湖北省新高考2023届高三上学期期末联考数学试题及答案（含解析）

PAGE2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学试卷注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．已知集合，则A的子集共有（）个A．3B．4C．6D．72．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A．z的实部是B．z的虚部是C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．3．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场，歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部侧面积约为（）平方米A．B．C．D．4．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（）A．10B．20C．25D．506．已知，则（）A．B．C．D．7．已知函数，且（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．8．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件C．D．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A．乙同学体温的极差为B．甲同学体温的第三四分位数为C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定D．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等10．已知函数的部分图象如图，则（）A．函数解析式B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上的最小值为11．设圆，直线，P为l上的动点过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆O相交B．的取值范围为C．存在点P，使四边形为正方形D．当点P坐标为时，直线的方程为12．如图，棱长为2的正方体中，动点P满足．则以下结论正确的为（）A．，使直线面B．直线与面所成角的正弦值为C．，三棱锥体积为定值D．当时，三棱锥的外接球表面积为三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答）14．若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积___________．15．已知双曲线右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率___________．16．2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示。现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，己知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）己知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；，且边，（1）求的周长；（2）若角，求的面积．18．（本小题12分）己知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题12分）如图1，直角梯形中，，E为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中F为的中点，G为上一点，与交于点O，连接．（1）求证：平面；（2）若面，求平面与平面的夹角．20．（本小题12分）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．（1）求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；（3）随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t）1234567合格作品数（y）3434768其中合格作品数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式，，参考数据：）．21．（本小题12分）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．22．（本小题12分）已知函数．（1）若，求的极小值．（2）讨论函数的单调性；（3）当时，证明：有且只有2个零点．2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学答案一、单选题1-4BCAB5--8DACD二、多选题9．ABD10．CD11．BD12．ACD三、填空题13．2014．1615．16．【答案解析】1．B【解析】由题设，，∴A的子集共有个．2．C【解析】由题设，，．对A，z的实部是，故A错误；对B，z的虚部是，故B错误；对C，复数在复平面内对应的点在第一象限，故C正确；对D，，故D错误；3．A【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，母线长为2米，根据圆锥侧面积公式得．4．B【解析】“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．5．D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立．此时，6．A【解析】∵，∴7．C【解析】由函数为奇函数，有：，且：，结合函数为增函数有：，8．D【解析】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则有种，若①体育馆分1人：则有种，共有种，∴，同理，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，有种，∴，A错误；由互斥事件概念易知，B错误；，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则有种，若②体育馆分1人，则有种，共有种，∴，若事件A，C同时发生，则有种，∴，C错误；9．ABD【解析】对A：乙同学体温的最大值为，最小值为，故极差为，A正确；对B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，又，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即，B正确；对C：乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，故乙同学体温的平均数为：，故乙同学体温的方；又甲同学体温的平均数为：，故甲同学体温的方差；又，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C错误；对D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为，故D正确．10．CD【解析】由题图知：，函数的最小正周期满足，即，则，所以函数．将点代入解析式中可得，则，得，因为，所以，因为，故A错误；将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B错误；由，当时，，故C正确；当时，，所以，即，即最小值为，故D正确．11．BD【解析】对于A，直线与圆相离，A错误；对于B，设点，，即的取值范围为，故B正确；对于C，当四边形为正方形时，，又圆的圆心，半径，所以，设点，则，所以，化简得，该方程的判别式，该方程无解，所以不存在点P使得四边形为正方形，故C不正确；对于D，当点P坐标为时，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，两圆相减可得直线的方程为：，故D正确。12．ACD【解析】显然，存在满足，所以A项正确；以方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，则，故B项错误；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面，又P为线段上动点，所以P到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点P与重合时，，故C正确；当点P为中点时，，易得平面，又平面，所以平面，所以平面，即平面，所以，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为R，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确．13．20【解析】的展开式中第项为，令得：的系数为．14．16【解行】设的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为，所以，又，则15．【解析】因为双曲线的右焦点，设其左焦点为，因为，P，Q关于原点O对称，所以，由的面积为4，所以，得，又，所以．又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，所以，故离心率16．【解析】连接，交于点H，由题意得，设，则，，因为，所以，六棱锥的高．正六边形的面积，则六棱锥的体积．令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．此时，底面边长．四、解答题17．（1）（2）【解】（1）解：∵，∴由正弦定理可得，∴，∴三角形周长为．（2）解：由（1）知，由余弦定理得，解得，∴18．（1）（2）【解】（1），所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列．若选①：由，得，即，解得．所以，即数列的通项公式为．若选②：由成等比数列，得，解得，所以．若选③：因为，解得，所以．（2），则，则，，两式相减得：，故．19．（1）证明见解析（2）【解】（1）在直角梯形中，，由翻折的性质可得，翻折后，又，∴，则，故两两互相垂直，∴以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图示：则，∴，∴，即，又平面平面，∴平面．（2）由面，∴，∴，∴点G为的中点，∴在空间直角坐标系中，．∴，设平面的法向量为，则即令，则，故平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为∴平面与平面的夹角为．20．（1）（2），（3），14【解】（1）小李制作一次皮影合格的概率，小李进行3次制作，恰有一次合格作品的概率．（2）由题知：，则．（3）．，，，，，，所以回归直线方程为．当时，，所以第15天能制作14个合格作品．21．（1）；（2）证明见解析，．【解】（1）设，则，由，得，代入得，所以动点M的轨迹．（2）易得的斜率存在，设，，由联立可得：，①，，即②将①代入②得：，∴，所以，所以直线恒过定点．22．（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解】（1）当时，的定义域为，，所以在区间递减；在区间递增．所以当时，取得极小值．（2）的定义域为，．令，当时，恒成立，所以即在上递增．当时，在区间即递减；在区间即递增．（3）当时，，由（2）知，在上递增，，所以存在使得，即．在区间，递减；在区间递增．所以当时，取得极小值也即是最小值为，由于，所以．，，根据零点存在性定理可知在区间和，各有1个零点，所以有2个零点．