 、 共面, 又 平面PBC, ∴MN//平面PBC.（2）略. 3.3.2垂直 要证AB和CD互相垂直，只要证 · =0即可；而涉及到线面垂直的论证问题时，也可构造向量，并运用两向量垂直的充要条件去判断线线垂直，从而使线面垂直问题或证。 例7：上题第（2）问 解：只需证 . = = - , = ( + )( - )= ( - )= ( - )=0, ∴ ，MN AD. 4. 向量巧解平面解析几何中的问题 4.1平面几何 向量法与综合法、解析法，被认为是研究初等几何的三种主要方法，向量法在处理有关三角形“三线”(中线、角平分线、高)与“四心”(重心、垂心、内心、外心)等问题时有独到之处，另外 ，用向量知识处理平面几何问题时，可以避免去考虑几何中较复杂的关系。 例8： D是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 OP=OA+ ( + ), [0,+ ],则P的轨迹一定通过△ABC的( ). (A)外心 (B)内心 (c)重心 (D)垂心 解：设 =AB , =AC ，则AB 和AC 分别为AB和AC上的单位向量，所以 + 的方向为 BAC的角平分线AD的方向. 又 ∈[0，+∞], 所以 ( + )的方向与( + )的方向相同， 而OP=OA+ ( + ), 所以，点 P在AD上移动，P的轨迹通过△ABC的内心，故答案选(B). 点评：本题将向量加法的几何意义及轨迹问题有机地结合在一起，通过向量加法的几何意义来求解平面几何的问题。由于向量具有几何形式，利用向量的运算去解决平面几何问题，可以少引或不引辅助线(如证三角形三条高线交于一点)，使解题的思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。 4.2解析几何 由于向量可以通过坐标来表示，因此平面向量与解析几何之间有着天然的联系。如：平面直角坐标系内的两点间距离公式，对应于平面内相应向量的长度公式；分一条线段成定 比的分点的坐标 ，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；“两条直线平行的充要条件是其斜率相等”与“两个向量平行的充要条件是其对应坐标成比例”的说法没有本质的不同。因此 ，在有关解析几何的题目中，如果涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题时，常可考虑用平面向量来处理，将几何问题坐标化、符号化、数量化，利用向量运算的几何意义，省去解析几何中一些繁杂的运算，可以收到事半功倍的效果。 例9：椭圆 的焦点为F 、F ，点 P为椭圆上的动点 ，当 F PF 为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）. 解 ：F (- ，0)，F ( ，0)，设 P(x ，y )，则 =(- - x ，- y )， =( - x ，- y )， 因为 F PF 为钝角，所以 ，即(- - x )( - x )+ y <0， 即9 x +9 y <45， 又因为 即9 y =36-4x ， 于是可得5x <9，所以 . 点评：在解析几何中，一方面存在着度量、角度、平行、垂直等问题，这为向量的应用提供了广阔的空间；另一方面解析几何问题是用代数方法来处理的，这又符合了向量的双重身份，给向量的应用创造了良好的环境。 5. 向量巧解复数的问题 一方面，由于复数可以通过向量表示，另一方面，由于向量的坐标表示法与复数的代数形式在表达形式上非常相似，因此，向量与复数也有紧密的联系，在解题中，运用向量来解决复数问题也是常见的。 例10：设x,y∈R， ， 为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量 =x +(y+2) , =x +(y-2) ,且 =8, (I)求点 M(x，y)的轨迹 C的方程； (II)过点(O，3)作直线L与曲线C交于A、B两点，设 = + 是否存在这样的直线L，使得四边形OAPB是矩形? 若存在，求出直线 L的方程；若不存在，试说明理由。 略解：(I)由题意 ，得 =8，故点 M(x,y)到两个定点F (0,-2)、F （0，2）的矩离之和为 8，所以轨迹C为以F ，F 为焦点的椭圆，其方程为 。 (II)因为L过 Y轴上的点(O，3)，若直线L是y轴，则 A、B两点是椭圆的顶点。 又因为 = + = ，所以 P与 0重合，与四边形 OAPB是矩形矛盾， 因而，直线L的斜率存在，设L的方程为y=kx +3，A(x ,y )，B( ,y ). 由 消y得：（4+3k ）x +18kx-21=0 , 此时，△=(18k) -4(4+3k )(-21)>0恒成立，且x +x = ,x x =- ,又因为 = + ，所以四边形OAPB是平行四边形. 若存在直线L，使得四边形 OAPB是矩形，则 OA OB，即 = , 因为 =((x ,y ))， =(( ,y )，所以 = x x +y y =0， 即(1+k )x x +3k(x +x )+9=0，即 +9=0， 即k = ，得 k= . 所以存在直线l：y= +3，使得四边形OAPB是矩形. 点评：本题的第 1小题，其实质是将复数问题“已知复数z =-2i，z =2i，点 Z所对应的复数z满足 + =8， 求点Z的轨迹方程”以向量为背景给出，体现了复数与向量之间的联系。 6. 向量巧解三角函数的问题 利用单位圆研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线其实就是平面向量。由于用向量解决问题时常常是从建立向量三角形入手的，这就使向量在三角里有关解三角函数的问题中发挥了重要作用。首先，两个向量的模 ，引出了两点间的距离公式，其次深入到三角函数。 例11：已知向量 =（cos ,sin ）, =( - sin , cos ), ( ,2 ),且 ，求cos( + )的值. 