抛物线的定义:
拋物線的定義
◎拋物線的定義,
LLFL 平面上給予一直線及外一定點,則平面上所有到直線的距離恰等於到
FPLF定點的距離之所有動點所形成的圖形就稱為拋物線,其中稱為準線,稱為焦點,
PF,d(P,L)
◎拋物線圖形相關名稱,
FLM (1)對稱軸,通過焦點且與準線垂直之直線,又簡稱為軸, (2)頂點,拋物線與對稱軸的交點, V
F(3)焦距,焦點與頂點的距離, VFV
AB(4)弦,拋物線上任取相異兩點,的連線段,
F(5)焦弦,過焦點的弦AC,
(6)正焦弦,垂直於對稱軸的焦弦MN,
註,?為SF之中點,即SVVF,,, cV
,,,2()4dFLVF, ?正焦弦長MN4, c
【例1】
| x,y,3 | 22設P ( x , y )是動點,並且滿足, ( x,1 ), ( y,1 ) ,。 2 (1)請由上面等式所描述的幾何意義,說明P點描出何種錐線。
(2)試寫出焦點的坐標及準線的方程式。
解
(1) 設F (,1 , 2 ),直線L:x,y,3,0,因F不在L上,故滿足,,,PF,d ( F , L ) 的P點
所
成的圖形是拋物線 (2)焦點坐標是F (,1 , 2 ),準線方程式是L:x,y,3,0, 拋物線的方程式
拋物線的方程式之求法有下列方法,
◎定義,
PF,d(P,L)已知焦點、準線 , 利用定義 解之。 ◎標準式,
22 x,4cy 平移後 , (x,h)= 4c(y,k)
22 y,4cx 平移後 , (y,k)= 4c(x,h)
◎一般式,
2y,ax,bx,c 當已知對稱軸,x軸時 , 設拋物線為。
2x,ay,by,c當已知對稱軸,y軸時 , 設拋物線為。
公式及圖形整理如下,
標準式焦點 準線 圖形
2F (,0)cycx,4L: xc,,
c,0c,0
2L:yc,, F (0,)cxcy,4
c,0c,0
標準式 圖形
2()4()ykcxh,,,
c,0c,0
2()4()xhcyk,,,
c,0c,0
【例2】 試求以F ( 5 , 2 )為焦點,以L:x,1為準線的拋物線Γ之方程式。 解
設P ( x , y )是拋物線上任一點,則
由定義,,,PF,d ( P , L )得
22 ( x,5 ), ( y,2 ), | x,1 |
222?( x,5 ), ( y,2 ),( x,1 )
2?( y,2 ),8x,24
2?( y,2 ),8 ( x,3 ),
【例3】
2 設拋物線方程式為x,,16y,求頂點、對稱軸、焦點、準線及正焦弦長。 解
4c,,16 ? c,,4,開口向下 頂點 ( 0 , 0 ),對稱軸,x,0 ( y軸 )
=焦點 ( 0 ,,4 ),準線,y,4 正焦弦長4 | c |,16
【例4】
2xxy,,,,4840 已知拋物線方程式為,試求(1)頂點坐標 (2)焦點坐標
(3)準線方程式 (4)對稱軸方程式 (5)正焦弦長.
解
2xxy,,,,4840 拋物線方程式
2xy,,,281整理後得,即?圖形開口向上 ,,48cc,2,,,,
(1)頂點坐標,(2)焦點坐標,(3)準線方程式y,,3, V,,21,F,21,,,,,
(4)對稱軸方程式,(5)正焦弦長, 48c,x,,2
【例5】
拋物線之軸平行x軸,且過(1, 1) , (3, 2)及(3, ,1)三點,求此拋物線之方程式,
解
2?軸平行x軸 ?設拋物線為x , ay , by , c,又過(1, 1) , (3, 2) , (3, ,1)三點,
1,a,b,ca,1,,
,,23,4a,b,cb,,1? , ?方程式為x , y – y , 1。 ,,
,,3,a,b,cc,1,,
拋物線的參數式
◎對稱軸平行於軸的拋物線參數式, x
2,x,ct2? y,4cx 參數式 , , t,R,y,2ct,
2,x,h,ct2 ? (y,k)= 4c(x,h) 參數式 , , t,R,y,k,2ct,
◎對稱軸平行於y軸的拋物線參數式,
,x2ct,2 ? x,4cy 參數式 , , t,R,2,yct,
,,xh2ct,2 ? (x,h)= 4c(y,k) 參數式 , , t,R,2,,ykct,
【例6】
2(y,1),16(x,2) 求拋物線上動點到直線的最短距離 P(x,y)4x,3y,35,0
P 為 ,此時動點坐標為
解
2Ptt,,,214,設拋物線上的動點 t為實數, ,,
24231435,,,,,tt,,,,P則到直線的距離為 43350xy,,,2243,,,,
243151,,2,,,t ,,,41224tt,,5245,,
3
,?當時 到直線43350xy,,,有最短距離為3 此時坐標為2
1,,,7, ,,4,,