基于协方差矩阵的 s-参数测量不确定度分析方法及应用

基于协方差矩阵的 s-参数测量不确定度分析及应用 国内图书分类号:TN98 学校代码:10213 密级:公开 国际图书分类号:621.3 工学硕士学位论文 基于协方差矩阵的 S-参数测量不确定度 分析方法及应用 硕 士 研 究 生:佟玲 导 师:吴芝路 教授 申 请 学 位:工学硕士 学 科:信息与通信工程 所 在 单 位:电子与信息工程学院 答 辩 日 期:2012 年 7 月 授予学位单位:哈尔滨工业大学 Classified Index: TN98 U.D.C: 621.3 Dissertation for the Master Degree in Engineering COVARIANCE-MATRIX-BASED UNCERTAINTY PROPAGATION ANALYSIS FOR S-PARAMETER MEASUREMENTS AND APPLICATION Candidate: Tong Ling Supervisor: Prof. Wu Zhilu Academic Degree Applied for: Master of Engineering Information and Communication Speciality: Engineering School of Electronics and Affiliation: Information Engineering July, 2012 Date of Defence: Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 摘 要 现代无线通信技术的迅速发展，对高频、微波信号的各种参数表征测量 使得矢量网络分析仪 (VNA)得到了广泛的应用。作为网络参数测量的直接有 效的测量仪器， VNA 的测量不确定度分析有着其自身意义。迄今为止，许 多微波物理参数 (例如功率、时域电压或电流波形 )都是由散射参数 (S-参数 ) 导出的物理量，而大多数 VNA 的测量不确定度传播分析仅仅局限于 S-参数 测量值本身，对 S-参数测量不确定度如何传递到这些物理量上没有进行分 析。在这样的情况下，探索一种基于 VNA 测量不确定度进一步传播到其他 物理量的分析方法是一个亟需解决的研究热点。 本文在考察有关研究成果的基础上，提出了基于协方差矩阵的 S-参数 测 量 不 确 定 度 分 析 方 法 。 首 先 详 细 地 介 绍 了 S-参 数 测 量 平 台 构 成 ， 根 据 VNA 原理分析了 VNA 测量不确定度来源，主要由系统和随机效应产生，而 校准标准件是系统效应导致的不确定度的最终来源。其次，本文根据 VNA 的校准提出了 VNA 测量不确定度传播流程，并且对传播公式进行了推 导，得到一般表达式。最后，本文通过两种仪器的定标过程——微波功率计 校准和宽带谐波相位参考定标，针对其利用 VNA 测量反射系数进行矢量修 正、参数计算的特点分析了定标过程中测量不确定度进一步传播的问题，并 采用 Monte Carlo 仿真对所提出方法进行了验证。 对微波仪器的测量不确定分析是一件困难的工作，因为仪器的不确定度 来源多种多样，本文中所描述的系统导致的不确定度只是其中的一种，另外 还包括实验过程中的温度、湿度等环境变化对器件的影响等。 关键词:协方差矩阵; S-参数; VNA;校准;不确定度 - I- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 Abstract Along with the rapid development of modern wireless communication technology, vector network analyzer (VNA), which is used to characterize various parameters of high frequency and microwave signals, has been widely utilized. As an effective and directive measurement instrument for network parameters, the VNA measurement uncertainty analysis has its own significance. So far, many microwave physical parameters, such as power, time-domain voltage or current waveform which are determined by S-parameters. While most of the VNA uncertainty propagation analysis is focus on the value of S- parameter itself, and the method of S-parameter uncertainty propagate to the physical parameters has not been analyze. In this case, it is inevitable to explore an effective method on the further propagation of VNA uncertainty. This thesis does some research on relevant studies and puts forward the VNA S-parameter measurement uncertainty analysis principle based on the covariance matrix. Firstly, this thesis introduces S-parameter measurement platform in detail and VNA measurement uncertainty sources, which mainly due to the systematic and random effects. The ultimate source of the uncertainty caused by systematic effects is the calibration standards. Secondly, VNA measurement uncertainty propagation process has been given according to the VNA calibration process, and the general expression formulas of the VNA measurement uncertainty propagation have been derived. Finally, the thesis chooses calibration process of two instruments, which are the microwave power meter calibration and broadband harmonic phase reference calibration, to analyze the further propagation of the uncertainty. It is according to the characteristics of vector correction and parameter calculation that based on the reflection coefficient measured by VNA. Monte Carlo simulation has been also used to verify the proposed method. It is a difficult task to analyze the uncertainty of microwave instrument, the uncertainty described in this thesis is just one of the sources of uncertainty. There are other sources like temperature, humidity and other environmental changes on devices. Keywords: Covariance matrix, S-parameters, VNA, calibration, uncertainty - II- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 目 录 摘 要 .............................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................... II 第 1 章 绪 论 ................................................................................................1 1.1 引言 ....................................................................................................... 1 1.2 课题的目的和意义 ................................................................................ 2 1.3 不确定度传播理论发展现状 ................................................................. 3 1.3.1 不确定度的相关概念 ...................................................................... 4 1.3.2 不确定度传播理论 .......................................................................... 5 1.3.3 Monte Carlo方法分析不确定度 ....................................................... 6 1.4 VNA测量 S-参数不确定度研究现状 ....................................................... 7 1.5 本文的主要研究和结构 ................................................................. 8 第 2 章 矢量网络分析测量理论 .................................................................... 10 2.1 VNA简介 .............................................................................................. 10 2.2 VNA的校准 .......................................................................................... 12 2.2.1 单端口校准 ................................................................................... 12 2.2.2 双端口校准—— 7 项误差模型 ...................................................... 14 2.2.3 双端口校准—— 10 项 /12 项 /15 项误差模型 ................................. 15 2.3 VNA测量不确定度来源和传播 ............................................................ 17 2.4 本章小结 ............................................................................................. 20 第 3 章 基于协方差矩阵的 VNA测量 S-参数不确定度分析 ........................... 21 3.1 传统 S-参数不确定度分析研究 ............................................................ 21 3.2 基于协方差矩阵的相关变量不确定度分析 ......................................... 22 3.2.1 基于协方差矩阵的不确定度分析方法 .......................................... 22 3.2.2 基于协方差矩阵的多元变量处理方法 .......................................... 24 3.3 VNA测量 S-参数不确定度分析方法 ..................................................... 25 3.3.1 VNA校准件不确定度 .................................................................... 25 3.3.2 VNA误差模型系数的不确定度 ..................................................... 26 - III- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 3.3.3 VNA测量 S-参数的不确定度 .......................................................... 29 3.4 反射系数 (S 11)的测量不确定度 ............................................................ 30 3.5 本章小结 ............................................................................................. 32 第 4 章 S-参数不确定度分析在实际中的应用 .............................................. 33 4.1 功率计校准不确定度 ........................................................................... 33 4.1.1 功率计校准理论 ........................................................................... 33 4.1.2 功率计校准的不确定度传播 ......................................................... 35 4.1.3 实验结果与 Monte Carlo仿真 ........................................................ 37 4.2 宽带谐波相位参考定标不确定度 ........................................................ 39 4.2.1 宽带谐波相位参考 ........................................................................ 