【doc】闭环极点与开环零极点的一种关系式

【doc】闭环极点与开环零极点的一种关系式 闭环极点与开环零极点的一种关系式 第22卷第6期 2002年12月 湛江海洋大学 JournalofZhanjiangOceanUniversity V01.22No.6 Dec.20o2 闭环极点与开环零极点的一种关系式 邱伟光 (湛江海洋大学航海学院.广东湛江524025) 摘要:根据控制系统的特征方程和开环传递函数的关系,推导出闭环极点与开环零 极点之间的 关系式,并举例说明其应用,该简单且具有通用性和实用性. 关键词:闭环极点开环零极点经典控制理论传递函数 中图分类号:TP13文献标识码:A文章编号:1007-7995(2002)12-0054-04 ARelationBetweentheClose-loopPoles AndtheOpen-loopZeroPoles QiuWeiguang (NavigationCollege,ZhanjiangOceanUniversity,ZhanjiangGuangdong524025) Abstract:Accordingtotherelationbetweenthecharacteristicequationandtheopen—loop transmissionfunctionofacontrolsystem,arelationbetweenclose—looppolesandopen— loopzeropolesisinferredinthispaper.Andsomeexamplesusingthisrelationaregiven aSwel1.Whichshowsthattherelationissimple.universalandpractica1. Keywords:Close??looppolesOpen??loopzeropolesClassicalcontroltheory Transmissionfunction 线性系统的闭环极点(即闭环特征根)对其动态性能影响很大,闭环极点在复平面 的分布 决定了线性系统的稳定性,过渡过程曲线(时间响应)和阶跃响应性能指标等,因此,在经典控 制理论中,对控制系统的分析,有根轨迹分析法. 系统的闭环极点是其闭环特征方程的根,即特征根,所以闭环极点取决于闭环特征方程. 而系统的闭环特征方程可以通过开环传递函数来求得.因此,闭环极点与开环极点和开环零 点存在着一定的关系,文献[1],[2]给出了闭环极点A与开环极点P的关系式: AA ?Ai=2i.(n一?2)()()式只有在开环极点数n多于.P 开环零点数两个以上 m 时才成立,正因为是有条件 1 1m的.所 收稿日期:2O02JD78 作者简介:邱伟光(1955一),男,工学硕士.讲师.研究方向为柴油机及自动控制. 第6期邱伟光:闭环极点与开环零极点的一种关系式55 以该式没有包含开环零点的信息在内.(1)式简单,但不具有通用性. 根轨迹法是通过图解的方法确定闭环极点,从而分析系统的各种性能.以开环根增益 (或开环增益)为变化参数的根轨迹始点为开环极点,终点为开环零点,这进一步明闭环极 点与开环极点和开环零点关系密切,本文给出一个通用的公式,明确表达它们之间的关系,该 公式简单,有助于理论研究和计算. 闭环极点与开环零极点的关系式 1 开环传递函数在系统的设计时通常是已知,由此可求得系统的闭环特征方程,从而 对系统 的主要性能作出评估. 反馈控制系统的典型方块图如图 1所示,图中G(S)和H(.s)分别为前向 通道传递函数和反馈通道传递函数. 根据反馈运算法则…,其闭环传递函 数为: (5)=,(2)(5),(2) 式中,G(.s)H(.s)为开环传递函数,由 式(2)可得闭环特征方程为: 一y—I二:::l JI r.五::]一…一一 图1反馈控制系统 Fig.1Thefeedbackcontrolsystems D(S)=1+G(.s)H(S)=O.(3) 设Z(i=1,2,……,m),P(i=1,2,……,n)分别为开环零点和开环极点,则开环传递函 数可表达为t G(.s)H(.s)=K'(.s—Zi)/凰(.s—Pi),(4) 式中,K称为开环根增益.将式(4)代人式(3),经整理可得: D(.s)(.s—Pi)+K'旦(.s—Zi)=o.(5) 又设A(i=1,2,3……,n)为闭环极点,则闭环特征方程可写成: n D(S)=口?兀(S—Ai)=0. 由于式(5)和式(6)相等,故: nnm 口'H(S—Ai)=】[I(S—P)+K?】[I(S—Z), 在式(7)中,令S=0,得: (6) (7) nn玎I 口?l(一A)=l(一P)+K?l(一z1),(8) 式中a为闭环特征方程.s项的系数,n=m时,a=1+K,n>m时,a=1. 式(8)即闭环极点Ai与开环零点zi和开环极点P的关系式,在推导过程中没有附加任 何条件,故该式是个通用公式,而且较简单. 湛江海洋大学第22卷 2应用实例 如前所述,系统的开环传递函数通常是已知的,由此可求得系统的特征方程,如果可以求 出所有特征根(即闭环极点),则可对系统的性能作出分析.但对于高阶系统而言,用解析法 求特征根并非容易,由公式(8)可以求得一个闭环极点.下面举三个实例. 实例l已知某系统的开环传递函数为: G(S))=, 其两个闭环极点分别为A.=-0.5,A=-0.7068,试求第三个闭环极点A,. 本例可以采用试探的方法由闭环特征方程求得A,,但需要多次计算,而求出的A,也只是 个近似值. 本例应用式(8)可直接求得A,.在本例中,有3个开环极点,分别为P.=0,P2=一l, P3=-5;和两个开环零Zl=一2,Z2=-3,m=2,11,=3.故式(8)中,口=l,将Al,A2,P',Z代 人式(8)得: 一 A3×(一A2)×(一A1)=一Pl×(一P2)×(一P3)+0.3×(一z1)×(一z2)A, A=一5.0933. 实例2已知某系统的开环传递函数为: G(S))=, 其1个闭环极点为A.=一1.192,试求另外两个闭环极点A和A,. 在本例中,,l=3,m=l,满足,l—m?2的条件.故式(1)成立,联立式(1)和(8),得: 『一AlA2A3=一PlP2P3—0.1Zl,(9) Ll^l+A2+A3=Pl+P2+P3.(10) 将已知条件A.=一1.192,P.=一l,P2=-2,P3=一3,Zl=-4代人,可求得: A2=一1.764,A3=一3.O44. 实例3已知系统的开环传递函数为: G?=, fS- 当阻尼比为最佳阻尼比=时,求K值,闭环极点和主导极点. 本例是系统设计时经常遇到的实例,根据已知条件0<=半<l,系统具有一对负实部的 共轭复数闭环极点,设为…: A1.2:一扣?如.凡:一.?.『.,(11) 式中,tc,.为无阻自然频率?为虚数单位.由开环传递函数可求得闭环特征方程为: D(S)=S(S+3)(S+4)+K(S+2S+l0)= S'+(7+K)S+(10+2K)S+10K=0.(12) 第6期邱伟光:闭环极点与开环零极点的一种关系式57 将A:一.+.『.代人上式,经整理得: 蛳)-【a3--芋(12+2K)?.【.-(7争2卜oo 由于D(J】L,)是复变函数,由D(A)=O,得实部和虚部分别等于零,即: f.3一譬(12+2K)w,.+lOK-o,(14) . -(7争12+2K)]-0o(15) 解方程(15)可得?=;to止=0;d=6+).易知,只有?=是上述方程组的解,将 ?.,代人方程(14),n-I得K=1.25.这样,当=半时,,A,,A:的解为: K=1.25, 本例有两个开环零点z.:=一1?和三个开环极点P=O,P2=-3,P3=一4,将zl,z:, (一A,)(一A:)(一A3)=(一P,)(一P2)(一)+K(-z)(一z), J】L,离虚轴的距离为6.25,.】L,J】L:离虚轴的距离为1,由于J】L,离虚轴的距离是J】L,J】L:的 6.25倍,大于5倍,故J】L,,J】L:是主导极点?. 除上述三个实例外,应用公式(8)可很方便地判断系统的开环极点与开环零点对系统性 I.HPiI>KIHI,(16) 则系统的闭环极点主要取决于开环极点,故系统的开环极点对其性能影响大;反之,若: IlHI<KIl?zI,(17) 3结论 本文推导的公式(8)使闭环极点与开环零点和开环极点之间的关系明确化,该公式简单 明了,便于计算和分析.该公式既可用于计算闭环极点,也可作为理论研究的参考. 参考文献 1张尚才.控制工程基础[M].杭州:浙江大学出版社,1997.71—184 2胡寿松.自动控制原理[M].北京:国防工业出版社.2000.124—143 3金忆舟.复变函数与拉普拉斯变换[M].杭州:浙江大学出版社,1994.26—27