解：因 + =（cos -sin + ，cos +sin ）， 故 = = = =2 ， 由已知 = ，得 = ，又 =2 ， 故 = ， 。而 ，cos , 故cos =- . 本题先运用向量坐标形式的和运算及模的定义，转化为三角赋值问题，脱去了向量的外壳后，实质是已知 = ， ，求cos 的值。由于向量具有代数和几何形式，在解决有关三角函数的问题时，从向量三角形入手，常使问题能简便明了获解。 7. 向量巧解其他代数问题 由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、地处理代数中的许多问题。 7.1求最值 例12：求函数y= (00,且ysinx+cosx=2, 设 =（cosx，sinx）， =（1，y）， 由 得 ，所以y ， 当且仅当 与 共线，即ycosx-sinx=0时等号成立， 此时 cosx=sinx，即cosx= ， 故当x= 时，y取得最小值 . 7.2求取值范围 根据向量的性质，当求取值范围时可适当建模，一般有 、 和 . 例13：若关于 的方程（m+1）sin +（2m-1）cos =3m有实数解，求实数解m的取值范围. 解：设 =（m+1,2m-1）, =(sin ,cos ),因为 ， 所以3m ， 所以3m ,即2m +m-1 0,解得-1 . 7.3解方程 7.3.1构造向量模型 由向量的基础知识可知， 的充要条件是 = 。在解无理方程(组)时，根据方程两边的特点，如果能构造向量 , ,使 ，那么可得 = ，从而使问题获解。 例14：解方程组x -y -z =11. 解：令 =（x,-y,-z）, =( , , ), 则 =x +y +z ， =(4- y )+(9- z )+(9- x )， =x -y -z =11， 所以 ，所以 = , 即 解得： . 7.3.2构造向量模型 由向量的基础知识可知， 的充要条件是 与 共线．在解无理方程(组)时，如果能构造向量 , ,使 成立，那么可得 与 共线，从而使问题获解。 例15：解方程 . 解：令 =（ ， ， ）， =（1，1，1）， 则 =6x-2y+17, =3, = ， 所以 ，所以 与 共线， 即 = = = （ 为常量）， 解得 . 7.4代数求值 例16：已知0< < ,0< < ,且cos -cos cos +sin sin +cos = ， 求 与 的值. 解：由已知可得： cos （1- cos ）+ sin sin = - cos ， 所以可构造向量 =（cos , sin )， =（1- cos ，sin ）， 由向量不等式 ，得 （cos - ） 0 cos = ， 又0< < ,所以 = ， 将 = 代入已知等式可求得 = . 评注：本题联系数量积公式 ，其中 =（x ,y ）, =(x ,y ),灵活构造向量，利用向量不等式 进行分析求解。 7.5证明等式 例17：设（a +b ）(m +n )=(am+bn),其中 0,求证： . 证明：设 =（a,b）, =(m,n),设 与 的夹角为 ， 则cos =( ) =( ) = ， 所以cos =1,即cos = ， 所以 =0或 = ，从而， // ,得 . 7.6解不等式 例18：已知实数x,y,z,满足x+y+z=1,求证：x +y +z . 证明：因为1=x+y+z= ， 所以可构造向量 =（x,y,z）, =(1,1,1),于是由向量不等式： ， 得1 . 7.7代数式 例19：任给8个非零实数 , , , , , , , ,证明下面六个数 + ， + ， + ， + ， + ， + 中至少有一个是非负的. 分析：以上六个代数式均与向量数量积的坐标运算公式相似，因而联想到设向量 =( , ), =( , ), =( , ), =( , ), 因为 = + = cos ， = + = cos ， = + = cos ， = + = cos ， = + = cos ， = + = cos ， 因上述六个数的符号恰与四个向量中每两个向量夹角的余弦同号，由于这四个向量中，至少有两个向量的最小夹角小于或等于 ，因而它的余弦值非负，故题设六个数中，至少有一个非负。 7.8数列, 例20：对自然数n，令 为 的最小值，其中 , ,…， 为正整数，其和为17，若存在唯一的n使 也为整数，求n. 分析：数列中，用向量来找出最小值，拓宽了思路，从 想到数列的通项是一个向量的模，然后数列求和变成了求向量模的和，再利用向量中“向量模的和不小于向量和的模”，即 公式，而得到数列求和的不等式，最后根据条件求出答案。 解： 可视为向量 的模， 故 = = + +…+ = = = = , 由题设条件，应用 =m （m ,且m ）它可化为（m-n ）（m+n ）=289， 所以 解得n=12. 8.结束语 向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一。向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，尤其在高等数学与解析几何中，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的。利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。向量联系代数与几何，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。向量很容易被处于高中文化水平之上的学生理解和接受，而且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与中学数学知识能够融汇贯通，相辅相承。一旦学生掌握了向量，使学生建立空间想象能力，不再是学习立体几何的最大阻力。很多立体几何中的问题在向量的这一工具的参与下摆脱了纯几何推理，转换成简单的向量代数推理。