39 4.2.2 相位参考定标的不确定度传播 ..................................................... 41 4.2.3 实验结果与 Monte Carlo仿真 ........................................................ 43 4.3 本章小结 ............................................................................................. 46 结 论 ............................................................................................................ 47 参考文献 ........................................................................................................ 48 攻读硕士学位期间发表的学术论文 .............................................................. 52 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 ................................................... 53 哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 ................................................... 53 致 谢 ............................................................................................................ 54 - IV- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 论 第1章 绪 1.1 引言 无线通信技术的高速发展在很大程度上改变了人们的生活方式，对于通 信电子行业的需求几乎存在于任何一个领域中，不仅包括通信信号处理、通 信电子模块设计，也包含对电信号的测试计量。在科研、生产、工程和工业 应用等多个领域里，电子测量都扮演着重要的角色。并且随着无线测量领域 涉及到的物理量的增多，其领域不断扩大，且测量的对象也随之进行了丰富 的扩展，产生出了时域、频域和调制域这三个不同的概念划分，同时也出现 了一些新的测量参量。但电子测量的主要测量对象仍然是基础参量，例如， 阻抗、电压、频谱、功率等等，为了保证电子应用的准确度和精确度，必须 提高基础参量的测量准确度。 电路 (网络)分析是射频工程领域中较为常见的测量任务之一。其中作为 无线电信号表示参数测量和计量所使用的测量仪器—— 矢量网络分析仪 (VNA, Vector Network Analyzer)得到了广泛的应用。射频信号表征所需要的 频率、功率和阻抗这 3 个要素在确定的过程中都会应用到 VNA。VNA 不仅 能够对简单的器件如滤波器、放大器等进行网络分析，而且也能对复杂模块 进行分析。在射频工程领域中，网络分析仪是最复杂并且具有多方面用途的 测试设备:它既可以用在研发过程中又可以用于生产测试。 20 世纪 50-70 年代，利用 VNA 测量网络某一端口反射系数(S-参数)的测试方法逐渐发展 起来，S-参数小信号分析理论的快速发展并成功地应用于射频领域，较好地 描述了小信号激励下的射频器件的行为特征。 在记录或应用测量结果时，必须要得知测量结果的质量，最直观和易于 应用的方法就是对其作出定量的说明，以此来确定测量结果的可信任程度 [1] 。随着人们要求的逐步提升，高新技术的不断演进，人们对射频信号各种 参数表征的准确性和精确性上提出了更高的要求，所以对射频信号的测量结 果的可信任程度或准确度分析也显得尤为重要。 对测量结果的质量评定，过去长期用“误差”来表示，不过由于误差的 表达是测量值与实际真值的差别，而“真值”是理想上的一个概念，不能够 实际确实得到，故而在实际应用中产生了定量的困难。那么如何才能定量的 -1- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 评定测量结果的质量,事实上，学术届早在 20 世纪 60 年代就出现了“不确 定度”的概念用来评定测量结果。但是由于不同国家、不同科学领域对测量 结果的不确定度的评定方法和表达形式不一致，造成了许多争议和混乱。为 了解决这些分歧，使不确定度表示和估计在国际上达到统一标准，于 1993 年，由国际标准化组织 (ISO)为首的囊括计量、电工、化学、物理领域等 7 个权威国际组织联合发布了《测量不确定度表示指南》(GUM)。我国为了与 国际化要求和发展保持同步，于 1999 年发布并实施我国的不确定度表示指 南——JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》 [2]。又因为不确定度是一 个概率上的概念，所以 Monte Carlo 方法作为一个应用概率分布进行概率分 布估计的方法，也在 2008 年，正式作为 GUM 的补充指南发布。 1.2 课题的目的和意义 在现代无线通信领域，通过电子系统或传输线能量传输特性来描述射频 信号，其最直接的手段莫过于采用精细的时域波形采样。因此，基于时域测 量的示波器系列仪器凭借直观的测量结果得到了广泛的应用。对于低频信号 (DC 到几个 GHz)的测量，实时采样示波器(real-time sampling oscilloscope)是 目前主要的测量设备。随着磷化铟工艺的成熟，2010 年 Agilent 公司最新产 品的模拟带宽从之前最高十几个 GHz 提升到了 32GHz[3]。而对几十个 GHz 的宽带周期信号，等效采样示波器 (equivalent-time sampling oscilloscope)是 近 20 年的重要测量手段。同时，欧美计量领域专家对带宽的追求，还造就 了庞大的时域光电采样(EOS，Electro-Optic Sampling)系统 [4,5]，把可精确测 量的时域信号带宽推到了 110GHz 以上。 对于工程系统来说，都是在稳定的周期信号激励下工作的。因此，从频 域角度出发对信号进行测量具有和时域测量几乎相同的实际意义，进而诞生 出一系列频域测量仪器，如:频谱分析仪、矢量网络分析仪等。这些仪器并 不对时域波形进行直接采集，而是通过混频器将射频谱线下变频到中频 (几 Hz 到几 MHz)进行测量，间接获得射频频谱。VNA 的普及应用使得对射频 信号的表达在很大程度上满足了科研和工程需求，对 VNA 测量结果的要求 也随之变得越来越精准。 在无线电技术中，对于发射装置的输出功率大小和接收装置的灵敏度经 常作为衡量装置性能的技术指标给出，为了确定这一技术指标就需要计量各 种电平本身或是功率。计量这些电子参量常用到微波功率计、采样示波器、 功率放大器等仪器器件，它们是电子测量实验中的经常应用到的仪器，可以 -2- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 有效地对信号的参量进行表征。对于任何一个测量器件或标准，使用前都要 进行校准或定标。校准往往是利用实验室中现有的上一级的基准仪器 (如校 准好的功率计、VNA 等)对要使用的仪器进行校准或矢量修正。 以功率量值的传递为例，其传递过程比较复杂，从国家功率基准需要经 过多个环节才能传递到最终使用的功率仪器 [6]。而在校准或修正的过程中， VNA 是必不可少的测量工具。对 VNA 测量结果的不确定度分析的研究是 必要的。 目前，大多数 VNA 的不确定传播分析仅局限于 VNA 测量值——S-参 数本身的估计，而不是提供一种系统有效的方法来解决不确定度进一步传播 的问题 [7]。所以，S-参数之间重要的相关信息总被忽略，导致在计算后续不 确定度传播 (由 S-参数导出的其它更为关心的物理量 )时丢失一些重要信息 [8] 。而这些信息在后续对功率计校准、宽带谐波相位参考修正过程中有重要 作用，尤其对非线性研究的深入 [9,10]，参数间的相关信息不可忽略。 例如在利用微波功率计测量描述某一射频信号时，该信号可能具有多个 谐波分量，即具有多种频率。这多个频率点测量值之间势必具有相关性，因 此在分析时就需要考虑微波功率计的不同频率点之间测量值不确定度具有的 相关性。同时， VNA 测量结果是复数量，包括实部和虚部 (也可化为幅度 和相位 )，分析时同样要考虑实部与虚部间的相关性。在测量过程中由于传 统 VNA 的测量结果不确定度的分析只关心 S-参数各自的不确定度(方差)， 而不是将利用同一台 VNA 测量的多个变量看做一个整体，传统经典的不确 定度分析中不得不将各 S-参数当做独立的不确定度来源处理。 然而根据 VNA 校准原理，所有的有效测量值均通过误差模型系数修正 得到，后者的不确定度可以追溯到相同的校准件机械加工误差 [11]。所以利 用同一台 VNA 测量得到的 S-参数的结果，无论是不同频点、不同参数还是 针对不同器件，都应该是具有高度相关性的。因此，将其作为相互独立的不 确定度来源对待则不符合 ISO 组织 1993 年发布的有关“相关变量不确定度 分析”原则 [12]，这使得经典的 VNA 测量结果的不确定度分析方法应及时得 到修正。此外，随着非线性矢量测量技术的逐渐成熟，未来多频点测量将得 到普遍应用，所以必须提出有效的 VNA S-参数测量不确定分析方法，使之 符合新的国际标准。 1.3 不确定度传播理论发展现状 不确定度概念的本质意义和物理中一个著名原理是一致的，该原理即物 -3- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 理学家海森堡在 1927 年提出的不确定关系(也称“测不准原理”)。简单来 说，海森堡的不确定关系是指在量子级别上，不能忽略测量仪器与被测的粒 子之间的相互作用，这个相互作用致使人们在显示中不能同时测量出物质的 位置和动量。 测不准原理可表示为: h 2 , x ,,2 p , 2(1-1) 16 式(1-1)说明，就一个微观粒子而言，其位置 x 和动量 p 这两个物理量， 同时具有确定的数值的可能性为 0，其中一个量值越接近它的平均值，则另 一个量离平均值越远。这是最早的关于“不确定度”的概念 [13]。 1963 年，美国数理统计专家埃森哈特提出了“不确定度”的概念用于 仪器校准系统的精密度和准确度估计，但其含义并不清晰。 1970 年以后， 用“不确定度”评定测量结果被各国计量专家采纳。但是评定方法的差异， 评定结果也就不同。 1980 年，国际计量局根据各国意见给出了实验室不确 ，随后在 1986 年得到批准。同年国际上成立了不确定度 定度建议书 INC-1 工作组，经过 8 年研究，于 1993 年公布了文件《测量不确定度表示指南》， 1995 年又做了修订。不确定度的表示应用的规范性必将对促进国际间交流 合作、推动科学技术的进步产生深远影响。 1.3.1 不确定度的相关概念 “不确定度”可理解为怀疑程度(doubt)，广义来讲，测量不确定度意味 着测量结果的有效性的怀疑程度。由于缺乏描述程度概念和概念的具体数量 的量化指标，所以采用测量值的统计量——标准差来描述测量值的“不确定 度” [12]。 测量不确定度的概念是关于测量值的可信任程度，是建立在测量 的本质和测量的具体过程上的。它是一个用来表示合理赋予被测量值分散性 的参数。测量不确定度是物理真值所处范围的评定参数，是对测量结果而言 的一个定量概念，可用数字来描述。不确定度越小，说明测量的质量越高， 其实用价值也越高;反之质量就低。 测量不确定度通常由多个分量构成。一部分可用测量结果的概率分布估 算，用实验标准差表示。另一部分则可用基于先验信息的假定概率分布估 算，也可用统计量——标准差表示。基于此，不确定度的评定方法分为 A 类评定和 B 类评定。 通常而言，可用 y' , y , U 表示测量的有效表达， y 是测量结果， U 是扩 -4- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 展不确定度，测量结果的完整表达为 y'，图 1-1 给出了其直观解释。 y' U=k×uc U=k×uc y 图 1-1 测量结果的不确定度表示 其中 uc 表示合成标准不确定度 (combined standard uncertainty)，其定义 为:测量结果按不确定度的来源，按平方和开方的方法叠加起来算出的测量 值的合成标准不确定度。 k 表示包含因子 (coverage factor)， k 的选择主要取 决于区间所需的覆盖概率或置信水平， k 通常的取值在[2,3]之间。扩展不确 定度 U (expanded uncertainty)是指被测量的值以一个较高的置信水平存在的 区间宽度，是合成标准不确定度 uc 与包含因子 k 的乘积。 1.3.2 不确定度传播理论 《指南》描述了被测量 Y 的测量值 y 的标准不确定度 u( y) ，它说明了在 具有已知的 Y 的一系列观察值或是在有可以利用 Y 的其他信息的情况下不确 定度的传播。对不确定度的估计，首先要建立模型，得到一个被测量和输入 量之间的函数关系 y , f ( x1, x2 ,..., xN ) ，通过每一个输入变量 x1, x2 ,..., xN 的不确 定度，进而确定 y 的不确定度。其次，鉴别不确定度的来源。最后对不确定 度分量给出定量表达。 设 xi 的标准不确定度表示为 u( xi ) ，这个值可以由不确定度 A 类评定的 概念得到 u( xi ) , s( xi ) ， s( xi ) 表示测量值的实验标准差，也可以通过 B 类评 定 进 行 估 计 。 当 已 知 函 数 关 系 y , f ( x1, x2 ,..., xN ) ， 被 测 量 y 由 其 他 输 入 量 x1, x2 ,..., xN 确定，设 uc 为 y 的合成标准不确定度，那么根据《指南》， uc 的表 达式为: n n 1 ， f f f , 2 2 c u ( y) , ,, ,, u ，xi ， ， 2 i,1 , xi 式中 r ( xi , x j ) 为估计相关系数; f / xi 、 f / x j 为 xi , x j 不确定度传播系数。 -5- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 n 2 如果 r ( xi , x j ) , 0 ，则 uc2 ( y) , ， f / xi ， u 2 ，xi ，; i,1 如 果 r ( xi , x j ) , 1 ， 且 f / xi 、 f / x j 同 号 ( 或 r( xi , x j ) , 1 且 f / xi 、 f / x j 同号)，则 uc , ui 。 由以上的公式，可以看出不确定度估计是建立在函数模型方程的线性估 计的基础上的，可以用图 1-2 来说明。 x1, u( x1 ) Y , f ( X 1, X 2 , X 3 ) y, u( y) x2 , u( x2 ) x3 , u( x3 ) 图 1-2 输入量为 N=3 的不确定度传播示意图 1.3.3 Monte Carlo方法分析不确定度 Monte Carlo 方法是近些年来进行不确定度评定的一种比较流行和适用 Monte 的方法。Monte Carlo 方法也叫做随机模拟仿真(random simulation)。Carlo 方法的基本思想是:通过建立一个所求参数的概率分布模型或随机过 程，进行抽样实验计算所求参数的统计特性，从而达到解决数学、物理、工 程技术以及管理生产等方面问题的目的 [14]。 不确定度本身是一个统计量，具有一定的概率分布，对不确定度的分析 运用 Monte Carlo 这种统计试验的方法非常适宜。 目前，Monte Carlo 的应用由于计算机的普遍使用也变得越来越方便， 伪随机方法的成熟可以较容易地产生服从多种概率分布的伪随机数，以此来 模拟仿真实际的测量序列。