2015作业01_第一章静电场答案

第一章静电场1.已知真空中有三个点电荷11Cq，21Cq，34Cq，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(1,0,0)点，求(1,1,1)点的电场强度。答案：01171024πxyzeeeE2.在直角坐标系中电荷分布为(,,)xyz，试求电场强度E，其中0,0(,,)0,0xxyzx提示：本题用高斯定理0000,02(,,),02xxexExyzex3.已知某空间电场强度(2)xyzEyzxexzexye，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位分布。答案：可能；2xxyzC4.已知电场强度为45yzEee，试求点(0,0,0)与点(1,2,4)之间的电压。答案：-64V5.一点电荷q放在无界均匀介质中的一个球形空腔中心，设介质的介电常数为，空腔的半径为a，求空腔面的极化电荷面密度。答案：02()4πqa提示：介质中的电场可以看成是点电荷q及极化电荷在真空中产生的电场，即204πqEa，该电场也可用高斯定理直接求得24πqEa，上两式联立可求得6.高压同轴线的最佳尺寸设计：一个高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。内导体的半径a，其值可以自由选定，但有一最佳值。因为若a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过电介质的击穿场强。另一方面，由于E的最大值mE总是在内导体表面上，当a很小时，其表面的E必定很大。试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值？答案：22cmRaee；max1.48kVU提示：内导体表面场强最大0max2ln(/)UEaRa，由0=0Ua可求得a值和最大电压值。7.一个半径为6cm的导体球，要使得它在空气中带电且不放电，试求导体球所能带的最大电荷量及导体球表面电位。已知空气的击穿场强为6310V/m。答案：7max1210Cq；41810V8.一个半径为R介质球，介电常数为，球内的极化强度(/)rPKre，其中K为常数。试计算(1)束缚电荷体密度和面密度；(2)自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。提示，按定义来求束缚电荷体密度和面密度，注意要使用球坐标关系式。PKR，2PKr；自由电荷密度利用物性方程来求00DDEPEP；201()fKr102200()()()()rrKEerRrRKEerRr1000200ln()()()KKRrRrRKrRr9.从静电场基本性质出发，证明当电介质均匀时，极化电荷密度P存在的条件是自由电荷的体密度不为零，且有关系式0(1/)P。提示：利用物性方程。10.试证明不均匀电介质在没有自由电荷体密度时可能有极化电荷体密度，并导出极化电荷体密度P的表示式。提示：利用物性方程。11.半径为a的均匀带电球壳。如图所示，电荷面密度为常数，外包一层厚度为d，介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。答案：222200,(,,),,rrraaExyzearadraeradr12.两同心导体球壳半径分别为a与b，两导体之间介质的介电常数为，内、外导体球壳电位为U。求两导体球壳之间的电场强度和球壳面上的自由电荷面密度。答案：2111rUEerab；2111nrrararaUDEaab2111nrrbrbrbUDEbab13.有一分区均匀电介质电场，区域1(0z)中的相对介电常数为1r，区域2(0z)中的相对介电常数为2r。已知1201050xyzEeee，求1D，2E和2D。答案：因为是电介质电场，所以在分界面上没有自由电荷分布。110101020e10e50erxryrzD；220201020e10e50erxryrzD12220e10e50erxyzrE14.一个空气平行板电容器的板间距为d，极板面积为S，两板之间所加电压为0U。如果保持所加电源不变，使两板的间距扩大到10d。求下面每一个量变化的倍数：0U、C、E、D、Q、极板面电荷密度、电容器储存的能量eW。答案：0U不变，其余量均是原来的十分之一；ad015.面积为A，间距为d的平板电容器电压为U，介电常数为，厚度为t的介质板分别如图(a)、(b)所示的方式放置在导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷的分布。答案：(a)导体板之间介质的电场1()rUEtdt，其中0r导体板之间空气的电场2()rrUEtdt上、下导体表面上的电荷面密度为()rUtdt(b)导体板之间的电场为UEd上、下导体板与空气界面上的电荷面密度为10Ud上、下导体板与介质界面上的电荷面密度为2Ud16.已知空气中，某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表达式为()(/)ebrrar(a，b均为常数)，单位V，求体电荷密度。提示：20，球坐标，20ebrabr17.写出下列静电场的边值问题：(1)电荷体密度分别为1和2，半径分别为a与b的双层同心带电球体，如图(a)所示；(2)在两同心导体球壳间，左半部和右半部分别填充介电常数为1与2的均匀介质，内球壳带总电荷量为Q，外球壳接地，如图(b)所示；(3)半径分别为a与b的无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长UtddU(b)(a)度的电量为，外圆柱面导体接地，如图(c)所示。ab12ab12Qabrz(a)(b)(c)答案(1)边值问题如下：2110222023122331200320010(0)()0()()()()()()0()rararbrbrrararbrbrraarbrbrrrrrrrrrr有界(2)边值问题如下：211222121212120(,)0(,)()()0()dd=rbrbarbarbrrSSQrr左侧右侧介质内介质内在介质分界面上或者，由于12，故可简化为：2120()0drbSarbQSr(3)边值问题如下：200()02baaba18.静电场边值问题中，第一类齐次边界条件处电场强度的方向与边界成什么关系？答：第一类齐次边界条件0S，说明此边界面为等位面，沿边界面的切线无电势改变，所以t0E，即电场强度与边界法线方向一致。19.静电场边值问题中，第二类齐次边界条件处电场强度的方向与边界成什么关系？答：第二类齐次边界条件0Sn，所以n0En，即电场强度与边界切线方向一致。20.两个点电荷分别位于两种介质中，两种介质的分界面为无限大平面，介电常数分别为10和202，点电荷1q与2q相对于界面为镜像位置，相距为2h。求(1)点电荷1q与边界距离一半处的电位；(2)1q所受的力。提示：镜像+叠加。12149Aqqh；211221248qqqFh根据叠加定理和镜像法，让1q与2q分别单独作用。当1q单独作用时，其镜像电荷1q为121111213qqq11100081318π4π4π22qqqhhh当2q单独作用时，其镜像电荷2q为122212223qqq1200233942qqhh1204=9qqh21.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为1，2，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。答案：124π111111QCUaccb22.若将某对称的三芯电缆中三个导体相联，测得导体与铅皮间的电容为0.051F，若将电缆中的两导体与铅皮相联，它们与另一导体间的电容为0.037F，求：(1)电缆的各部分电容；(2)每一相的工作电容；(3)若在导体1、2之间加直流电压100V，求导体每单位长度的电荷量。答案：1020300.017FCCC，1323120.01FCCC；每相工作电容0.047FC；012.35C2qCU23.图中所示为静电场情况下电介质分界面上某种矢量的场图，已知界面上没有自由面电荷，试根据电介质分界面的衔接条件，判断图中对应的矢量是电场强度和电位移矢量中的哪一个，并判断两种电介质介电常数的相对大小。答案：电位移矢量，21123铅皮12