与函数结合的概率问题(答案)

与函数结合的概率问题 1、A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10%   X2 2% 8% 12% P 0.8 0.2   P 0.2 0.5 0.3                 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2； （2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。    （注：D(aX + b) = a2DX） 解：（Ⅰ）由题设可知 和 的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2       Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3         ， ， ， ． （Ⅱ） ， 当 时， 为最小值． 2、函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点． (1)若φ＝ ，点P的坐标为 ，求ω； (2)若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，求该点在△ABC内的概率． 解： (1)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝ 和点 代入得ωcos ＝ 解得ω＝3. (2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f′(x)＝3cos ，求得A ， B ，C ，故△ABC的面积为S△ABC＝ × ×3＝ ，曲线段与x轴所围成的区域的面积S＝－ ＝－sin ＋sin ＝2，所以该点在△ABC内的概率为P＝ ＝ . 3、某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10                 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80. 当日需求量n<16时，利润y＝10n－80. 所以y关于n的函数解析式为y＝ (n∈N)． (2)①X可能的取值为60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7         X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②一： 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54           Y的数学期望为 EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差为 DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54 ＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，DX