因此可以进一步对测量过程或数据处理过程进行 模拟计算，通过得到的仿真结果来估计真实结果 [15]。 Monte Carlo 方法可以分为仿真部分和综合部分。计量过程中的许多不 确定度来源是符合某种随机概率密度函数 f ( x1, x2 ,..., xn ) 的，通过产生多维的 服从某种分布的随机数，并通过模型变换拟合出符合概率密度函数 f ( x1, x2 ,..., xn ) 的样本集合，从而得到样本空间的大数据量样本结果，通过样 本统计分析 Monte Carlo 仿真的结果，如图 1-3 所示。 -6- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 g X 1 (,1 ) Y , f ( X 1, X 2 , X 3 ) g X 2 (, 2 ) gY (, ) g X 3 (,3 ) 图 1-3 Monte Carlo 仿真举例 1.4 VNA测量S-参数不确定度研究现状 S-参 数 是 微 波 网 络 的 主 要 描 述 参 数 之 一 ， 对 于 它 的 测 量 主 要 是 通 过 VNA 来完成。在通常情况下， S-参数的不确定度与测量仪器的不完善、测 量环境、测试人员等有关系，由于在整个不确定度的分析过程中，由测量仪 器引入的是最明显的，同时也是比较容易获得数学模型进行分析的。所以， 在本课题中，考虑 S-参数的不确定度主要是从 VNA 测量的角度进行展开。 对 VNA 测量不确定度的研究，以美国国家标准与技术研究院(NIST)的 研究成果最多。 2006 年，首次将基于协方差矩阵的不确定度分析方法应用 系统中，描述了光电采样系统中失配修正测量的不确定 到其光电采样 (EOS) 度。为测量系统的时域和频域的不确定度提供了一种通用的方法。利用标准 统计分析去估计多元变量的协方差矩阵。并且 NIST 验证了该方法对于多元 [16,17] 变量不确定度传播分析的实用性 。协方差矩阵在提供了向量各变量的 方差 (不确定度 )的同时，还充分保留了变量间的协方差 (互相关性 )，可以有 效地保证不确定度传播的正确分析。 而在这之前，大多数描述电脉冲或阶跃响应波形标准主要是基于瞬时测 量的不确定度分析，并且只单一被测量，如脉冲或传输时间。在这种情 况下，《测量不确定度表示指南》在评价表示被测量不确定度时给出了明确 的指导。然而，对于多元变量的不确定度分析在《指南》中没有过多介绍， 针对于此，NIST 提出这种利用频域协方差矩阵捕获所有测量值不确定度的 相关性的方法，在 EOS 系统中允许光电二极管的信号频谱和阻抗的不确定 度通过频域和瞬时失配修正传递到其他仪器上。 目前，为了提高 S-参数的测量结果精确性，即降低其不确定度，大多 数采用改变测量方法或利用更精密仪器仪表测量的手段来进行。在 S-参数 测量不确定度传播到另一物理参数的过程中，尤其对于微波功率计校准的不 确定度传播，2001 年起，Nick Ridler 和 Martin Salter 两名学者做了很多研 -7- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 究 [7]。但是绝大多数的 S-参数不确定度分析中，通常只考虑 S-参数本身的 不确定度，忽略了不同变量、不同频率点间的互相关，将不确定度来源作为 独立来源进行运算。表现在 GUM 不确定度传播规律中为——式(1-2)所示的 估计相关系数 r ( xi , x j ) 的取值为 0，即不考虑输入量 x1, x2 ,..., xN 之间的相关性 [6-8] 。虽然这种分析方法在很多情况下适用，但是其中忽略的部分对于不确 定度的精确分析存在以下几点不足: (1)这种分析方法只考虑了在单一频率点上的情况，而在 S-参数的进 一步应用中，不可能只是在一个频率点上产生作用，还存在多个频率点间的 作用。所以，忽略的互相关性在分析具有多个频率点、多个谐波分量的应用 问题中起到重要作用。 (2)在测量的过程中，利用同一台 VNA 测量的 S-参数之间具有相关 性，当多个 S-参数被用于后续的应用计算中时，作为理论分析，要充分考 虑参数间的相关信息。 ( 3)对考虑 S-参数本身的不确定度进一步传递的过程分析，我们发 现，对于利用 VNA 测量得到的结果而言，它们忽略了 S-参数不确定度的来 源，其不确定度的最终来源是 VNA。 针对以上不足，本文研究考虑 S-参数不确定度通过 VNA 的传播过程， 确定在此过程中 VNA 的不确定度来源，并且为了保证相关信息的充分保 留，采用协方差矩阵的方法直接获得多元变量不确定度的互相关性，对不同 频率点上的变量按照频率依次列出构成不确定度传播的输入向量，以此进行 不确定度的进一步传播。在未来“多频点、多变量”的非线性研究背景下， 充分考虑相关性的不确定度分析方法是必要和有效的。 1.5 本文的主要研究内容和结构 本文主要研究基于协方差矩阵的 S-参数测量不确定度的分析方法，由 于充分考虑了复频信息在实部虚部间、不同频点间、不同变量间的相关性， 该方法可以有效地分析 VNA 系统和随机效应引起的测量不确定度的定量传 播，确保了多元相关变量不确定度分析的正确性和准确性。在实际应用中， 本文重点考察了微波功率计校准、宽带谐波相位参考定标这两个过程中的不 确定度传播规律。首先，利用 VNA 对实验用功率计、示波器以及谐波相位 参考探头各端口进行了反射系数测量，获取实验数据。然后，推导出不确定 度传播过程中各环节表达式，定量分析了系统测量不确定度从 VNA 校准件 经 S-参数有效测量值最终更进一步传递的结果。最后通过 Monte Carlo 仿真 -8- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 方法检验了基于协方差矩阵的 VNA 测量 S-参数不确定度传播方法的正确 性。 第 1 章简要的概括了不确定度的基本概念以及 VNA 测量 S-参数不确定 度传播的研究现状，说明了本文的目的和意义及文章结构。 第 2 章介绍了 VNA 的基本理论，VNA 的单端口和双端口校准，重点 介绍了 VNA 的不确定度来源和传播流程。 第 3 章首先研究了传统 VNA 不确定度的传播的分析方法，针对其不足 之处，给出了基于协方差矩阵的相关变量不确定度分析方法，最后根据 VNA 不确定度传播流程给出 VNA 测量 S-参数不确定度分析方法并进行了 公式推导，给出了解析条件下不确定度传播过程中 Jacobian 矩阵的推导。 第 4 章将本文所给出的 VNA 不确定度分析方法应用到实际中，主要选 取了功率计校准和宽带谐波相位定标两个实验，根据实验数据进行了仿真并 采用 Monte Carlo 仿真验证了方法的准确性和有效性。 -9- 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第2章 矢量网络分析测量理论 20 世纪 50 年代，对线性微波器件的建模使用了 S-参数小信号分析理 论，70 年代出现了能够测量 S-参数的仪器，极大地推动了 S-参数理论的发 展与应用。现在 S-参数的测量主要通过矢量网络分析仪(VNA)进行，为了使 数据的可信性增加，不仅要使用精确的测量仪器而且要对测量结果的精度进 行分析。本章介绍 VNA 的测量、校准技术以及 VNA 测量不确定度来源和 传播。 2.1 VNA简介 矢量网络分析仪(VNA)是一个通用的测量系统，是测定射频元器件特性 最常使用的仪器。它内部含有一个射频信号源，可以给被测器件(DUT)和测 量接收机提供激励信号，有 2 个或 4 个微波通道处理网络中信号传输时入射 波、反射波和传输波的幅度和相位，可以直接显示要求频率范围内的有源和 无源网络的 S-参数。随着科技的进步，VNA 几乎可以覆盖参数测量的全部 范围。 一般来说，VNA 有两个测试端口，对大多数只有一个或两个端口的射 频器件可以满足要求。随着无线通信领域的高速发展，射频器件的端口数目 也已经增长为三个或四个，这已经变得比较常见，因此四端口网络分析仪也 被普遍使用，甚至端口数在四个以上的网络分析仪也在许多无线系统中有所 应用。对测量而言，用单端口测量反射系数，根据测量反射回来的幅度谱与 相位谱，可以判断出阻抗、反射等情况。而 VNA 的双端口测量，可以测量 网络的传输参数。大多数网络分析仪可以对测量结果逐点进行误差修正，通 过换算得出其他几十种网络参数，如输入反射系数、输出反射系数、电压驻 、衰减 (或增益 )、相移和群延时等传输参数以及隔离度 波比、阻抗 (或导纳 ) 和定向度等。 VNA 的结构框图如图 2-1 所示。 - 10 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 数据处理与矢量校正 ADC ADC ADC ADC A A A A 本振 b1 a1 a2 b2 待测 信号 器件 源 参考 时钟 图 2-1 VNA 结构框图 S-参数作为描述网络性能的一个基本参量在射频测量中使用最为广泛。 S-参数是建立在网络的正向和反向传输信号上的，利用入射波、反射波关系 确定的网络参数，是微波电路分析中的基础。 对于一个如图2-2所示的双端口网络: a2 a1 DUT b1 b2 图2-2 S-参数的概念示意图 S-参数的定义如式(2-1)所示: b1 , S11a1 ， S12 a 2 (2-1) b2 , S 21a1 ， S 22 a 2 式中 b1——1端口出射波 b2 ——2端口出射波 a1——1端口入射波 a2 ——2端口入射波 b1 ——端口 2 匹配时，端口 1的反射系数; S11 , a1 a2 ,0 - 11 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 b2 ——端口 1匹配时，端口 2 的反射系数; S 22 , a2 a1 ,0 b1 ——端口 1匹配时，端口 1到端口 2 的反向传输系数; S12 , a2 a1 ,0 b2 ——端口 2 匹配时，端口 2 到端口 1的正向传输系数。 S 21 , a1 a2 ,0 S-参数说明线性系统的描述，从其定义中可以发现S-参数对应了类似于 系统函数输入输出的比值。对线性时不变系统，满足线性叠加定理，所以单 一功率下单一频点的(扫频)测量就能满足要求。 任何测量结果都存在测量值与实际值之间的预期统计误差，称为测量不 确定度 (measurement uncertainty)，产生的原因可能多种多样，包括通道延 迟、温度、重复性等。随机的测量误差不能进行系统地校正，但可以用统计 学原理描述，而系统测量误差可以利用多种计算方法进行系统修正，修正的 过程就由VNA的校准过程体现。 2.2 VNA的校准 由于 VNA 的测试平面与被测器件(DUT)的测量平面间存在一个误差网 络，所以在使用 VNA 进行测量之前，要对其校准，用来获得误差网络的模 型系数，完成从原始测量值到有效测量值的矢量修正。 对于 VNA 的校准，通常是利用多个已知特性的校准件连接到 VNA 的 测试面，例如短路件 (Short)、开路件 (Open)、负载 (Load)和直通 (Thru)等， 常见的方法有单端口 SOL 校准、双端口 SOLT 校准、SOLR 校准、TRL 校 准、TNA 校准等 [18]，这些校准方法的误差模型可以表示为单端口 3 项误差 模型，以及双端口 7 项、10 项、12 项、15 项误差模型等 [11]。这些都是通过 测量多个校准标准件——利用原始测量值和相应的理论值反推得到误差模型 系数。 2.2.1 单端口校准 在测量网络某一端口的反射系数或微波器件的反射系数时，其测量结果 的误差主要来自方向性误差、源匹配误差和频率响应误差这三种误差 [19]。 测量网络反射系数(单端口测量)时的信号流图如图 2-3 所示: - 12 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 a1 a0 e10 e00 e11 ΓDUT ΓM e01 b1 b0 图 2-3 单端口测量系统模型信号流图 根据图 2-3 的信号流图，有如式(2-2)的关系式存在: ,b0 ， ,e00 , (2-2) 1 ， 1 0 b b1 其中 ,DUT , a1 a0 量值。 令 e , e00e11 e01e10 ，可以得到: ,M , e00 ， ,DUT ,M e11 ,DUT e 。在这个表 达式中一共存在三个未知数: e00 、 e11 和 e , e00e11 e01e10 。 校准时，分别在测试端口上接入开路、短路、负载标准校准件 [20]。由 于标准件的加工工艺和物理特性的不同，它们的阻抗会与理想值之间存在一 些微小的偏差。在短路标准件和开路标准件的短路面或开路面，存在寄生电 感和电容效应。理想的匹配负载也是不存在的，信号会在整个测量频率范围 内产生极小的反射 [21]。所以开路校准件 ,Open , 1 ，短路校准件 ,Short , 1，负 载匹配校准件 ,Load , 0 (实际测试中开路件、短路件和负载的反射系数的数 据可由生产厂家的标准校准件给出)。 由此可得式(2-3)所示的矩阵方程: ,1 ,Open,MO ,Open ， ,e00 ， ,,MO ， (2-3) , , MS , ,Load , , e, ,,ML , , 1 ,Load ,ML 解此矩阵，便可以得到 e00 、 e11 、 e , e00e11 e01e10 。进而可以得到修正 后的单端口测量结果: ,D UT , ,M e00 (2-4) ,M e11 e - 13 - 01 ， ,a0 ， e ,a , , ,e e11 ,， , 1 ,， b ，是被测件的反射系数; ,M , 0 ，是被测件反射系数的测 ,1 ,Short ,MS e , , ,, , , , , ,Short , , 11 , ， ， ， 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 2.2.2 双端口校准——7 项误差模型 双端口 7项误差模型是双端口校准中分析过程和数学模型相对简单的一 种。双端口 SOLT(Short-Open-Load-Thru)校准是一种典型的方法，该方法是 单端口SOL校准与未知直通(unknown thru)方法的结合。双端口SOLT校准如 图 2-4、图 2-5所示。该模型考虑了定向耦合器的有限方向性的误差 ( e00 、 e33 );端口失配( e11 、 e22 )和传播误差( e01 、 e10 、 e23 、 e32 )。 源输入端口 负载输出端口 端口 1 端口 2 测量头 测量头 开路 开路 ~ ~ (X) (Y) 短路 短路 ~ ~ 负 负载 载 ~ ~ 负载 直通 ~ 直通 负载 ~ 图 2-4 VNA 双端口校准流程 a1 a0 a1 b2 S21 b2 b3 e10 e32 待测 X Y e00 e11 11 S22 ee33 S22 器件 e01 S12 a2 e23 a3 b0 b1 b1 a2 图 2-5 VNA 双端口误差模型 [22] VNA 的双端口 7 项误差模型本质上是“8 项” 。由于校准线性 S-参 数并不要求知道全部 8 个误差系数，经常将 e32 项设为 1，因此误差模型简 化 为 “ 7 项 ”， 即 每 个 频 率 点 上 的 e00 、 e11 、 e22 、 e33 、 e01 / e32 以 及 x , e00e11 e01e10 、 y , e22e33 e23e32 。 对两个端口分别进行 SOL 校准，同时记录相应 VNA 实测的反射系数。 根据误差模型可分别列出端口 1 和端口 2 的矩阵方程: - 14 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1 1 1 1 ,1 ,Open,MO Open e,00， ,MO， ，, , 1 , , 1 , , 1 1 (2-5) ,1 ,Short ,MS ,Short , , ,,e11 ,, , ,MS, , 1 1 1 1 Load ,,x, , ML, ,, ,1 ,Load ,ML ， 2 2 2 2 ,1 ,Open,MO Open e,33， ,MO， ，, , 2 , , 2 , , 2 2 (2-6) ,1 ,Short ,MS ,Short , , ,,e22 ,, , ,MS, , 2 2 2 2 ,1 ,Load ,ML Load ,,y, , ML, ,, ， 求 解 (2-5) 、 (2-6) 方 程 组 可 得 到 e00 、 e11 、 e22 、 e33 以 及 x , e00e11 e01e10 、 y , e22e33 e23e32 。 