数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法2009

数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法2009 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 一、 三大抽样分布的分布函数 n综 述:根据大数和中心极限定理，但样本容量较大时(数学上一般要求)，任 a)n,45 2何分布都依概率收敛于正态分布，并可标准化为。 N,,, N0, 1，，，， 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎的函数分布， b)N0, 1，， 集中表现为3大抽样分布规律。 考研数学中规定:的分位数定义为下分位数(从图形上看为左边面积)，3 c)N0, 1，， 大抽样分布的分位数定义都为上分位数(从图形上看为右边面积) 21( 分布(分布函数不要求掌握) ,n，， n22Nn0, 1~,，，量纲模型: ，，，，,i，，i,1 性 质: n22XNXn~(0,1)~(),,{}X独立同， 1，，,iii,1i 222,,,，，，，~()nn 可加性 2，，1212 22，，，， Enn,,; Dnn,,2 3，，，，，，，，，， 证 明:由于 3XNEXDX~0,10; 1,,,，，，，，，，，iii 22EXEXEXDXin,,,,,1 1,2,,，，，，，，，，，，iiii，， 2 x，,,1442EXxedx,,3，，i,,,,2 2242，，DXEXEX,,,,,312，，，，，，iii，， nn,,222 ,EnEXEXn,,,，，，，，，,,ii,,ii,,11,, nn,,222DnDXDXn,,,2，，，，，，,,,ii,,ii11,,,, 1 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 评 注 样本函数中的必需记住的数字特征 2,EXDX,,; ,，，，，n 42,222ESDS,,; ，，，，,n,1 24421n,，，nnnn,,,,11112,,,,,,*2222,,EBESESDBDS,,,,,,; ，，，，，，22,,,,,,,nnnnnn,1,,,,,, 2, 上分位点 定义为分布的分位数 4,n，，，， 2( 分布(分布函数不要求掌握) tn，， 2XNYnXY~(0,1), ~(); ,和{}X 独立同分布 独立 ii XTtn,~() 量纲模型: Y n 性 质: t分布密度函数 nfxN,,,()~(0,1)1，，tn，， ，,, 上分位点 定义为分布的分位数 2tnPtntnfxdx{()}(),,,,，，，，，，,t,()tn, n EXDXn,,,0, 23，，，，n,2 tntnn()(); 45,,,tnZ(), 性质 分布具有对称性， 时， T4，，1,,,,,3(分布(分布函数不要求掌握) Fmn, ，， X 2mXmYn~(); ~(),, X、Y相互独立，;量纲模型: FFmn,~(, )Y n 1评 注 特别地，但。 ,,,,mnF11, 1，，,，1xx，， 2，，XX，，，122P,4XN~0, ,例:假定来自正态整体的一个样本，求。 XX, ,,，，，，122XX,，，,,12，， 222XNXXNXXN~0, ~0, 2; ~0, 2,,,,，,解: ，，，，，，i1212 22XXXXXXXX，,，,,,,,2212121212 ~0, 1; ~0, 1~1; ~1NN,,,，，，，，，，，,,,,2222,,,,,,,, 2 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2XX，,,12,,2,,,2XX，，，1121~1, 1F,,,，，221xx，XX，，,XX,，，,,,1212 ,,2,,, 1 2，，4XX，，，1212Pdx4arctan2.,,,,,,,201xx，，，XX,，，,,,12,，， ，,,?上分位点 定义为分布的分位数 tnPFFnmfxdx{(,)}(),,,,，，,F,(,)Fnm, 11Fnm, ,,? 性 质 Fnm(, ) ，，1,,Fmn, Fmn(, )，，, 12 XFnmFmn~, ~, ,XtnXFn~~1, ,，，，，，，，，X2? 证明结论 tnFn~1, ，，，， 2Vn~(), UN~(0,1), U Ttn,~() Vn 2U22222U~(1), 而 时 ,,TFntnFn~(1, )~1, T,;，，，，Vn 1,Fnm(, )? 