03点，直线，平面的投影

nullnullnull§3-1 点的投影第三章 点、直线、平面的投影§3-2 直线投影§3-3 点、线的相对位置§3-4 一边平行于投影面的直角的投影§3-5 平面的投影§3-6 各种位置平面的投影特性§3-7 平面上的点和直线§3-8 平面的辅助投影null 空间几何体是由点、直线和平面构成的，如图3.1所示的三棱锥。既可看成由四个点所构成，又可看成由六条直线或四个平面所构成。因此，达几何体的三面投影，实际上就是画出构成几何体的点、直线和平面的投影。所以，点、直线、平面的投影是画图的基础。本章着重研究它们的投影规律和特点。 §3-1 点 的 投 影null四、点的辅助投影三 、两点的相对位置和重影点二、点在三面体系中的坐标和投影一、点在两面体系中的投影§3-1 点 的 投 影返回作 图 举 例例一例题二nullA点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a’a'aAaX点在两面体系中的投影返回nullA点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a' A点的侧面投影 ——a" 点在三面体系中的坐标和投影null1. a'az=aay=x a"az=aax=y a'ax=a"ay=z a'aa"XOZYWYHaxayazay2 a'aox a'a"oz投影规律返回投影图 null两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上两点的相对位置null 重影点及可见性 若空间两点位于某投影面的同一投射线上时 , 它们在该投影面上的投影便重合为一点 , 称为对该面的重影点。判别可见性返回( )( )null换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。 点的辅助投影a1’null点的投影变换规律 1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。 2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。a1’nulla1 变换H面null点的两次变换X2null（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。返回null例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影ZXOa'a"aYHYW返回b’’null例题2 已知A点在B点前方5毫米，上方9毫米，右方8毫米，求A点的投影。返回null三 、求一般位置线段的实长及对投影面的倾角二、各种位置直线的投影一、直线的投影§3-2 直 线 的 投 影返回null 直线由线上任意两点所确定，其投影由两点投影确定，直线与水平、正立、侧立投影面的夹角分别用希腊字母α、β、γ表示.一. 直线的投影返回null二. 各种位置直线的投影 1. 一般位置直线 1 a b=AB·cosα ;a’b’=AB·cosβ ; a’’ b’’=AB·cosγ 2 、a b、a’b’、a’’ b’’均倾斜于投影轴 3 、 不反映  、  、  实角投影特性：null二. 各种位置直线的投影 1. 一般位置直线 2. 投影面平行线平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线； 侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线；null二. 各种位置直线的投影 1. 一般位置直线 2. 投影面平行线垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直面。 铅垂线——垂直于H面而平行于Ｖ、Ｗ面的直线； 侧垂线——垂直于W面而平行于H、Ｙ面的直线。正垂线——垂直于Ｖ面而平行于H、W面的直线； 3. 投影面垂直线返回null水平线投影特性： 1、a'b'//OX， a"b"//OY 2、ab=AB 3、反映、 角的真实大小返回null正平线投影特性： 1、ab//OX ， a"b"//OZ。 2、a'b'=AB。 3、反映、角的真实大小。返回null侧平线投影特性：1、a'b'//OZ ， ab//OY。 2、a"b"=AB。 3 、反映 、 角的真实大小。返回null铅垂线投影特性：1、a b 积聚 成一点 2 、 a’ b’OX ; a’’ b’’  OY 3 、 a’ b’ = a’’ b’’ =AB返回null正垂线投影特性：1、a ’b’ 积聚 成一点 2 、 a b  OX ; a’’ b’’  OZ 3 、 a b = a’’ b’’ =AB返回b’ （a’）ynull侧垂线投影特性：1、a’’ b’’ 积聚 成一点 2 、 a b  OY ; a’ b’  OZ 3 、 a b = a’ b’ =AB返回（ b’’ ） a’’null 1. 直角三角形法| ZA-B |三. 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角求β角null 1. 直角三角形法| YA-B |三. 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角B0null        每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线段的投影及坐标差,如图例 题 null例１ α角的正确求法是（ ？ ）图b(a)(b)(c)null 例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角形法完成其正面投影。                  null 例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角形法完成其正面投影。                  b′作图：讨论有多解。①以ab为直角边作直角三角形，求出ΔZab②利用ΔZab求b′重作null例3 已知直线AB和BC对V面的倾角都是 30°，完成a’b’、b’c’ x0null： 已知ab、bc及β=30。，故应作出含β的直角三角形求解。例3 已知直线AB和BC对V面的倾角都是 30°，完成a’b’、b’c’ x  作图： ①利用ΔYab及β求a′b′②利用ΔYbc及β求b′c′△   讨论有多解。0重作ΔYabΔYabnull 1. 直角三角形法三. 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角 2. 辅助投影法 当直线平行投影面时，它在该投影面上的投影反映它的实长及与另外两投影面的夹角。 辅助投影法求实长及倾角实质就是将线段变换为某一投影面的平行线。null实长思考: 变换H面?X1∥aba1’ null例4 求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ， 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。 null例4 求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ， 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。 实长作图1. 换面求出AB的实长及γ2. 在a1’ b1’ 上截取e1’,使a1’ e1’=10,并由 e1’返回作出e1’’和e1’。