而利用经典的未知 (unknown thru)校准技术，我们可以认为直通件具有 互易性( S12 , S 21 )，通过将两个测量端口用直通件连接，并用 VNA 记录实测 的 直 通 件 S-参 数 ， 我 们 可 以 得 到 式 (2-7)的 形 式 用 以 计 算 第 7 个 误 差 项 e01 / e32 [23]。 e01 S12 M (e00e11 x) , , (2-7) e32 S 21M (e22e33 y) 其中: S 21M 为 S 21的测量值， S12 M 为 S12 的测量值。必须通过公式(2-8)所 示的条件确定 e01 / e32 的符号，其中 , 和 l 分别为直通件的相位常数和电器长 度， S 21为修正后的 S-参数 [24]。 , e j，, l ， R , , , 0 (2-8) S21 ， 由于在后续的分析计算中，对于“ ,”的取舍并不涉及，所以，在这里 不给出具体的判决条件。 2.2.3 双端口校准——10 项/12 项/15 项误差模型 双端口的校准方法产生的误差模型有很多，诸如前述的 7 项误差模型， 当然也有 10 项、12 项、15 项误差模型的详细校准流程和运算。由于误差产 生的机理相同，各种误差模型的应用完全取决于实际的情况，误差项越多， 说明考虑的误差来源越丰富，其测量有效值的可信度越高。但是，误差项越 多，计算复杂度也越高，所以在实际中应选择符合实验标准以及实验条件的 合适的误差模型。 - 15 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 下面简要的介绍一下 10 项、12 项和 15 项误差模型。如图 2-6 所示为 双端口前向测量和后向测量的 12 项误差模型，前向测量包含的误差项为: e00 、 e11 、 e01 、 e10 、 e22 、 e32 和 ex ，后向测量包含的误差项为: e22 '、 e33 ' 、 e23 ' 、 e32 ' 、 e11 ' 、 e01 ' 和 ex ' 。每个子模型都包含有 7 个参数，可以假设各子 模型的 e01 、 e10 、 e22 、 e33 或 e23 ' 、 e32 ' 、 e11 ' 、 e01 ' 中的某一项为 1，这样两个 子模型就构成了 12 个误差项。通过省略串扰项 ex 和 ex ' 可以得到 10 项误差 模型。实际应用中，完全的 12 项误差模型只用于特殊情况。 (a) 前向测量中的 12 项误差模型 a1 a1 S21 b2 b2 b3 e32 ' 待测 器件 S11 S22 e22 ' e11 ' e33 ' S12 a3 a2 a2 b1 e01 ' b1 e23 ' ex ' (b) 后向测量中的 12 项误差模型 图 2-6 双端口 12 项误差模型 从 误 差 模 型 可 以 得 到 误 差 项 与 被 测 件 的 测 量 值 ( S11M 、 S 21M 、 S12 M 、 S 22 M )和测量有效值之间的关系: S11 e22 S (2-9)S11M , e00 ， e01e10 1 e11S11 e22 S 22 ， e11e22 S - 16 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 S 21 (2-10) S 21 ,M ex ， e32e10 1 e11S11 e22 S 22 ， e11e22 S S12 (2-11) S12 M , ex '，e01 'e23 ' 1 e11 ' S11 e23 ' S 22 ， e11 'e23 ' S S 22 e11 ' S (2-12) S 22 M , e33 '，e32 'e23 ' 1 e11 ' S11 e23 ' S 22 ， e11 ' e23 ' S 其中 S , S11S 22 S 21S12 。 而 15 项误差模型的校准技术是 TOM-X 技术，误差网络可以设计为一 个没有任何已知信息的黑箱。X 代表了该技术能消除串扰的能力。可以假设 一个误差四端口，如图 2-7 所示，将该误差网络的 16 个 S-参数中的某一个 定义为 1，因此，一个二端口分析仪共需要 15 个误差项。该模型的优点在 于其完整性，是能够描述 DUT 相关串扰的唯一模型。这种误差模型应用很 少，只在特殊情况下使用。 a1 ' b2 ' a1 a1 S21 b2 b2 待测 器件 S11 S22 S12 a2 a2 b1 a2 ' b1 ' b1 误差四端口 图 2-7 双端口 15 项误差模型 为了分析的方便，本文选择了最简单的双端口 7 项模型进行不确定度分 析方法的说明和实验检验。 2.3 VNA测量不确定度来源和传播 VNA 测量反射系数的不确定度主要包括两方面来源:一种是由随机效 应导致的不确定度，另一种是由系统效应导致的不确定度。随机效应主要是 伴随原始测量值产生，主要产生的原因是温度和湿度漂移、电缆柔性、噪声 和功率波动等 [25];而系统效应产生的不确定度主要来自校准过程，由校准 产生的方向性误差、源匹配误差和反射频率响应误差都将导致系统效应，进 而产生不确定度，当然，校准件本身具有的不确定度是系统效应导致的不确 - 17 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 定度的主要来源。 首先，校准使用的标准件具有的 (系统效应产生的 )不确定度通过 VNA 校准方程传递到误差模型系数，再通过矢量修正关系传递到测量结果的有效 测量值。其次，随机效应产生的不确定度伴随原始测量值产生，分别在校准 和实测两个测量环节中有所贡献:一方面通过校准过程的原始测量值，先由 校准方程传递到误差模型系数，再经矢量修正传递到有效测量值;另一方面 通过实测过程的原始测量值，直接经过矢量修正传递到有效测量值。不确定 度传递过程如图 2-8 所示。 系统效应导致的 误 标准件 不确定度 差 校 模 准 型 有 系 随机效应导致的 矢 效 原始测量值(校准) 数 不确定度 量 测 修 量 正 值 随机效应导致的 原始测量值(实测) 不确定度 图 2-8 VNA 不确定度传播 随机效应的产生，主要表现为 VNA校准系数的随机变化。在测量不确 定度分析过程中，漂移、扰动等的描述比较困难，一般将随机效应产生的不 确定度用 VNA的本底噪声来进行描述。 VNA的本底噪声是衡量 VNA的主要 技术指标，尤其在对小反射系数测量、衰减测量和不确定度分析上有重要作 用。由于大多数商业 VNA的外差式结构， VNA测量结果的噪声信号通常是 一个窄带信号，所以可以将本底噪声看做一个窄带白噪声 [26]。随机效应产 生的不确定度可以通过多次测量进行消除。 系统效应产生的不确定度是 VNA不确定度分析中的主要部分，是由系 统硬件不完善产生的，由于其可以用多种数学模型进行表达，所以也是我们 主要研究的内容。由于大部分校准件的不确定度来自于机械加工的误差，因 此其不确定度需要根据加工误差和校准件模型来计算，并且保留不同频率点 上数据的相关性。在整个定量分析过程中，不同校准件的误差贡献 ( 即 Short 、 Open 、 Load 等)可以当做独立的不确定度来源进行处理。 本文中主要考虑系统效应产生的不确定度的分析，所以如无特殊说明， 后续文中所述不确定度均指系统效应导致的不确定度。 根据 VNA的校准过程，我们发现不确定度的传播过程:实际校准组件 - 18 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 的不确定度通过校准方程传递到误差模型，进而传递到有效测量值，再进一 步通过矢量修正关系传递到由S-参数导出的其他物理量上，从而得到测量结 果的不确定度。因此，可以给出VNA的不确定度传播流程如图2-9所示。 SOL 校准件 误差模型系数 不确定度 , Short ,Open , Load 单端口相对校准 ,SOL ,Thru 直通校准件 双端口未知直通校准 ,7 term ,3 term 有效测量值 双端口测量单端口测量 不确定度 ,[ S11 S12 S21 S22 ] , S11 失配修正; 参数计算... 数据处理 不确定度 Σ, σ2 图 2-9 VNA 不确定度传播流程 根据 VNA不确定度传播流程，在不确定度的分析方法中， VNA不确定 度的最终来源来自校准件的加工工艺和机械加工精度，根据矢量网络分析仪 原理，短路件和开路件的模型如图2-10所示，同时给出了短路件和开路件的 反射系数与寄生电感和电容、频率、物理加工长度之间的确定关系。 l l Ce (f) 开路件 短路件 参考面 参考面 j 2 fLe ， f ， Z 0 j 4 l / ， 1 j 2 fZ 0Ce ， f ， j 4 l /， ,Short , e ,Open , e j 2 fLe ， f ， ， Z 0 1 ， j 2 fZ 0Ce ， f ， Ce ， f ， , C0 ， C1 f ， C2 f 2 ， C3 f 3 Le ， f ， , L0 ， L1 f ， L2 f 2 ， L3 f 3 (a)短路件 (b)开路件 图 2-10 短路件和开路件的模型 - 19 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 2.4 本章小结 本章主要介绍了 VNA的基本原理、校准技术和 VNA不确定度传播的流 程。详细介绍了VNA的单端口校准和双端口校准，以及由此衍生的单端口3 项误差模型和双端口7项误差模型。同时阐述了VNA测量不确定度的主要来 源——随机效应和系统效应导致的不确定度，重点分析了 VNA系统效应产 生的不确定度，给出了采用 VNA单端口测量和双端口测量的不确定度传播 流程图。 - 20 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第3章 基于协方差矩阵的VNA测量S-参数不确定度 分析 在现代科学实验中，对于精度的越来越高的要求使得不确定度的分析越 来越精准，要尽可能全面的考虑不确定度的来源、分析方法和在实际中的应 用。在不确定度分析中使用协方差矩阵的形式并不少见，但是对于多频点、 多变量的相关性考虑中，其相关性总被忽略，因此提出一种充分考虑相关性 的有效分析方法是必要。本章主要对基于协方差矩阵的不确定度相关性信息 做了保留，并用于VNA测量S-参数进一步分析。 3.1 传统S-参数不确定度分析研究 过去在对 VNA 测量不确定度分析中，大多是从 VNA 的直接测量结果 入手进行分析，也就是测量得到的 S-参数的数值，根据实验标准差给出 S- 参数具有的测量不确定度。 不确定度分析的一个典型应用是微波功率计的校准，这个过程在不确定 度分析方法中被普遍应用。由校准因子 k u 的表达式如式(3-1)所示。 2 P 1 ,Ge,u ku , k s u , (3-1) Ps 1 ,Ge,s 2 在确定校准因子 k u 的不确定度的过程中，直接将信号源反射系数 ,Ge 表 示为实部和虚部的形式 ,Ge , x ， jy ，被校功率计反射系数 ,u , u ， jv 和标准 功率计反射系数 ,s , p ， jq ，则输入量为 6 维向量 X , ( x, y, u, v, p, q ，输出量) 为 1 维向量 Y , ku 。利用不确定度传播理论，假设 ,Ge 、 ,s 和 ,u 是不相关 的，输入量的协方差矩阵给出如式(3-2)。 , u 2 ( x) u( x, y) 0 0 0 0 ， , 2 , 0 0 0 u ( y) 0 , ,u( y, x) u 2 (u) u(u, v) 0 0 , , 0 0 (3-2) , 2 (,Ge , ,u , ,s ) , , 0 0 u(v, u) 0 , u (v) 0 , 2 , 0 0 0 u( p, q,) 0 u ( p) , , , 0 0 0 0 u(q, p) u 2 (q) ,， 然后进一步传播到输出量 Y , ku 上。 - 21 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 在这种分析过程中，假设各变量间、频点间以及变量的实部和虚部之间 是相互独立的，可以看出在其协方差矩阵中代表相关性信息的非对角线元素 上均为 0，然而实际情况并非如此。这种不确定度分析方法存在不足之处: 第一，没有将不确定度溯源其最终来源上，用 VNA 测量得到的 S-参 数，因此 VNA 是 S-参数测量值的不确定度来源，由第二章中给出的 VNA 测量不确定度传播流程，我们可以清晰的知道测量值的不确定度的最终来源 来自于校准组件的不完善性。 第二，没有充分考虑互相关性在不确定度分析中的重要性。在这种忽略 相关的分析方法中，只是对任意频点上的分析，没有充分考虑频点间相关 性，而实际的测量仪器(如功率计)并不只是测量单一频率的信号，也有可能 涉及到具有多个频率分量的待测信号。同时，由同一台 VNA 测量得到的结 果之间势必具有相关性，这部分相关性也被忽略了。 所以，本文基于对各种相关性的充分考虑，提出一种符合校准流程的不 确定度的分析方法。 3.2 基于协方差矩阵的相关变量不确定度分析 3.2.1 基于协方差矩阵的不确定度分析方法 在 数 学 概 念 上 ， 对 一 个 随 机 向 量 X , [X1, X 2 ,..., X n ] ， 其 均 值 向 量 为 X0 , [,1,, 2,..., , n ]' ，向量 X 的协方差矩阵 X 定义为: ，, X ，n,n , E[(X X 0 )(X X 0 )T ] , E[(X1 ,1)(X1 ,1 )] E[(X1 ,1 )(X 2 , 2 )] E[(X1 ,1 )(X n , n )] ， ,E[(X , )(X , )] E[(X , )(X , )] 2 2 1 1 2 2 2 2 E[(X 2 , 2 )(X n , n )],, (3-3) , , , , , , E[(X n , n )(X1 ,1 )] E[(X n , n )(X 2 , 2 )] E[(X n , n )(X n , n )]， , u 2 (X1 ) u(X1, X 2 ) u(X1, X n ) ， , , u(X 2 , X1 ) u 2 (X 2 ) u(X 2 , X n ), , , , , , , 2 u(X n, ) , u(X n , X1 ) u(X n , X 2 ) 其中主对角线的值就是各随机变量的方差，非对角线上是相应两个随机变量 的协方差。 如果向量 Y , [Y1, Y2 ,..., Ym ]'是由 X0 附近连续可微函数组 F 作用向量 X 得 到的，即 Y , F (X) ， Y j , F j (X), j , 1,2,..., m 。则 F (X) 在 X0 附近可按式 (3-4) - 22 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 展开: (3-4) Y , F (X ,) F (X 0 ) ， J , (X X 0 ) ， 其中 J 为 Jacobian 矩阵，也可称为灵敏系数矩阵，如式(3-5)。 ， F1 (X) F1 (X) , F1 (X) , , x2 xn , x1 X0 , X X0 0 , , F (X) F2 (X) F2 (X) (3-5) 2 , , ，J ，m,n , , x1 x2 xn X0 , X0 X0 , , , , Fm (X) Fm (X) , Fm (X) , , , x1 x2 xn X0 X 0 X0 ， 于是用一阶近似估计 Y 的协方差矩阵 Y 为: ，, Y ，m,m , E[(Y - Y0 )(Y - Y0 ) T ] (3-6) , E[J(X - X 0 )(J(X - X 0 )) T ] , J, X J T 其中 X 是向量 X (自变量 )的协方差矩阵。式 (3-6)是基于协方差矩阵分析 VNA 测量不确定度传播的最重要公式 [7,27]。 根据协方差矩阵不但可以得到每个输入变量的不确定度，还可以得到任 意两个变量的相关程度。后者是研究相关变量不确定度传递所必须考虑的因 素 [28]。因此，只有采用该方法才能有效地保留数据结果间的相关性，从而 进行不确定度传播的正确分析。 