斯坦纳定理的证明

斯坦纳定理的证明 斯坦纳定理：两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。 这一命的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明过程想必大家都会。但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。据说连欧几里德都不会证！！首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。 德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法：  作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC，∵BD=EC，∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); ∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF，∵2α+2β<180°,∴α+β<90°，∴∠FBC=∠CDF>90° ∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上. 设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=HD 连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC.