风险管理与金融机构课后习题8-9章答案

第八章 8.1 VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过VaR的条件下损失的期望值，预期亏损永远满足次可加性（风险分散总会带来收益）条件。 8.2 一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR对于第x个分位数设定了100%的权重，而对于其它分位数设定了0权重，预期亏损对于高于x%的分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于x%的分位数的分位数设定了0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重，并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非递减函数时，这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。 8.3有5%的机会你会在今后一个月损失6000美元或更多。 8.4在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元，不好的月份食指最坏的5%的月份 8.5  (1)由于99.1%的可能触发损失为100万美元，故在99%的置信水平下，任意一项损失的VaR为100万美元。 （2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 （3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.009 0.009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0.991 0.991=0.982081的概率损失为200万美元，有2 0.009 0.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。 （4）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是 （5）由于1100 100 2=200，因此VaR不满足次可加性条件， 1107 910 2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。 8．6（1）1天展望期的97.5% VaR为200 (0.975)=200*1.96=392 （2）5天展望期的97.5% VaR为 *392=876.54 （3）1天展望期的99% VaR 为392* =392* =466 因此，5天展望期的99% VaR 为 *466=1042 8.7 由于假定组合的价值变化服从正态分布，其期望值为0，则当每天价值变化的一阶自相关系数等于0.16时对于8.16中5天展期望的97.5%变现为996万美元，C中5天展望期的99%的VAR变现为1182万美元。 8.8 边际VaR是VaR的增长随第i个资产增加的比率，增量VaR是指第i个资产对于VaR的影响（含有第i个资产VaR与不含有第i个资产VaR的差），成分VaR是指整体VaR对于第i个资产的分配（成分VaR的总和等于整体VaR）。 8.9总数为17或更多例外发生所对应的概率为1-BINOMDIST(    16,1000,0,01，TRUE)，即2.64%，在5%置信水平下我们应该拒绝这一模型。 8.10当金融资产交易组合的每天价值独立时，例外的情形以聚束的情形发生，而不是随机分布在整体时间区域内，这种情形被称为聚束效应。通常情况下，我们假设交易组合每天的价值变化独立，例外的情况发生应该比较均匀的分布在检测区间内，但是实际经济生活中，我们发现例外情形一般是呈现聚束分布特征的，这便是聚束效应。 8.11证明式（8-3） 证明：我们希望计算 的差，其中Pi为第i天的回报，其数量为 式中，σi为Pi的标准差，ρij为Pi与Pj的相关系数。这是对于所有i，σi=σ，当i>j时ρij=ρi-j，进一步运算，我们可以得出式（8-3）。 8.12（1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。 （2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4%的概率损失1000万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 （3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.04 0.04=0.0016的概率损失2000万美元，有0.02 0.02=0.0004的概率损失200万美元，有0.94 0.94=0.8836的概盈利200万美元，有2 0.04 0.02=0.0016的概率损失1100万美元，有2 0.04 0.94=0.0752的概率损失900万美元，有2 0.94 0.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。 （4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损是                                                    （5）由于900 100 2=200，因此VaR不满足次可加性条件， 941.6 820 2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。 8.13 (1) (2) 由上式得：                                        (3) 所以     (4) （万美元） 第九章 9.1每周的 。 9.2．某资产的波动率为每年25%，对应于一天的资产价格百分比变化的标准为：25%/ =1.57% 假定价格变化服从正态分布，均值为0估测在95%的置信度下价格百分比变化的置信区间为：-3.09%～3.09% 9.3开市时的波动率比闭市时的要大，交易员在计算波动率时往往采用交易天数而不是日历天数。 