基于协方差矩阵的不确定度分析方法针对的是多元变量构成的向量整 体，而非某个单独的物理量，这是其优势所在。协方差矩阵不仅能够提供每 一变量的标准不确定度和任意两个变量之间的相关性，并且能够保存不确定 度进一步传播所需要的重要的相关信息 [29-31]。利用协方差矩阵可以根据实 际需要对向量的尺寸和内容进行更改，算法的不确定度输入和输出均以协方 差矩阵为基本单元，将实际操作内容简化到对变量间函数关系的确定和对应 的 Jacobian 矩阵的求解。 根据图 2-9 所示采用基于协方差矩阵的方法分析 VNA S-参数测量不确 定度，需要确定两方面的信息:首先要获得各测量通道上各频点噪声功率构 成的协方差矩阵 ( , ——随机效应产生的不确定度 )及由校准件机械加工精 度确定的协方差矩阵 ( , ——系统效应产生的不确定度 );其次计算不确定 度传播过程中各环节函数关系对应的 Jacobian 矩阵。从式 (3-5)可以看出， 虽然 Jacobian 矩阵的各元素形式可以根据校准方程和矢量修正关系提前推 - 23 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 导，但是具体的量值仍需要通过实际的标准件选取和测量结果(即相应的 X0 ) 才能够确定。为简化实际推导过程的复杂度，Jacobian 可以根据式(3-7)进行 数值方式求解: F (X0 ， j ) - F (X0 ) (3-7) J , j , , 其中 j 为与 X0 相同长度的向量，除第 j 个元素为充分小值 , 外，其余 元素均为 0。至于 Jacobian 矩阵的解析求解，将在 3.3 节中做详细介绍。 3.2.2 基于协方差矩阵的多元变量处理方法 由于 VNA 涉及“多频点、多变量”信息的测量，因此相关性同时体现 在多个方面:复变量的实虚部间、测量频率点间和变量间 [32]。针对这些特 点，本文将依次说明相应的数据处理要求和方式。 首先，式(3-3)~式(3-7)中的向量均由实变量构成，但是 VNA 的测量结 果和误差模型系数都是频域的复变量。因此，为了利用式 (3-4)~式 (3-7)，需 要将所有的复变量按照实部和虚部划分成两个实变量处理，如式(3-8)。 ,Re(E11 )， (3-8) E11 , , , Im(E11 )， 相应地，两个复变量的偏导数关系也变为实部和虚部的分别求导，其形 式如式(3-9)。 Re(E11 ) 11 ) Re(E E11 Re(ΓShort ) Im(ΓShort ) , (3-9) Im(E11 ) Im(E11 ) ΓShort Re(Γ Im(ΓShort ) Short ) 其次，考虑到 VNA 测量 S-参数的后续应用，所以在此要考虑不同频率 点之间的相关性。以误差模型系数 e11 为例，需要的子向量处理如式 (3-10) 所示。 , Re[11 ( f1e )] ， ,11 (1 f )] Im[ ， e , , , Re[e ( f )] , 11 2 , , Im(,E ) , , Im[11e ( f2 )] , Re(E11 ) , (3-10) 11 ,, , , , , , , Re[11 ( f Ne )]， 11 ( N f )]Im[， e 最后，由于所有的误差模型系数均在一定程度上受到开路、短路和负载 的影响，因此考虑它们之间的相关性，将各子向量列在一起，如式 (3-11)所 - 24 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 示，即可得到确定 SOL 的输入向量形式 USOL 。 ,Re(E00 )， ,Im(E ), , 00 , ,Re(E11 ) , , , , USOL (3-11) ,Im(E11 ) , ,Re( E) , , , , Im( E) ,， 3.3 VNA测量S-参数不确定度分析方法 由第二章可知，除了通道间和频点间相互独立的随机噪声外，短路 (和 开路 )标准在各频点上不确定度的协方差矩阵 Short ( Open )可从制造商提供的 技术指标推导得到。同理，其他的原始协方差矩阵也能够根据相应的物理特 性获取。接下来，将主要根据校准方程和矢量修正方程进行各量值传递过程 的 Jacobian 矩阵确定，进而逐步计算得到最终 S-参数测量结果的协方差矩 阵，即不确定度。 3.3.1 VNA校准件不确定度 以短路件为例，为了确定短路件不确定度的协方差矩阵，首先列出计算 过 程 中 所 需 要 的 矩 阵 ， 如 式 (3-12) 。 包 括 测 量 得 到 的 各 频 点 反 射 系 数 ( ΓShort )、反射系数的幅度( , Short )与相位( , Short )，以及运算过程中所需的向量 形式 U Γ Short 。 , Γ Short ( f1 ) ， Short ( f1 ) ， , Γ , , , Γ 2 ), ( f , Γ Short ( f 2 ) , , , Short Γ Short , Short , , , , , , , , , Γ Short ( f N )， , Γ Short ( f N ) ,， (3-12) , ,[Γ Short ( f1 )] ， , , ,[Γ ,Re(Γ Short )， , , Short ( f 2 )] , , Short U Γ Short , , , , , Im(Γ Short )， , , ,[Γ Short ( f N )]， 由短 路件 模型 图 2-10可知 ，复 反射 系数 ( Γ Short )的模 值 Γ Short , 1，为常 量，所以模值的不确定度为 0。复反射系数 ( ΓShort )的不确定度主要来自与频 - 25 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 率 相 关 的 相 位 信 息 上 。 因 此 ， 如 果 假 设 1GHz 上 相 位 的 标 准 不 确 定 度 为 0.1?，那么在2GHz、 3GHz、…、NGHz的相位上的标准不确定度为0.2?、 0.3?、 …、 0.1N?，因此短路件反射系数的幅度 ( , Short )和相位 ( , Short )不确 定度如式(3-13)所示。 , 0 , Short , 1 ， , 0.1, 2 , 0.1, 2 0.1, N ， , , , (3-13) , , 180 Φ Short , , ,1 180 180 ,， , 0.1, N , , , 180 ， , 12 1, 2 1, N ， , , 22 0.1 2 , 2 ,1 2 , N , , ( ) , , 180 , , , N ,1 N , 2 N 2 , ， 所以，短路件的幅度和相位的不确定度传递到复反射系数过程中，用于 (3-15)得到。 计算的Jacobian矩阵可从式(3-14)和 Re(ΓShort ( f k )) , ΓShort ( f k ) sin(,[ΓShort ( f k )]) , Im(ΓShort ( f k )) ,[ΓShort ( f k )] (3-14) Im(ΓShort ( f k )) , ΓShort ( f k ) cos(,[ΓShort ( f k )]) , Re(ΓShort ( f k )) ,[ΓShort ( f k )] ,Diag ( Im(ΓShort ))， (3-15) J ,Short , , , Diag (Re(ShortΓ )) ， 式(3-16)即为短路件的协方差矩阵(不确定度)。 ΓShort , J ΓShort , J TΓShort (3-16) 同理，开路件反射系数( Γ Open )的不确定度同样来自与频率相关的相位信 息上。开路件反射系数的幅度 ( , Open )和相位 ( , Open )不确定度表达式形式与 短路件的表达式 (3-13)相同。开路件的复反射系数不确定度的计算过程也与 短路件的计算过程——式(3-14)~(3-16)相同 [33]。 3.3.2 VNA误差模型系数的不确定度 VNA 测量结果与真实值之间的误差是通过误差网络进行修正补偿的， 将校准标准件(短路件、开路件和负载)分别连接到 VNA 的测量端口上，通 - 26 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 过 VNA 的测量值与厂家给出的校准标准件的理论值之间建立误差网络(如 3 项误差模型、7 项误差模型等)，从而根据误差网络修正得到 VNA 的有效测 量值 。 根据 VNA 不 确定 度 传播 理 论， 校 准标 准 件具 有 的不 确 定度 通 过 VNA 校准过程传递到误差网络的模型系数上。 (1)3 项误差模型系统不确定度 根据式 (2-3)可以得到误差模型系数 e00 、 e11 和 e , e00e11 e01e10 关于校准 标准件的测量值 ( ,MS 、 ,MO 、 ,ML )和理论值( ,S 、 ,O 、 ,L )之间的函数关系如 式(3-17)所示。 , , (,MS ,L ,ML,S ) ， ,S ,MS (,ML,O , MO ,L ) ， ,L,ML (,MO,S ,MS ,O ) e00 , O MO ,O ,MO (,L ,S ) ， ,S ,M S(,O ,L ) ， ,L,ML (,S ,O ) ,MO (,L ,S ) ， ,MS (,O ,L ) ， ,ML (,S ,O ) (3-17) e11 , ,O ,MO (,L ,S ) ， ,S ,MS (,O ,L ) ， ,L,ML (,S ,O ) , , (,MS ,ML ) ， ,S ,MS (,ML , MO ) ， ,L,ML (,MO ,MS ) e , O MO ,O ,MO (,L ,S ) ， ,S ,MS (,O ,L ) ， ,L,ML (,S ,O ) 其中，所有参量都是复变量，根据复变量求导规则——式 (3-8)~(3-10) 以及Cauchy-Riemann方程，可以得出不确定度由校准标准件传递到误差模型 系数过程中的 Jacobian矩阵表达式如式 (3-18)所示。由于给出的匹配负载的 理论值为0，故经过化简式(3-17)中 e00 的值为 ,ML ，是一个测量数值。因此在 后续求导过程中将不考虑有关 e00 的求导项。 (3-18) 因此，误差系数 e00 , e11 , e 具有的不确定度由式(3-19)求出。 (3-19) [e 00 ,e11 , e] , J [e 00 ,e11 , e] [ ΓShort ,Γ Open ] J [eT 00 ,e11 , e] (2)7 项误差模型系数不确定度 对于 VNA 的双端口 7 项误差模型，求解其 Jacobian 矩阵的过程比较复 杂，涉及到的未知直通 (unknown thru) 校准求解第 7 个误差项 e01 / e32 的不 - 27 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 确定度来自 e00 、 e11 、 e22 、 e33 以及 x , e00e11 e01e10 、 y , e22e33 e23e32 的不 确定度。根据式(2-7)所示的 e01 / e32 表达式，设解析关系式的形式为: (3-20) z1 ， iz2 , z , F ( x ,) F ( x1 ， ix2 ) , , G( x1 ， ix2 ) S12 M (e00e11 x) 其中 G( x , )也是一个解析函数，根据 Cauchy-Riemann方 S 21M (e22e33 y) 程，可以得到: ) Re( z) Im(z) , G' ( x) ， , G' ( x) ， Re( x) ， Re( z) Im(z ,) G' ( x ， ,) G' I Im(x) ( x) ， , m ( x ) , I m , , R e( x) 2 2FF (( x ) x， (3-21) 式 (3-21)的结论可以直接的进行未知直通校准方程对应 Jacobian矩阵的 推导，而不必过多考虑未知直通校准技术中涉及“ ,”的选取问题。例如式 (3-22)所示: , Re(01e / e32 ) , Re,, , Re, , Re( y) , , (3-22) , 2 , Re(01e / e32 ) 2 Re( x) , 2 , , Re , , , ,Re, ,Re ,, , ， , 2 G( x ),， , , , Im, , , 2 G( x )，, , S 21M , , ， S 21M e32 S12 M (e00e11 x) , 2S 21M (e33e22 y) , 2S12 M (e00e11 x)e01 ， S12 M (e00e11 x) ,， , S 21M (e33e22 y)S12 M ， , , Re, S 21M (e33e22 y)e32 ， ,, (S12 M (e00e11 x)) , , , S 21M (e33e22 y) , 2S12 M (e00e11 x) e01 ， S12 M (e00e11 x) ,， , 由于 SOLT 校准对每一个端口都进行 SOL(Short, Open, Load)校准，所 以 可 以 求 出 每 个 端 口 的 3 项 误 差 模 型 系 数 的 不 确 定 度 ( [e 00 ,e11 , x ] ， [e33 ,e 22 , y ] )，它们之间可以认为是独立的。因此对这 6 个误差项 ( e00 、 e11 、 e22 、 e33 、 x 、 y )的不确定度可以直接将两个 3 项误差模型的不确定度表 示在一个协方差矩阵中，用 [6err]表示。 则不确定度由校准标准件传递到 7 项误差模型系数过程中的 Jacobian 矩 阵表达式如式(3-23)、(3-24)所示。式(3-23)中 I 为单位阵，式(3-24)为不确定 度由 e00 、 e11 、 e22 、 e33 、 x 和 y 这 6 个误差项传递到第 7 个误差项 e01 / e32 时的 Jacobian 矩阵。 因此，7 个误差系数具有的不确定度 [7err]由式(3-25)求出。 - 28 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 , I ， J[ e00e11 x ,e33e22 y ,e01 / e32 ] , , , (3-23) J[ e01 / e32 ] ， , Re ，E01 / E32 ， Re ，E01 / E32 ， Re ，E01 / E32 ， Re ，E01 / E32 ， ， , , Re ，E00 ， Im ，E33 ， Im ，E00 ， Re ，E33 ， , , , Im ，E / E ， Im ，E01 / E32 ， Im ，E01 / E32 ， Im ，E01 / E32 ， , 01 32 , , Im ，E33 ， , Re ，E00 ， Im ，E00 ， Re ，E33 ， , , , (3-24) Re ，E01 / E32 ， Re ，E01 / E32 ， / E / E , Re ，E01 32 ， Re ，E01 32 ， , , , Re ，E11 ， Im ，E11 ， Re ，E 22 ， Im ，E 22 ， , , , J [ e01 / e32 ] , Im ，E01 32/ E ， Im ，E01 / E32 ， Im ，E01 / E32 ， Im ，E01 32/ E ， , , , Im ，E11 ， Re ，E 22 ， Re ，E11 ， Im ，E 22 ， , , , Re ，E / E ， Re ，E01 / E32 ， Re ，E01 / E32 ， 01 32 Re ，E01 / E32 ， , , , Im ， X ， Re ， Y ， ， X ， Im ， Y ， , Re, , , / E / E Im ，E01 / E32 ， Im ，E01 / E32 ， , Im ，E01 32 ， Im ，E01 32 ， , , Im ， X ， Re ， Y ， Re ， X ， Im ， Y ， ,， (3-25) [7err] , J [e00 ,e11 , x ,e33 ,e22 , y ,e01/e32 ] [6err ] J [eT 00 ,e11 , x ,e33 ,e22 , y ,e01/e32 ] 3.3.3 VNA测量S-参数的不确定度 (1)VNA单端口测量 VNA的单端口测量有效值表达式 (2-4)，其不确定度由误差模型系数传 递到有效测量值过程中的Jacobian矩阵表达式可以用式(3-26)计算得到。 (3-26) 所以，反射系数 ,DUT (也可表示为 S11 )的不确定度如式(3-27)。 (3-27) [ S11 ] , J [ S11 ] [e00 ,e11 , e] J [TS11 ] (2)VNA 双端口测量 由式 (2-1)双端口测 量 值 S11 、 S 21 、 S12 、 S 22 与各端口 反 射波和入 射波 a1、 a2 、 b1、 b2 的关系式，可以得到不确定度由双端口的 7 项误差模型系数 传递到测量值 S 上的 Jacobian 矩阵，通过 Jacobian 矩阵可以得到测量值 S11、 S 21、 S12 、 S 22 的不确定度。 - 29 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 , Re ， S11 ， Re ， S11 ， Re ， S11 ， Re ， S11 ， ， , , Re ， E11 ， Im ， E11 ， Re ， E， Im ， E， , , , J[ S11 ] , Im ， S ， Im ， S11 ， Im ， S11 ， Im ， S11 ， , 11 , , (3-28) Im ， E11 ， Re ， E， , Re ， E11 ， Im ， E， ,， , Re ， S12 ， Re ， S12 ， Re ， S12 ， Re ， S12 ， Re ， S12 ， Re ， S12 ， ， , , Re ， E11 ， Im ， E11 ， Re ， E， Im ， E， Im ， E01 / E32 ， Im ， E01 / E32 ， , , , J [12 ] S, Im ， S12 ， , Im ， S ， Im ， S12 ， Im ， S12 ， Im ， S12 ， Im ， S12 ， 12 , , , Re ， E11 ， Re ， E11 ， Re ， E， Im ， E， Re ， E01 / E32 ， / E Im ， E01 32 ， ,， 故测量结果的 Jacobian 矩阵如式(3-29)所示。 , J[ S11 ] ， , , , J[ S12 ] , (3-29) ,, , J[ S11S12S21S22 ] J[ S21 ] , , ,J[ S22 ] , ， 所以，S-参数的不确定度如式(3-30)所示。 (3-30) [ S11S12S21S22 ] , J [ S11S12S21S22 ] [7err] J [TS11S12S21S22 ] 至此，已经推导出 VNA S-参数测量不确定度传播的全部 Jacobian 矩阵 并对 S-参数的不确定度进行了表示。下面给出利用实测数据计算反射系数 的不确定度。 3.4 反射系数(S11)的测量不确定度 实 验 中 使 用 的 测 量 平 台 是 AV3618 矢 量 网 络 分 析 仪 。 校 准 组 件 是 AV31121 校准组件，包括短路、开路、负载。并利用 VNA 的单端口测量原 理测量一个 Anritsu ML2437A 功率计的反射系数。 根据 3.3 节推导的不确定度传播公式，得到 VNA 测量反射系数的不确 定度，讨论不确定度传播过程中实虚部间、频点间相关性的作用。考虑忽略 掉频点间、变量间互相关的情况下，反射系数不确定度的取值。图 3-1、图 3-2 分别给出了 VNA 测量 S-参数的实部和虚部的不确定度，以及考虑互相 关与否的区别。 - 30 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 -3 -3 S S VNA单 端 口 测 量-参 数 不 确 定 度 相 关 性 结 果 (实 部 ) VNA单 端 口 测 量-参 数 不 确 定 度 相 关 性 结 果 (虚 部 ) x 10 x 10 3.5 3.5 忽略频点间的互相关 忽略频点间的互相关 基于协方差矩阵的标准不确定度 3 3 基于协方差矩阵的标准不确定度 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 不确定度 1 1 0.5 0.5 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 频 率G H z 频 率G H z (a) (b) 图 3-1 VNA 测量 S-参数不确定度相关性 图 3-1 所示的两条曲线间的差别并不明显，当对于测量精度要求不高的 情况下，忽略互相关的不确定度传播分析方法即可满足需要。但从图 3-2 中 可以看出，在频率范围为 1GHz 至 20GHz 时，考虑频点间的互相性与忽略 频点间的互相关，两者不确定度的差别数量级在 10-5，对于测量不确定度要 求较高的情况，互相关的作用依然很明显。 不确定度 -5 -4 VNA单 端 口 测 量-参 数 不 确 定 度 考 虑 相 关 与 否 的 差 别 (实 部 ) VNA单 端 口 测 量-参 数 不 确 定 度 考 虑 相 关 与 否 的 差 别 (虚 部 ) S S x 10 x 10 7 1 0.9 6 0.8 5 0.7 0.6 4 0.5 3 0.4 不确定度 0.3 2 0.2 1 0.1 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 频 率G H z 频 率G H z (a) (b) 图 3-2 VNA 单端口测量 S-参数考虑相关与否的差别 计算反射系数的实部和虚部在不同频率点间的相关系数，用以说明频点 间和实虚部之间具有的相关性。选择 1GHz、5 GHz、10 GHz 和 15 GHz 几 个频点，实验结果如图 3-3 所示。其中，(a)为所选频点上测量值的实部与所 有频率点处的测量值实部间的相关系数，(b)为实部与虚部间的相关系数，(c) 为虚部与实部间的相关系数，(d)为虚部与虚部间的相关系数。 不确定度 - 31 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 实部与虚部间的相关系数 实部与实部间的相关系数 1.005 1.01 1 1 0.99 0.995 0.98 0.99 0.97 0.985 相关系数 相关系数 0.96 0.98 1GHz 1GHz 5GHz 5GHz 10GHz 0.95 0.975 10GHz 15GHz 15GHz 0.90.97 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 4 频 率(G H z) 频 率(G H z) (a) (b) 虚部与实部间的相关系数 虚部与虚部间的相关系数 1 1.05 0.95 1 0.9 0.95 0.85 0.9 1GHz 1GHz 5GHz 5GHz 10GHz 10GHz 0.8 0.85 15GHz 15GHz 相关系数 相关系数 0.70.8 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 频 率(G H z) 频 率(G H z) (c) (d) 图 3-3 VNA 测量 S-参数在不同频点上的实虚部间的相关系数 从图 3-3 的结果中可以看出不同频率点间的反射系数测量值的相关系数 都接近 1，因此可以说明反射系数在不同频点间、实部与虚部之间具有较高 的相关性。所以，考虑频点间、实虚部间、变量间的 VNA 测量不确定度分 析方法是必要的。 3.5 本章小结 本章首先对传统的 S-参数不确定度分析方法做了说明，指出存在的不 足之处，利用协方差矩阵可以充分保留变量间、频点间、实部和虚部之间的 相关性，基于此，给出了对多元变量充分保留互相关性的不确定度分析方 法。根据 VNA 不确定度传播流程，确定了 VNA 不确定度源头——VNA 的 校准组件并假设其具有的不确定度。同时推导了不确定度在传播各环节中的 Jacobian 矩阵，得到 VNA 测量 S-参数的不确定度表达式。最后，用反射系 数的测量不确定度分析说明考虑互相关性的关键作用。 - 32 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第4章 S-参数不确定度分析在实际中的应用 第二章和第三章已经详细地介绍了 VNA 不确定度传播流程并推导了 VNA 测量 S-参数不确定度传播的公式。本章将结合实际的一些应用和实际 测量数据分析比较基于协方差矩阵的 VNA 不确定度分析的优势，由此更进 一步说明相关性在不确定度分析中的重要性。 4.1 功率计校准不确定度 3.4 节介绍了 VNA 测量反射系数的不确定度分析结果，可以看出频点 间、实虚部间的相关性在不确定度的传播中，对结果的影响较大。在不确定 度的进一步传播中，将会对结果产生影响。下面来分析一下对功率计校准的 失配因子不确定度的影响。 4.1.1 功率计校准理论 无线电计量的基本参量包括电压、功率、衰减、相位、阻抗、失真等， 微波功率参数是其中之一，也是表征微波信号特性的一个重要参数 [34]。因 此世界各国在微波功率参数的计量测试方面发展都比较早，我国也不例外。 关于微波功率计的校准是随着微波功率计量一起发展起来的。 微波功率计量最基础的方法是采用交替比较法。它是将已校准好的标准 功率计和待校准的被校功率计分别交替地连接到幅度稳定的微波信号源上， 从而进行测量比较。交替比较法是其他功率计校准方法如定向耦合法、直接 交替比较法等方法的基础。 标准功率传 标准功率指 感器 示器 ,s 稳幅信号源 被校功率传 ,G 功率指示器 感器 ,u 图 4-1 交替比较法原理图 如图 4-1 所示，功率计校准的交替比较法的装置构成相对比较简单，其 原理是利用功率量值传递中的上一级的标准功率计校准下一级功率计。在校 - 33 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 准的过程中，分别将标准功率座和被校功率座接到稳幅信号源上，由于信号 源反射系数较难测量，一般都将信号源连接到一个三端口器件，如定向耦合 器上测量等效信号源反射系数，这种方法也就是功率计校准中的定向耦合 法。其连接图如图 4-2 所示。 参考功率座 50Ω 3 1 定向 信号源 耦合器 标准功率指 标准功率座 示器 50Ω 2 ,S 被校功率座 功率指示器 ,Ge ,u 图 4-2 定向耦合法原理图 被校功率计的校准因子 k u 可表示为 [35]: Pu , Q (4-1) ku , k s Ps 其中， k s 是标准功率座的校准因子， Ps 是标准功率指示器的读数， Pu 是被测功率指示器的读数， Q 是失配因子。其表达式如式(4-2): 2 1 ,Ge,u Q , (4-2) 2 1 ,Ge,s 其中， ,Ge 是等效信号源反射系数， ,s 是标准功率座反射系数， ,u 是被 测功率座反射系数，均可由 VNA 测量得到。因此，S-参数的测量不确定度 将进一步传递到失配因子这里，使得分析和利用 S-参数间的相关性具有其 实际意义。 因为功率计校准的失配因子只涉及反射系数的测量，所以 ,s 和 ,u 采用 单端口的测量手段，利用 VNA 的扫频测得。对于等效源反射系数 ,Ge 的测 量可以根据如式(4-3)的计算公式计算也可以应用测量手段进行测量。 S12 S 23 (4-3),Ge , S 22 S13 - 34 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ,Ge 的测量比较复杂，例如可变负载法、直接测量 S 参数法、直接校准 法等都是经典成熟的测量方法 [36]，在本文中主要采用直接校准法测量等效 源反射系数。 直接校准法是基于 VNA 的单端口 SOL 校准方法进行测量的。将双端口 VNA 的 port1 和 port2 分别接于定向耦合器的输入端和耦合端，如图 4-3 所 示，根据矢量网络分析仪原理和线性网络原理，被测定向耦合器作为线性三 端口器件，与双端口 VNA 共同组成了单端口 VNA。将定向耦合器的输出 端依次连接开路、短路、负载标准校准件，并测量反射系数，由单端口 3 项 误差模型，即可解出 e00 、 e11 、 e , e00e11 e01e10 ，其中 e11 就是被测定向耦合 器的等效信号源反射系数。由 VNA 单端口 SOL 校准的修正公式(2-4)，可 以相应的给出直接校准法测量 ,Ge 的修正公式如式 (4-4)， , 为校准件的理论 反射系数数值。 ,' e00 , , (4-4) ,' e11 e 根据文献[36]，测量值 ,' 可以用式(4-5)代替。 S11 ,' , (4-5) S 21 矢量网络分析仪 port2 (VNA) 开路 3 port1 定向 短路 耦合器 1 2 负载 , 单端口VNA 图 4-3 直接校准法测量等效源反射系数 4.1.2 功率计校准的不确定度传播 微波功率计主要测量电子信号的功率，其应用范围极广泛。因此，对功 率计校准结果进行有效的不确定度分析也是至关重要的。下面介绍微波功率 计校准失配因子 Q 的不确定度分析过程。 根据图 2-9 所示 VNA 不确定度传播过程，结合本文中所给示例，可以 将不确定度的传播流程用图 4-4 所示形式表达。其中， J1 、 J 2 分别是传递过 - 35 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 程相应的 Jacobian 矩阵，其求解方法在 3.3 节中已详细给出。 SOL校准件 , Short , Open , Load J1 VNA的校准误 差模型 ,[ e00 e11 e ] J 2 功率计校准的有效测量 反射系数 J,Q, ,[ ,G ,u ,S ] 功率计校准的 , Q 失配因子 图 4-4 功率计校准不确定度传播过程 因此，功率计校准失配因子的不确定度由 VNA 测量的标准功率座的反 射系数 ,s 、被校功率座的发射系数 ,u 和等效信号源反射系数 ,Ge 传递，传递 过程的 Jacobian 矩阵(即 J [Q ] )可以由式(4-6)~(4-8)过程得到。 1 ,Ge,u 令 G( x , )， G( x) 为一解析函数，可表示为 G( x) , u( x) ， iv( x) ， 1 ,Ge,s 则: 2 2 1 ,Ge ,u Q , , G( x) 1 ,Ge ,s (4-6) 2 , u( x ，) iv( x ,) u 2 ( x ，) v 2 ( x ,) u 2 ( x1 , x2 ) ， v 2 ( x1 , x2 ) 求失配因子 Q 对变量实部 x1和虚部 x2 的导数: Q ,G ， G ， G * ,，, ,， , 2 Re,G, , , , 2 Re,G,, Re, ，2 Im,G,, Im, x ,， x ,， x1 , , x , ,， (4-7) Q ,G ， G ， G * ,，, ,， , 2 Im,G, , , , 2 Re,G,, Im, ，2 Im,G,, Re, x2 x ,， x ,， , , x , ,， 最后得到 VNA 测量的反射系数的不确定度传递到失配因子过程中的 J [Q ] 。 - 36 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 (4-8) 失配因子不确定度的表达式为: (4-9) [Q ] , J [Q ] [,s ,,u ,,Ge ] J [TQ ] 4.1.3 实验结果与Monte Carlo仿真 实验中使用的是 Agilent AV3618 矢量网络分析仪进行测量，校准组件 是 AV31121 校准组件，包括短路、开路、负载。采用 2 个 Anritsu ML2437A 功率计，其中一个经过定标作为标准功率计，另外一个作为被校功率计。图 4-5 给出了实验装置连接图。 图 4-5 实验装置连接图 本课题主要分析等效信号源反射系数 ,Ge 、标准功率计反射系数 ,s 和被 校功率计反射系数 ,u 之间的互相关对功率计失配因子 Q 的不确定度分析的 影响以及不同频率点间失配因子 Q( f ) 的相关性。 实验结果如图4-6所示，给出了在频率范围为1GHz-20GHz情况下，在考 虑和忽略互相关情况下的不确定度分析对比结果，图 4-7进一步说明失配因 子的相关性存在。 