PAGE\*MERGEFORMAT#/5第四章级数第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列:,n是复数|}是有界或无界序列可以找到一个正数N,复数序列就是:z二a+ib,z二a+ibz二a+ib在这里111222nnnRez二a,Imz二b,—般简单记为{z}。按照{Iznnnnnn我们也称{z}为有界或无界序列。n设z0是一个复常数。如果任给£>0,使得当n>N时Iz—zI<£,n0那么我们说{zn}收敛或有极限z0,或者说{zn}是收敛序列,并且收敛于z°,记作limz=z。n0如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或者说它是发散序列。令z°=a+ib,其中a和b是实数。由不等式Ia—aI及Ib—bIN时,Zn在这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛,并且其极限是相应极限的和、差积、商。复数项级数就是z+z+・・・+z+...12n或记为n=1Zn,或zn,其中zn是复数。定义其部分和序列为:=z+z+・・・+z12n如果序列9n}收敛,那么我们说级数厶zn收敛;如果9」的VV极限是,那么说zn的和是,或者说zn收敛于,记作如果序列9nn=1}发散,那么我们说级数发散。注解1、对于一个复数序列{zn},我们可以作一个复数项级数如下z+(z—z)+(z—z)+・・・+(z—z)+・・・12132nn—1则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。厶zOs—N注解2、级数Zn收敛于的N定义可以叙述为:Vs>0,3N>0,使得当n>N时,有Iyz—O|0,可以找到一个正整数N,使得当n>N,p=1,2,3,…时,Iz+z+...+zI0,可以找到一个正整数N,使得当m及n>N,Iz一z匕nm对于复数项级数zn,我们也引入绝对收敛的概念:如果级z|+...+|z|+...2n|z|+|工z收敛,我们称级数n工z工a注解1、级数n绝对收敛必要与充分条件是:级数n工b及n绝对收敛:事实上,有工Ia及工kk=1绝对收敛。IbI