证明结论 如下 1,,Fmn(, ), ,,11,,PXFmnP,,,,,,,, 11,,，，,,,,1,,XFmn, ，，,,1,,,, ,,11,,,,,P,,,XFmn, ，，,,1,,,, 1~, ~, ,XFmnYFnm，，，，1,,X又根据分位数的定义， , ,,,,,,,,,,,PFnm ，，,,,,X,, 而连续分布对一点的概率取值为零，则 ,,1111,,,,PPFnmFnm,,,,,, , ，，，，,,,,, , XFmnXFmn,,，，，，,,,,11,,,,,, 3 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 二、数理统计中8大样本函数的分布(枢轴量)的详细证明 1( 单个正态总体 2{}~(, )XN,, 设为一系列简单随机样本，则有 n , 若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 1,，， 2n1,,,X~(,)XXN,; ~(0,1)N ,,i,nni1, n证明一: n1XX, ,ini,1 n11EXEXn,,,,,,,()() ,inni,1 2n11,2DXDXn()(),,,,, ,,i22nnn,i1 证明二: ,, ,,,Xn,EEX()0,,, ,,,,,,,,,n,, ,, ,,,,Xnn22,,DDX(),,=[()()]EXEX,,,,, ,22,,,,,,,n,, 2n2=[20]EXX，,,,, ，，2, 22nn2222=[()2]EX，,,,=(()2)EX，,,, 22,, 2n,22[()]1，,,= ,,2n, X,, 故 ~(0,1)N , n 4 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 评 注 公式 ? 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。 ,若未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 2,，， 2n(1)1nS,222,,,()~(1)XXn,XS 与 ;且 独立 (X是随机变量) ,i22,,i1, 证 明: 2已知，且相互独立， XinN,1,2,,~, ,,，，，，i X,,i 令 ，且相互独立。 1,2,,,,,~0,1YinYYYN,,,，，，，12in, 作下列正交变换: 111,,ZY,,,,11,,nnn,,,,,,ZY22,,,,ccc ,,,n21222,,,,,,,,,,,,ZYnn,,,,,,cccnnnn12,, YYY,,,ZZZ,,,正交变换不改变向量组的秩，由于相互独立，则相互独立，且都服从12n12n 。 N0,1，， nnnnX,,111111,,,XX,iYYXn,,,,,,,,,,记 ,,,,iinnnnn,,,,,,,,,,1111iiii 111ZYYYnYN,，，，,~0,1由上述变换矩阵等式易得: ，，112nnnn nn22,,YZ正交变换不改变向量的长度，所以 ,,iiii,,11 2nnX,,(1)1nSX,,,22i,,,,()()XX,,i22,,,,11ii,, nnn,,XX,,XX,,,,,,22,,ii ()()2,，,,,,,,,,,,iii111,,,,,,,,, 2n,,X,XX,,22i,,, ()()2,，,nn ,,,i1,,,,,, 2n,,X,X,2i,, (),,n,,,1i,,,,,nnn222222,,,,,, ~1YnYZZZn,，，,,,1iii112iii,,, 5 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2n(1)1nS,2222,,,()~(1)XXn,评 注 有重要的应用价值，如计算。 ESDS; ，，，，,i22,,i1, 22?EnnDnn,,,,,,11, 121,,，，，，，，，，，， 2222,,(1)nS,,,,222 ,,,,,,,,ESEEnn11，，，，，，，，,,,,2nnn,,,111,,, 2222224，，,,，，(1)(1)2nSn,,，，22,,, 121DSDDnn,,,,,,,,，，，，，，，，,,,,,,,22,,nnn,,,111，，，，,,，，,, ,若未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 3,，， X,, ~(1)tn,S n证明: ,,X , N0,1，，X,,n,,,~1tn ，，22SnSn,,11，，，，,2nnn,,11，，, ,若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 4,，， nnX,,1222i()()~Xn,, (是常量) ,,,，，,,i2,,,,11ii 证明: X,,i~0,1YN,，，i, nnnX,1,2222i()()~XYn,,,，，,,,,,ii2,,,iii111,, 2( 两个正态总体 (和独立同分布) YX 22YN~(,),,XN~(,),,， 122 nn11XX,YY, ,,iinni,1i,1 nm112222SXXSYY,,,,(), () ,,12iinm,,11,,11ii 则有: 6 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 22, ,,,,, 若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 5，，1212 XY,,,(),,12 ~(0,1)N22,,12，nm 证明: 22，，,,,,XY,,,()1212 ()~0, ~(0,1)XYNN,,,，,,,12,,22nm，，,,12，nm 22, ,,,,,,,,,,若未知，但时，需要估计的范围，则使用枢轴量 6，，121212 XY,,,(),,12 ~(2)tnm，, 11S，wnm 22(1)(1)nSmS,，,12其中: S,Wnm，,2 证明: ，，11,,2XYN,,,,,,，()~0, 12,,,,nm,,，， ，，11,,2N0, ，,,,,,nmXY,,,(),,,,，，12 ,2211nSmS(1)(1),，,1112S，,，wnmnmnm，,2 ，，11,,2N0, ，,,,,,nm,,，， 11，,N0, 1，，,nm,,222222(1)(1)(1)(1)nSmSnm,，,,，,12,,,, nmnm，,，,22 NN0,10,1，，，， ~2,,，,tnm，，222(1)(1)(2)nmnm,，,，,,,,nmnm，,，,22 2,1,,, 如已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 7，，122,2 7 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 n12()X,,,2i1,ni1,2~(,)Fnm m212,1()Y,,,i2mi1, 证明: n2()X,,,i1n21n,，，2i,1()X,,,22i1nn,,ni,121 ,,~,Fnm，，mn221m，，22,,1()()YY,,,,,,ii22mmii,,112m2, n,222()/~()Xn,,,,,i11,,i1,根据分布的意义，可以推知 F,m,222()/~()Ym,,,,,i22,,i1, 2,1,,, 如未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 8，，122,2 22S,12 ~(1,1)Fnm,,22S,21 证明: 22nS,1，，1,n,1，，222n,1,，，S,1n,112,,,,~1,1Fnm ，，2222mSm,,11S，，，，,,2212mm,,11，，,2 三、先进题型与求解秘技 陈氏密技 量纲法求复合统计量的抽样分布。 3种抽样源正态;量纲法则判类型。 根据定义凑模式;标准变量容量值。 2xxxx, , , N0, 2ab, 【例1】设来自正态总体的简单随机样本，求，使得 ，，1234 222Xaxxbxx,,，,234~, 。 ，，，，1234 解: 8 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2222，，，，Xaxxbxxaxxbxx,,，,,,，,234234，，，，，，，，12341234，，，， 221，，axxNaaNaa,,，,,,,2~0, 2220, 20，，,,，，，，12,,，，20 221，，bxxNbaNab34~0, 32420, 100,,，,,,,，，,,，，，，34,,，，100 2,X~2，， 2{}~(0,2)NN【例2】， i 2222QaXbXXcXXXdXXXX,，，，，，，，，，()()(),服从分布，求12345678910 m和自由度。 abcd, , , 111222解: ,,,XNXXNXx~(0,2)~(0,1)~(1)1111,24 XXN，~(0,8),XXXN，，~(0,12),XXXXN，，，~(0,16)同理 2315678910 122 ，,()~(1)XX238 12 ，，,()~(1)XXX45612 12 ，，，,()~(1)XXXX781016 22,()nQ~(4),由的可加性知 1111所以 b, d, a,c,m,4816412 xxx，，，2129U,【例3】设XY, 相互独立，都服从N0, 3，则统计量服从什么分布。 ，，222yyy，，，129 2解: 的分子是分布，分母是分布，则必是分布。 ,TUNU 根据分布定义，需要把分子和分母标准化，这需要利用公式? TN0, 1，， n9 XX,,2ii,,,,,ii11XNXN,,,~, ~0, 1,，，,,nn9,, 92Y2,9iYY,,2iii,1~0, 1~9N,,，，，，,,,,393,,,i1 9 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 9 X,ii,10, 1N，，，，，xxx9129 ,,,~9Ut，，222229,，，，9yyy，，1Y,,129i，,,,933,,i,1 2XXX, ,, X【例4】设正态分布，又设，且与相互独立，求 XN~, ,,X~，，12nn，1n，1 xx,nn，1T, 的分布。 Sn，1 22,解:含有，可以预计容量应该是，分子量纲为分布，分母相当于，根据Sn,1NSS, 量纲法，可以推知结果是分布。 t 2,,xxxx,,,n，1,,22nn，，11xxNNN~0, 0, ~0, 1,，,,,,,，，,,n，1,,nnnn，，11,,,,2,,,nn xxxx,,nn，，11 ,,nn，，11,,,,N0, 1，，xx,nnnn，1Ttn,,,,,~1，，22SnS，1nSn,,11，，，，1,,2nn,,11, 22nn11222【例5】设 xxxN, ,, ~, , ,,记 SxxSxx,,,,, , ，，，，，，,,n12ii12nn,1,,ii11 22nn1122 。则下列正确的是( )。 SxSx,,,,,,, ，，，，,,ii34nn,1,,ii11 xx,,,,AtnBtn 1 1,,,,，，，，，，，，SS12 nn11,, xx,,,,CtnDtn 1 1,,,,，，，，，，，，SS34 nn 2222SS, SS, 解:由于容量为的分布含样本方差，而是样本方差，不是，故立即可以否n,1，，1234 ,,x2S,,tn1定。又只有才是标准的样本方差，由标准的推知不对。故选。