根据图 4-6 所示不同频率点上失配因子 Q 的标准不确定度结果，可以发 现:在不确定度的定量分析中，相关性是其中的一个不可忽视的因素，是否 考虑相关，二者的不确定度存在差别。并且考虑频点间、变量间的互相关， 其不确定度的结果在所有频率点上均比忽略频点间、变量间不确定度的结果 小，虽然多数结果都在 10-4 以下，但是由于对测量结果精度的要求不断提 - 37 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 高，任何微小的差别都应该加以考察。所以，利用协方差矩阵保留全部相关 信息的特性考察不确定度的方法引入是必要的。 -2 10 基于协方差矩阵的标准不确定度 忽略互相关的标准不确定度 -3 Monte Carlo仿 真 结 果 10 -4 10 -5 10 标准不确定度 -6 10 -7 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 频 率(G H z) 图 4-6 不同频率点上功率计失配因子的标准不确定度 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 时1GHz ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 k与 0.4 k与 2GHz时 ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 相关系数绝对值0.3 k与 3GHz时 ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 k与 5GHz时 ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 0.2 k与 10GHz时 ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 k与 15GHz时 ， 校 准 因 子 其 他 频 率 点 处 的 相 关 系 数 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 频 率 (G H z) 图 4-7 功率计失配因子的互相关 本文还根据不确定度来源的协方差矩阵生成了 10000 组随机样本进行 Monte Carlo 仿真。其结果与基于协方差矩阵的分析结果吻合，在证实了相 关信息重要性的同时，检验了本文所提方法的准确性和有效性。 对于不同频率点间失配因子 Q( f ) 的相关性也可以使用基于协方差矩阵 的方法方便的获得。根据图 4-7 所示，说明各频率点间失配因子的相关性是 存在的，并且所有的失配因子之间高度相关，这也进一步说明了不确定分析 中考虑频点间、实虚部间和变量间相关性的必要。尤其是这些结果将在诸如 - 38 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 非线性矢量网络分析仪(NVNA)和大信号矢量网络分析仪(LSNA)的谐波功率 校准中提供重要的信息。 4.2 宽带谐波相位参考定标不确定度 谐波标准的不确定度应充分考虑定标过程中的测量不确定度与器件的可 重复性 [37]。谐波相位参考信号的定标可以采用等效采样示波器进行。 示波器是电信号的主要分析仪器之一，可以用随着时间变化的幅度曲线 可视化的表示信号波形的主要信息。由于其对信号的直观表达，经常被用来 测量、调试和检测电信号，也可以用来证明电子器件和电路模块是否正常工 作。在设计新的电子线路时，也常用到示波器。当然，除了电信号，其他的 物理量或化学量同样可以利用适当的探头进行测量。 示波器经过了100多年的发展历程，大体可分为三个阶段 [38]。第一阶段 是 20世纪 30至 50年代，电子管示波器快速发展。带宽最高达到 100MHz， 1957年研制成功了记忆示波器，1959年研制成功了取样示波器。第二阶段是 20世纪 60年代，晶体管示波器开始发展。到 1969年带宽已跃至 300MHz，且 取样示波器的带宽达到18GHz的高峰。第三阶段是20世纪70年代，是集成化 示波器的发展阶段。并且集成电路技术的发展为示波器的小型化、高性能、 高可靠性提供了充足的条件。到 1979年，示波器的带宽已达到 1GHz。而 1974年推出的带有微处理器的示波器，标志着示波器进入智能化的崭新阶 段。 示波器大致可以分为通用 (宽带 )示波器、高灵敏度示波器、取样示波 器、记忆示波器和数字存贮示波器(数字化示波器)等。 4.2.1 宽带谐波相位参考 宽带谐波相位参考是大信号矢量网络分析仪 (LSNA)和非线性矢量网络 分析仪(NVNA)的重要校准部件 [39]，为二者提供了宽带的谐波相位标准。时 域上，谐波相位参考信号是一系列周期重复的窄脉冲，对应了稳定的谐波频 谱成分 [40]，如图 4-8 所示。 - 39 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1 0 -1 -2 -3 功率 幅度 -4 (dB m ) (V ) -5 -6 -7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -9 时间(s) x 10 (a) 时域信号 0 -20 -40 -60 -80 -100 0 10 20 30 50 60 70 80 90 100 40 频率(G H z) (b) 输出频谱 图 4-8 时域信号及其频谱 而上述脉冲信号需要经过严格的定标过程才能作为“相位标准”使用， 即通过精确的测量给出相应的谐波相位谱。这其中，最为常用的就是基于等 效采样示波器的测试，其流程如图 4-9 所示。 校准可以追溯到测量仪器的基本物理量，如机械加工精度。校准信号常 使用梳状波发生器、阶跃脉冲等信号等用于示波器或其他存储波形装置的校 准 [41]。 对于一般的工程测量而言，由于对精度的要求较低，示波器往往被当做 理想的时域采样测量工具来对待，即认为示波器给出的测量结果就是输入到 示波器的“被测信息”。然而对于宽带谐波相位参考的定标，出于对相位结 果精确性的要求，必须将测量平台所涉及的多种误差影响进行修正和补偿。 因此，图中分别对应了“示波器时基失真修正”、“漂移补偿”、“平均去 噪”、“示波器复频响应补偿”、“测量端口失配修正”等流程 [42,43]。在 这几项误差中，“漂移补偿”和“平均去噪”造成的误差影响较小，一般主 要考虑的误差是时基失真、示波器频率响应补偿和测量端口失配修正。目前 [44,45] 。对采样示波器的相位响应主要依靠 NTN(Nose to Nose)校准 - 40 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 梳状波实测波形 窗口时基 时基失真估计 时基失真修正 失真数据 漂移补偿 时域 平均去噪 波形选取 Fourier变换 失配修正因子 VNA数据 频谱修正 频域 示波器响应 NTN数据 相位数据处理 梳状波定标结果 图 4-9 等效采样示波器相位定标流程 与本课题研究内容相关的就是“失配修正”环节，主要就是对此脉冲波 形在频域进行矢量修正后重构出发射波形，利用 VNA 测量信号源和示波器 端口的反射系数，消除由于测量端口面处宽带失配原因造成的信号“二次反 射”叠加成分，使定标结果可以充分反映出谐波相位参考信号源在 50 欧姆 匹配负载条件下的有效输出。再应用本文第二章所述不确定度分析方法对其 进行不确定度分析。 4.2.2 相位参考定标的不确定度传播 理论上，将信号源与采样示波器的输入端相连接，信号源发射一个脉冲 信号显示在示波器上，利用 VNA 分别测量示波器输入端口的反射系数和信 号源输出端口的反射系数，示意图如图 4-10 所示。根据矢量修正方程即可 得到修正后的信号波形。 - 41 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 Step1 矢量网络分析仪 采样示波器 (VNA) ,s Step2 矢量网络分析仪 信号源 (VNA) ,g Step3 信号源 采样示波器 图 4-10 实验测量示意图 信号传播流程图如图 4-11 所示，信号发射端发射前向波 bg 具有最大电 压幅度 vg ，匹配负载 50Ω。前向波电压峰值 vg 与前向波 bg 的关系为: (4-10) vg , 50,bg 同理，示波器接收端示波器测量的峰值电压 vs 与输入波 as 的关系: vs , 50,as (4-11) 信号发射端 示波器 bg,vg 1 b1 h as,vs a2 , s ,g a1 b2 as=ha2 图 4-11 信号传播流程图 由于端口失配，信号在信号源发射端口与示波器的接收端口产生反射作 用，发射的信号 b1是 bg 与 a1 的合成信号， b1 , bg ， ,g a1 ;示波器输入端反射 的信号， b2 , ,s a 2 。因为信号发射部分与示波器是直接相连的，在此过程中 电压和电流是连续的，所以 b1 , a2 ， b2 , a1 。因此，可以得到: bg (4-12) a2 , 1 ,g ,s 最后，示波器的测量电压可以用式(4-13)给出: - 42 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 bg vg , h (4-13) vs , 50,as , 50,h 1 ,g ,s 1 ,g ,s 其中， h 是示波器的冲激响应。 所以，示波器上显示的电压波形具有的不确定度可以由图4-12所示的不 确定度传播流程进行传播。 SOL校准件 J1 , Short , Open , Load VNA的校准误 差模型 J 2 ,[ e00 e11 e ] 信号源输出端与示波器 输入端的有效测量反射 系数 J vs ,[ ,g ,s ] 修正的电压 ,[ vs ] 图4-12 示波器波形修正不确定度传播过程 其中Jacobian矩阵推导过程在前面的分析中已经详细的给出了，在此不 再叙述。 4.2.3 实验结果与Monte Carlo仿真 利用 Agilent 86100A 采样示波器与 AV3618 VNA 进行测量，选择的校 准件是 AV31121 校准组件(包括短路、开路、负载)。发射信号由 AV87102 谐波相位参考探头产生。采样示波器由 GPIB 卡连接到电脑上完成数据采 集，采集到的波形数据直接存入电脑中，实验结束后对采集的数据进行处 理。实验装置图如图 4-13 所示。 由于矢量修正关系是频域上的修正关系式，所以信号源发射的脉冲信号 通过傅立叶变换得到其频域信息，在频域上进行修正后再重构为时域波形。 通过扫频测得多组 1GHz 至 20GHz 频率范围内，示波器端口反射系数和信 号源端口反射系数。 根据得到的频域信息重构时域波形，可以对已知的频率信息进行多点 IFFT 运算，也可以利用累加法进行运算。本文中对 1 个周期内的谐波相位 参考信号进行了 4096 点的波形重构，重构的时域波形如图 4-14 所示。 - 43 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 图 4-13 实验装置图 0.05 0 -0.05 幅度 -0.1 (V ) -0.15 -0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 时 间(s) -9 x 10 图 4-14 重构的时域波形 图 4-15 为修正后的时域波形不确定度结果。对比图 4-14 的重构后的时 域波形，可以看出:在充分考虑 S-参数间互相关性的情况下，时域波形不 确定度在幅度变化剧烈的脉冲上升沿和下降沿处显著增加，而在相对平缓的 区间内维持较低的水平。如果忽略了 S-参数间的相关性(这里主要体现在不 同频点间反射系数测量值的互相关 )，则时域波形不确定度在整个周期内不 发生剧烈变化。相比之下，考虑相关的情况会出现局部的不确定度峰值，幅 度明显高于忽略相关的全局最大值。而忽略相关在其余部分则整体上高于考 虑相关的情况。这个结果与 NIST 对 EOS 系统的高速电脉冲测量实验结果 相一致，可以证明充分考虑变量间相关信息的必要性。 - 44 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 -5 x 10 1.4 基于协方差矩阵的标准不确定度 忽略互相关的不确定度1.2 1 0.8 0.6 标准不确定度 0.4 0.2 (V ) 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 时 间(s) -9 x 10 图 4-15 修正后的时域波形不确定度结果 为进一步检验基于协方差矩阵分析方法的有效性，采用 Monte Carlo 仿 真的方法进行验证。根据不确定度来源的协方差矩阵生成 10000 组随机样 本，经过上述不确定度传播流程，得到其概率统计量——协方差。结果如图 4-16、图 4-17 所示，Monte Carlo 结果与基于协方差矩阵的分析结果相差的 数量级是 10-5，说明 Monte Carlo 仿真结果与基于协方差矩阵的分析结果相 吻合，在证实了相关信息重要性的同时，也检验了基于协方差矩阵分析不确 定度传播的准确性。图 4-17 为图 4-16 的部分区域放大得到。 -5 x 10 1.4 Monte Carlo仿 真 结 果 基于协方差矩阵的标准不确定度 1.2 1 0.8 0.6 标准不确定度 0.4 0.2 (V ) 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 时 间(s) -9 x 10 图 4-16 Monte Carlo 仿真与基于协方差矩阵的不确定度结果比较 - 45 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 -5 x 10 1.3 Monte Carlo真 结 果 仿基于协方差矩阵的标准不确定度 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 标准不确定度 1 0.95 (V ) 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 时 间(s) -10 x 10 图 4-17 不确定度峰值处的局部放大图 4.3 本章小结 本章主要介绍了 VNA 测量 S-参数不确定度分析的两个典型应用，微波 功率计校准和宽带谐波相位定标的原理和不确定度分析过程，利用 VNA 实 际测量的数据通过运用本文中所提出的基于协方差矩阵的 VNA 测量 S-参数 不确定度分析方法，计算得到不确定度由校准标准件一直传递到 S-参数测 量值，进而传递到 S-参数确定的其他物理量上。最后，应用 Monte Carlo 仿 真方法验证了基于协方差矩阵考虑变量间、频点间、实部与虚部间互相关性 的正确性和有效性。 - 46 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 结 论 本文主要研究了 VNA 测量 S-参数的测量不确定度传播规律，主要成果 如下: 首先，研究了不确定度的概念及传统 VNA 测量不确定度分析方法的不 足，基于此，提出了基于协方差矩阵的 VNA 测量不确定度分析方法，该方 法可以有效地分析 VNA 测量不确定度的定量传播，确保了多元相关变量不 确定度分析的正确性和准确性。 其次，对 VNA 测量不确定度传播流程进行分析，确定测量不确定度来 源——系统效应和随机效应。主要考察系统效应导致的不确定度在 VNA 测 量中的传递流程;推导出了 VNA 单端口 3 项误差模型和双端口 7 项误差模 型的传输 Jacobian 矩阵表达式。 最后，在微波功率计校准和宽带谐波相位参考定标中应用上述理论，将 VNA 测量的 S-参数的测量不确定度进一步传播到功率计校准的失配因子和 谐波相位参考定标的重构时域波形上。充分考虑了频点间、实虚部间和变量 间的相关性。实际测量数据的仿真结果说明 VNA 测量 S-参数不确定度分析 中互相关性对测量不确定度分析的重要性。并且结合 Monte Carlo 仿真检 验，其结果与本文中所提出方法的结果相吻合，因此验证了本文中基于协方 差矩阵的不确定度传播流程的有效性。 