重作null 例5 已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影null 例5 已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影作图1. 将AB变换为水平线(X1∥a’b’)2. 利用AB的实长及点的投影规律求出b13. 求出b讨 论另一解b1B?返回重作null§3-3 点、 直线的相对位置一、点与直线的相对位置1、点在直线上，它的各面投影必落在该直线的同面投影上。 2、空间点分线段的比例，等于投影图上点分线段投影的比例。 A C： C B = a c： c b = a’c’： c’b’ 例题1例题2投影规律null§3-3 点、 直线的相对位置一、点与直线的相对位置二、两直线的相对位置1、两直线平行2、两直线相交3、两直线交叉例题1例题2null两直线平行 , 它们的各面投影必相互平行返回null返回null 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 返回null例题1 已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2 : 1两段，求分点C的投影。1. 任作一直线并三等分2. 作相似形定出C点的水平投影c3. 求出C点的水正面投影c’null例题2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。null例题3 试判断直线AB、CD是否平行 一补画第三投影 , 判断是否平行ad’b’a’dcbc’d’’b’’a’’c’’方法二ab : cd不等于a’b’ : c’d’结论 : AB与CD不平行返回null例题4 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF (m’)af’OXe’fdecbc’(a’) b’d’分 析作图步骤（1）过m’作直线m’n’平行e’f’ , 且与c’d’交于n’(2) 由n’求得n过n作nm平行ef , 交ab于m , 直线MN即为所求。null例题5 判断两直线重影点的可见性null§3-4 一边平行于投影面的直角的投影： ⑴已知AB⊥AC , AB∥H ，则AB⊥Aa，则AB⊥平面AacC ; ⑵因ab∥AB，故ab⊥平面AacC，则ab⊥ac 。结论： 当直角的一边平行于投影面时 , 该投影面上的投影反映直角 ;反之 , 两直线之一平行于投影面且在该面两直线投影成直角 , 则两直线在空间的夹角也一定是直角。null例1.判断下列几组直线是否垂直：a( a )( e )( d )( c )( b )null ④ 连线完成作图 分析：作图： ② 由于B点在Z轴上，定出b、b′③ 根据对角线互相平分的特点，求出、d′、d ① 作出a′′c′′，过中点o′′作中垂线交OZ于b′′null§3-5 平面的表示法null§3-6 各种位置平面的投影特性平面可分为三类 : 投影面平行面 投影面垂直面 一般位置平面 平面与H面、V面、W面的夹角分别用希腊字母 α、β、γ表示。null一 投影面平行面平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。 投影特性： 1、 a’b’c’、 a’’b’’c’’积聚为一条线，且a’b’c’∥OX ; a’’b’’c’’∥OY 。 2 、 水平投影abc反映 ABC实形 null(1)正面投影反映实形; (2)水平投影积聚为一直线 , 且//OX ; 侧面投影积聚为一直线,且//OZ. (1) 侧面投影反映实形; (2)正面投影积聚为一直线且//OZ ; 水平投影积聚为一直线且//YH 。侧平面 (∥W)投影规律null二 投影面垂直面 垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平 面称为投影面垂直面。 铅垂面、正垂面、侧垂面。 （1）水平投影积聚为一直线,水平投影与X的夹角反映平面V面的夹角β,与 YH的夹角反映平面与侧面的夹角γ。 ( 2 )  正面投影、侧面投影不反映实形,但为其类似形。投影特性：null 1) 正面投影积聚为一直线与OX夹角反映α,与OZ夹角反映γ； （2） 水平投影和侧面投影不反映实形,但为其类似形。 正 垂 面 (⊥V) (1) 侧面投影积聚为一直线与OYw的夹角反映α，与OZ夹角反映γ； (2) 正面投影与水平投影不反映实形,但为其类似形。侧 垂 面 (⊥W)投影规律null三 一般位置平面 对三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一 般位置平面。 投影特性 1 、 △ abc、△abc、△abc 均为 ABC的类似形。 2 、 不反映 、、 的真实角度 。 null§3-7 平面上的点和线一、平面上的点 在给定平面取点，可直接取自该平面上的已知直线null二、平面上的直线 （1） 通过平面上两个已知点 ； （2） 通过平面上一点 ，且平行于平面上的另 一已知直线null例1. 试判断点K和直线MN是否在△ABC平面上XnmcbaOb’kk’n’m’c’a’null例2. 已知平面五边形ABCDE的正面投影和水平投影abc , 试完成五边形的水平投影。作 图(1) 连接a’c’ , b’d’相交于f’ ，求出f ; 再连bf并延长求得d ;(2) 作e’g’∥a’b’交b’c’于g’ ，求出g ; 再作ge∥ab并求出e ;(3) 连接cd、de、ea null三、平面上的投影面平行线 平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。有三类 : 面上水平线 、正平线、侧平线。PH面上的投影面平行线即具有投影面平行线的投影特性 , 又必须满足直线在平面上的条件null例题1: 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。mnnmnull例题2: 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。作 图(1) 作ABC距离V面10 的直线SR;(3) MN与SR的交点即为所求。(2) 作ABC距离H 面15 的直线MN;null§3-8 平面的辅助投影一、将一般位置平面变换为投影面垂直面 分 析 将平面内的投影面平行线变换成投影面垂直线后 , 平面即变为投影面垂直面。null作 图求α时 , 作从属于平面上的水平线求β时 , 作从属于平面上的正平线求γ时 , 作从属于平面上的侧平线null例题1 求点S到平面ABC的距离SK分 析作 图 (1) 将△ＡＢＣ变换成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1、ｃ1 、ｓ1 ; (2) 求出k1 ； (3) 求出s’k’和sk ；null例题2 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e’。null二、将投影面垂直面变换为投影面平行面 b1’b1’null例题1 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。作 图 (１) 将△ＡＢＣ变换成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1、ｃ1 、d1 ; (２) 将△ＡＢＣ变换成正平面 ;null例题2 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。