9.4隐含波动率是指使得由Black-Scholes所计算出的期权借个等于市价时所对应的波动率，隐含波动率的求解方法通常是采用试错法，因为不同期权对应于不同的隐含波动率，所以交易员利用Blac-Scholes公式时实际上采用了不同假设。 9.5 由9.3节的方法：先计算每段的回报，再计算回报的标准差，最后计算得到的波动率为0.547%，但由式9-4的计算得出的每天波动率为0.530%。 9.6由9-1可得： ，当 的概率为1%， 则 ，K=2500， 当 ，即点击次数为10000次以及更多次的比例为0.25%； 当 ，即点击次数为2000次以及更多次的比例为0.0625%。 9.7在第n天估计的方差等于 乘以在n-1天所估计的方差加上 乘以第n天的回报的平方。 9.8 GARCH（1,1）对于长期平均方差设定了一定权重，这与EWMA的假设一致，GARCH（1,1）具有波动率回归均值的特性。 9.9在这种情形下， ， ，由式(9-8)我们可得出 因此在第n天波动率的估计值为 ，即1.5103%。 9.10由EWMA模型我们可以得到波动率的预测方程可以示为： 所以，我们可以看出当我们把 由0.95变为0.85意味着我们将赋予靠近今天的 更大的权重，即认为近期的数据对现在的影响更大。同时，由模型我们也可以看出 的变化将引起模型中权重的集体变化，进而引起模型波动率的较大变化。 9．11采用通常的符号， ，因此 ，对于最新波动率的估计为每天1.078%。 9.12.解：价格变化的比率为-0.005/1.5000=-0.003333，当前每天的方差估计为0.006^2=0.000036，对于每天的方差的新估计为 0.9*0.000036+0.1*0.003333^2=0.000033511 波动率的新估计值为以上数值的平方根 =0.597% 9.13长期平均方差所对应的权重为 ，长期平均方差为 ，增大 会促使长期平均方差的增长，增大 会增大对于近期数据所设定的权重，同时减小对于长期平均方差所设定的权重，以及增大长期平均方差；增大 仍会增大对于前一个方差所设定的权重，减小对于长期平均方差所设定的权重，并且增大长期平均方差的水平。 9.14 长期平均方差为ω/（1-α-β），即0.000004/0.03=0.0001333，长期平均波动率为 =1.155%，描述方差回归长期平均的方程式为E[σ2 n+k]=VL+(α+β)k(σ2 n- VL)这时E[σ2 n+k]=0.0001330+0.97k（σ2 n-0.0001330）如果当前波动率为每年20%，σ n=0.2/ =0.0126,在20天后预期方差为0.0001330+0.9720（0.01262-0.0001330）=0.0001471因此20天后预期波动率为 =0.0121，即每天1.21%。 9.15 FTSE用美元表达为XY，X为其用英镑表达的价值，Y为汇率，定义xi为X在第i填的价格变化百分比，yi为Y在第i填的百分比变化，XY的比例变化为xi+yi,,xi的标准差为1.8%，yi的标准差为0.9%，X与Y的相关系数为0.4，因此xi+yi的方差为： 0.018*0.018+0.009*0.009+2*0.009*0.018*0.4=0.0005346，因此xi+yi的标准差为0.0231，即2.31%，这就是FTSE100被转化成美元后的波动率。 9.16由式9-10可得： ，则长期平均方差为： ，再由式9-14可得： ，则波动率为： ，即30天后的日波动率为1.11%。 9.17        把 =0.0001， =0.0202， =20以及 =0.000169带入公式 得到波动率为19.88%。 9.18 周数 股票价格 价格比 每天回报 0 30.2     1 32 1.059603 0.057894 2 31.1 0.971875 -0.02853 3 30.1 0.967846 -0.03268 4 30.2 1.003322 0.003317 5 30.3 1.003311 0.003306 6 30.6 1.009901 0.009852 7 33 1.078431 0.075508 8 32.9 0.99697 -0.00303 9 33 1.00304 0.003035 10 33.5 1.015152 0.015038 11 33.5 1 0 12 33.7 1.00597 0.005952 13 33.5 0.994065 -0.00595 14 33.2 0.991045 -0.009         此时， ， 周收益率标准差的估计值为 即周波动率为2.884% 每周波动率的标准差为 或每周0.545% 9.19(a)在这种情形下， ， ，由式(9-8)我们可得出 因此在第n天波动率的估计值为 ，即1.2709%。 (b)这里GARCH(1,1)模型为 由(a)知， ， ，因此 对于波动率的最新估计为 ，即每天1.2604%。 9.21（a）由设可知GARCH（1,1）模型为： 因为 ，由于 ，可知模型隐含的每天长期平均方差为0.0001，对应的波动率为 =0.01即每天1%。 （b）因为当前波动率为每天1.5%，所以 由于 故20天后 =0.0001+（0.98）20（0.0152-0.0001）=0.00018 40天后 =0.0001+（0.98）40（0.0152-0.0001）=0.00016 60天后 =0.0001+（0.98）60（0.0152-0.0001）=0.00014 （c）短期预测只需较近较少的样本值，长期预测需要较多较久的样本值，即每天或者更小周期的期货价格 （d）由于 其中 且 期权期限（ ） 20 40 60 波动率 （0.5%） 0.022 0.024 0.028 波动率 （2%） 0.017 0.015 0.014 波动率变化 0.005 0.009 0.0014         9.23 (1) =1000/1.6448727 =607.94978 =607.94978*2.326 =1414.0912（万美元） （2）