随着 VNA 及 S-参数应用的日益广泛，未来该方法将逐渐取代原有的分 析理论，成为统一的 VNA 测量不确定度传播定量计算手段。 - 47 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 参考文献 Ridler N M, Lee B, Martens J, et al. Measurement Uncertainty, [1] Traceability, and the GUM [J]. Microwave Magazine, 2007, 8(4):44- 53. 陈玮琪,鲁海燕 . 测量不确定度概念的认识意义 [J]. 科学技术与辩证 [2] 法.1999,16(6):17-20. Shimon R, Asay B, Dascher D, InP IC Technology Powers Agilent’s [3] Infiniium 90000X-Series Real Time Oscilloscope [C]. Compound Semiconductor Integrated Circuit Symposium,2010:1-4. [4] Williams D, Hale P, Clement T, et al. Uncertainty of the NIST Electrooptic Sampling System[R]. NIST Technical Note 1535,2004:1-22. Paulter N, Smith A, Larson D, et al. NIST-NPL Interlaboratory Pulse [5] Measurement Comparison [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2003,52(6):1825-1831. 刘欣萌 . 高频和微波功率基准极其应用研究 [D]. 哈尔滨:哈尔滨工业 [6] 大学博士学位论文,2007:60-70. Ridler N M, Salter M J. Propagating S-parameter uncertainties to other [7] measurement quantities [C]. 58th ARFTG Conference Digest-Fall, Nov. 2001:1-19. Hale P D, Wang C M. Calculation of Pulse Parameters and Propagation of [8] Uncertainty [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2009,58(3):639-647. Baylis C, Marks R J, Martin J, et al. Going Nonlinear [J]. IEEE [9] Microwave Magazine,2011,12(2):55-64. [10] Gering J M. Nonlinear Vector Measurements and Associated Behavioral Models [M]. IEEE Microwave Magazine,2011,12(2):6-10. [11] Hiebel M. Fundamentals of Vector Network Analysis [M]. Version 1, Germany: Rohde Schwarz Company,2007:103-115. [12] ISO. Guide to the expression of uncertainty in measurement. International Organization for Standardization,1993. [13] 臧 慕 文 .分 析 测 试 不 确 定 度 的 评 定 与 表 示 (1) [J]. 分 析 实 验 室 ,2005, 11:74-79. - 48 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 [14] 金畅. 蒙特卡洛方法中随机数发生器和随机抽样方法的研究[D]. 大 连:大连理工大学硕士学位论文,2005:1-7. [15] Wübbeler G, Krystek M, Elster C. Evaluation of measurement uncertainty and its numerical calculation by a Monte Carlo method [J]. Measurement Science and Technology, 2008, 19(8):1-4. [16] Williams D F, Lewandowski A, et al. Covariance-based uncertainty analysis of the NIST electrooptic sampling system [J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Technology, 2006, 54(1):481-491. [17] Hale P D, Dienstfrey A, et al. Traceable Waveform Calibration with a Covariance-Based Uncertainty Analysis [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2009,58(10):3554-3568. 18] Rumiantsev A. VNA Calibration [J]. IEEE Microwave Magazine,[ 2008, 9(3):86-99. [19] Stumper U. Influence of TMSO Calibration Standards Uncertainties on VNA S-Parameter Measurements [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2003,52(2):311-345. [20] Padmanabhan S, Kirby P, Daniel J, et al. Accurate Broadband On-Wafer SOLT Calibrations with Complex Load and Thru Models [C]. 62nd ARFTG Conference Digest, 2003:5-10. [21] 孙志为 . 矢量网络分析仪扩频技术研究 [D]. 西安:电子科技大学硕士 学位论文. 2010:16-22. [22] 侯政嘉,黄东,童玲. 矢量网络分析仪 8 项误差模型和校正理论. 仪器仪 表学报[J]. 2004,25(4):765-766. [23] Fenero A, Pisani U. Two-Port Network Analyzer Calibration Using an Unknown Thru [J]. IEEE Microwave and Guided Wave Letters, 1992,2(12):505-507. [24] 林茂六,张亦弛,张喆等. 基于混频器的非线性矢量网络分析仪双端口校 准方法研究[J]. 仪器仪表学报,2010,31(10):2386-2393. [25] Lewandowski A, Williams D. Characterization and modeling random vector network analyzer measurement errors [C]. 17th International Conference on Microwaves, Radar and Wireless Communications,2008: 1-4. [26] Liu Xinmeng. Analyses of VNA noise floor [C]. 74th ARFTG Microwave - 49 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 Measurement Symposium, 2009:1-7. [27] Ridler N M, Salter M J. Evaluating and expressing uncertainty in complex S-parameter measurements[C]. 56th ARFTG Conference Digest, November 2000:63-75. [28] Working Group 1 of the Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM/WG1). Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement [M]. 2008:18-21. [29] Lewandowski A, Williams D F, Hale P D. Covariance-Matrix-Based Vector-Network-Analyzer Uncertainty Analysis for Time and Frequency Domain Measurements [J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Technology, July 2010, 58(7):1877-1886. [30] Ridler N M, Salter M J. An approach to the treatment of uncertainty in complex S-parameter measurements [J]. Metrologia,2002, 39(3):295-302. [31] Cox M G, Dainton M P, et al. The evaluation of uncertainties in the nalysis of calibration data[C]. IMTC/99.Proceedings of the 16th IEEE on a Instrumentation and Measurement Technology Conference, 24-26 May 1999:1093-1098. [32] Hall B D. On the propagation of uncertainty in complex-valued quantities 41(3):173-177. [J]. Metrologia, 2004, [33] Lin Maoliu, Zhang Yichi. Covariance-Matrix-Based Uncertainty Analysis for NVNA Measurements [J], IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2012, 61(1):93-102. [34] 张伟伟 . 直接交替比较法在微波小功率校准中的应用 [C]. 计量与测试 学术交流会暨无线电计量校准技术研讨会. 2008:152-156. [35] Shan Y, Chua S W, Yan Y K. Development of a 50GHz coaxial direct comparison transfer microwave power sensor calibration system at NMC[C]. Conference Precision Electromagnetic Measurements (CPEM), 13-18 June 2010:738-739. [36] 翟杰 . 国家宽带功率基准传递系统的研究 [D]. 北京:北京交通大学硕 士学位论文, 2007:11-14. [37] Jargon J A, DeGroot D C, Vecchia D F. Repeatability Study of Commercial Harmonic Phase Standards Measured by a Nonlinear Vector Network Analyzer [C]. 62nd ARFTG Conference,2003:243-258. [38] Pereira J M D. The history and technology of oscilloscopes [J]. IEEE - 50 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 Instrumentation and Measurement Magazine, 2006, 9(6):27-35. [39] Zhang Yichi, Lin Maoliu, Zhang Zhe. Study on absolute calibration methods for mixer-based NVNA [C]. Conference Precision Electromagnetic Measurements (CPEM), 13-18 June 2010:585-586. [40] Reader H C, Williams D F, Hale P D, et al. Comb-generator characterization [J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Technology, Feb 2008, 56(2):515-521. [41] Hale P D, Wang J C M, Lewandowski A, et al. Traceable waveform calibration with a covariance-based uncertainty analysis [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2009,58(10):3554- 3568. [42] Williams D, Hale P, Remley K A. The Sampling Oscilloscope as a icrowave Instrument [J]. IEEE Microwave Magazine,M 2007, 8(4):59- 68. [43] Lin Maoliu, Zhang Yichi, Zhang Zhe. Design and characterization of SRD-based generator [C]. Conference Precision Electromagnetic Measurements (CPEM), 13-18 June 2010:728-729. [44] 徐清华,林茂六,张亦弛. 基于 NTN 校准的等效采样示波器任意频率栅 相位响应重构[J]. 仪器仪表学报,2011,21(5):989-995. [45] 徐清华 . 最小相位重构算法及精细频率栅相位校准机理 [D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学博士学位论文,2011:11-30. - 51 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 攻读硕士学位期间发表的学术论文 1. Tong Ling, Lin Maoliu, Zhang Yichi. Covariance-Matrix-Based Uncertainty Propagation Analysis for Complex-Valued Quantities Throughout VNA S- Parameter Measurements and Power-Meter Calibration. Conference on Precision Electromagnetic Measurements, 2012.(已录用) - 52 -