实变函数试卷3评分标准

实变函数试卷3评分 曲 靖 师 范 学 院 X?X学年第X学期数学与应用数学专业XXXX班 《实变函数》期末考试评分标准(3) 一、填空题(主要考查基本概念和基本知识的掌握程度。共10小题，每小题 3分，满分30分) 1( 2( 3( (0,3){0}fxabx:,， AA,A4(是闭集(或或) 5(1 6(0 ,A,A 22*c{(,)1}xyxy，,7( 8( 9(0 10( mAE() 二、辨析题(主要考查基本知识的掌握、运用和判断分析能力。共3小题， 每小题10分，满分30分) 1. 主要考查可测集可测的充要条件的掌握情况。 答:此命题不正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分) E正确命题是“若有界集满足:对任意的，存在开集 ()GE,,,0G E与闭集FFE(),，使得mGF(),,,，则一定可测”. „„(3分) E证明:若有界集满足:对任意的，存在开集()GE,与闭集,,0G FFE(),，使得mGF(),,,，则;„„„„„(5分) mGmF,,, **mFmEmEmG,,, 又因为，所以， „„„„(8分) mEmE,,,** **mEmE,mEmE, 由的任意性，得到，而根据测度的性质有，,** *EmEmE,因此得到，即可测. „„„„„„„„„„„(10分) * 2. 主要考察简单函数和可测性质的关系掌握的情况。 1 答:此命题正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分) E证明:已知、是可测集上的两个可测函数 „„„(3分) fx()gx() 据可测函数的定义，分别令和是可测集，其中， Ef(),,E(g,,) 、„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6分) ,,R,, 不妨设，则= „„„„„(8分) ,,,Ef(),,,E(g,,)E(f,g) 又因为和是可测集，则上式左边的交集是可测的 Ef(),,E(g,,) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(9分) 因此，不论如何取值，均为可测集. „„„„„„(10分) Efg(),, 3(主要考查可测集的性质掌握的情况。 答:此命题正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分) AA,AA,证明:因为，由可测集的性质可得可测， „„(3分) 1221 AA,A因此，显然与互不相交，„„„„(6分) AAAA,,()2112211 mAmAmAA,，,()故， „„„„„„„„„„„„„„„(8分) 2121 mAmA,而任意可测集的测度是非负的，因此.„„„„„„(10分) 12 三、计算题(主要考查基本知识的掌握情况和正确计算的能力。共2小题， 每小题10分，满分20分) 1. 主要考查对勒贝格积分计算的能力。 nx 解:令，„„„„„„„„„„„„„„(1分) ()sinfxnx,n221，nx 122 因为12，,nxnx，所以 „„„„„„„„„„„(4分) fx,()n2 2 由勒贝格控制收敛原理得到 nxnx11==0. „„„„„(10分) sinnxdxsinnxdxlimlim,,022220n,,n,,1，nx1，nx 2. 主要考查应用勒贝格控制收敛定理计算勒贝格积分的能力。 nn,111111xnxnIdxdx,,，,Idx解:令，则„„(3分) nn2,,,00023(2)，，xx2，x nx因为，所以=0，„„„„„„„„„„„(5分) 0,x,1lim2n,,(2)，x 由勒贝格控制收敛原理得到 nn1xx1dxdx==0，„„„„„„„„„„(8分) lim,lim022,0n,,n,,，x(2)(2)，x n,11nx11dx=0=. „„„„„„„„„„„„„„„(10分) ，lim,0n,,2，x33 四、证明题(主要考查综合运用知识以及证明推理的能力。共2小题，每小 题10分，满分20分) 1. 主要考查集合对等的证明及对等知识的掌握程度。 ,, ()AB,A 证明:设任意的x,，则对任意的，x,且nN,nnn,,nn11 , Bx, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分) :nn,1 , AxB,所以，x,且对任意的，, „„„„„„„„(3分) nN,:nnn,1 , ACBx,且对任意的，x,，„„„„„„„„„„(5分) nN,:nnn,1 3 ,, ACB即且,„„„„„„„„„„„„„„„(6分) x,x,::nnn,1n,1 ,, ACB()所以，„„„„„„„„„„„„„„„(7分) x,nn11nn,, ,,,, ()AB,ACB()则， „„„„„„„„„„(8分) ,nnnn,,nn1111nn,, ,,,, ACB()()AB,依据可逆性可得，因此原命题成立. ,nnnn,,11nn11nn,, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(10分) 2. 主要考查依测度收敛问题的证明掌握的情况。 fx()证明:要证依测度收敛于，只须证明:对，有 gx(),,,0n lim{:}0mxfg,,,,. „„„„„„„„„„„„„„„„(2n,,n 分) 因为，有， {:}{:{()()}{:}xfgxfxgxxff,,,,,,,,,,,0nn „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(5分) 由题设知，mxfxgx{:{()()}0,,， „„„„„„„„„„„(6分) 因此，， „„„„„„„(7分) mxfgmxff{:}{:},,,,,,,nn fx()fx()又因为依测度收敛于，因此取极限得 n lim{:}lim{:}0mxfgmxff,,,,,,,,，„„„„„„(9分) nn,,,,nn fx()gx()所以，依测度收敛于.„„„„„„„„„„„„(10分) n 4