宜宾市2020级理科一诊数学试题及答案

PAGE一诊数学（理科）试题第PAGE\*MERGEFORMAT1页（共NUMPAGES\*MERGEFORMAT4页）宜宾市2020级高三第一次诊断性试题数学（理工类）：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的.1．已知集合，，则集合的元素个数为　　A．B．C．D．2．若复数z满足，则的虚部是　　A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数，则的大致图象是　A．B．C．D．5．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是A．B．C．D．6．在中，若，则　A．B．C．D．7．已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则A．B．C．D．8．“四书”“五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为A．B．　C．　　　　D．9．已知，当取最大值时，则的值为A．B．C．D．10．南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：，则数列的前项和为A．B．C．D．11．已知定义在上的奇函数满足，，则A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．12．已知，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若满足约束条件则的最大值为________.14．在的展开式中，常数项为_________．（用数字作答）15．已知函数，方程在区间有且仅有四个根，则正数的取值范围是．16．关于的不等式的解集为，则的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17．（12分）年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；不受影响受影响合计A区B区合计(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写右面2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：18.（12分）　　已知正项数列满足，.(1)计算，，猜想的通项公式并加以证明；(2)若，求数列的前项和.19.（12分）　　的内角，，所对边分别为,,,已知，.(1)若，求的周长;(2)若边的中点为，求中线的最大值.20．（12分）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，(i)试证明数列为等比数列；(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．21．（12分）已知函数（）.(1)，求证：;(2)证明：.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程　　在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．　　(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；　　(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．23.（10分）选修4-5：不等式选讲　　已知函数．　　(1)当时，解不等式；(2)当函数的最小值为时，求的最大值．宜宾市2020级高三第一次诊断性试题（参考答案）数学（理工类）注意：一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案ＣＢＡＡＣＢＣＣＢＡＣD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.；14.；15.；16.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（1）供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为2分4分不受影响受影响合计区7310区4610合计11920（2）2×2列联表6分10分没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.12分18.解：（1）当时，；当时，；2分猜想.4分证明如下：当时，成立；假设时，成立；那么时，也成立.则对任意的，都有成立.6分（2），8分12分19.解：（1），，，所以,,2分，4分，，.6分（2），，，，，，8分，,当且仅当时，等号成立.，.12分20.（1）；；；4分所以X的分布列为0125分所以；6分(2)（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，于是有，即，数列是首项为，公比为的等比数列9分（ii），所以，11分当时，，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.12分21.解：（1）先证，令，，所以在上单调递增，所以，即.2分再证，令，，，在单调递增，，即.4分（2），，6分要证，只需证，，，7分要证，即证令，，在上单调递增，，，所以在区间上存在零点且在上单调递减，上单调递增，10分而，所以所以，得证12分22.解：（1）由得．代入，得的普通方程为，3分的极坐标方程为化简得：5分（2）l的参数方程为（t为参数，t∈R），代入，得到，7分∴，，．∴成等差数列10分23.解：（1）由，得或或3分即或或的解集为，5分（2）　　当时取等号，7分由柯西不等式得　　　　　　　当，即时取等号．∴的最大值为．10分