CD, AB，，，，，，，，，，1S n 事实上 10 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 xxx,,,,,, ,,22Snn2111n,xxxx,,,，，，，,,iin,1nnn,1,,ii11 11nn,, xx,,,, ~1,,,tn，，2Sn1xx,，，,inn,1,i1 n 【例6】为来自的简单随机样本，则下列哪个正确。 XXXn,,,2,N0, 1，，，，12n 22AnXNBnSn ~0, 1 ~,，，，，，，，， 2,,nXnX11，，，，1 ,,CtnDFn ~1 ~1, 1，，，，，，，，nS2X,i,i2解:选 D，， XX,,,0,,nXN~0, 1 ，故排除; A，，，，1, nn XXnX,,,0，故排除; ,,,~1tnC，，，，S1S nn 2nS,1，，2222,,,,,,nSnnSn1~1~，故排除; B，，，，，，，，21 222nX,11,，，，，X11,,~~1, 1Fn，故正确。 D，，，，nn2n,1，，,22XX,,iin,1,,ii22 n,1 22222SSXN~, ,,DSS,2【例7】，和独立，求。 ，，，，1212 44,,2814,,22224解: DSSDSDS,,，,，,，242,，，，，，，,,1212nnnn,,,,1111,,1212 1【例8】是来自正态整体的简单随机样本，已知 YXXX,，，, XX，，,,1126i6 92YY,，，112122YXXXSXY,，，,,Z,, 。 求分布。 ，，，，,i27892S32,i1 解: 11 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 11EYYEYEYEXXXEXXX,,,,，，,，，,0，，，，，，，，，，121212678963 11DYYDYDYDXXXEXXX,,，,，，，，，，，，，，，，，，，1212126789369 2,11 22,，，，, 63,,3692 2YYYY,,,02,,，，，，,1212,,,,YYNN~, ~0, 1，，,12,,22,,,, 2 2YY,，，12 20, 1YYN,，，，，12,,,,Z~2SSS 2, , NN0, 10, 1，，，， ~~~1 2, 3,tnn,,，，，，22nSn,,11，，，，1,,2nn,,11, 222xxx，，21210xxx, ,, Y,【例9】XN~0, 2，来自的简单随机样本，则服从什X，，12152222xxx，，，，111215 么分布。 2222N,,N,,解:分子量纲为分布，分母量纲为也为分布，根据量纲法，可以推知结果是 分布。下面具体计算如下 F 222xxx,,,,,,1012，，222,,,,,,xxx，，1222,,,,,,1210Y,,,22222222xxx，，xxx，，,,,,,,111215151112，，,,,,,,222,,,,,, 2,10，，210,，，110 ~~~10, 5F,，，22525，，，，,, 5 n12dX,,,XXXN, ,, ~, , ,,【例10】设，求和。 EdDd，，,in12ni,1 2YX,,,YN~0, ,解:记，则。 ，，iii 12 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 22yy,,，,，,1122222,,EYyedyyedy,,,,,2,i,,,,0,22,,,,,, 2,,,,222222222DYEYEYDYEY,,,，,,，,,,01，，，，,,,,,,,,iiiii,,,,,,,,,,, nn11122,,,,,,,,,,,,EdEXEYn,,ii,,,,,,,nnnii,,11,,,,,, 2nn,,,,11122,,,,,2 DdDXDY,,,,,,,,,n11,,,,,,ii,,,,,2,,,,,nnnn,,ii,,11,,,,,,,, 1【例11】，求的分布。 Xtn~，，2X 解: 222nnn,,,，，，，，， N0, 1，，1nnn ,,XtnXFn~~~~~~, 1，，，，222221XN0, 11，，，，，，,,n，，, 1n nn1222，，XXYY,，,，，，，,,ii,,ij,,1122,,【例12】XNYN~, , ~, ,,,,，均为简单随机样本，求E。 ，，，，,,nn，,212,,，，解: nn1222，，XXYY,，,，，，，,,ii,,22，，nSnSnn1111,，,,，,，，，，，，，，，，,,11ij11221222,,,,EEE。 ,,,,,,,,,nnnnnn222，,，,，,121212，，，，,,，， 222【例13】XNYXXXXXXCY~0, 1, , ~,，，，，，,。求。 C，，，，，，123456 解: ，，XXX123XXXNN，，,~0, 3~0, 1，，，，1233 XXX，，456XXXNN，，,~0, 3~0, 1，，，，4563 22,,，，，，，CYCXXXCXXX，，，，123456 22，，，，，，XXXXXX1,,,,2123456,，，,, 3~2CC,，，,,,,,,333,,,,,,，， XXX,,,【例14】设总体，是来自总体的简单随机样本，求下列分布。 XN~0, 1，，122n 13 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 3223nX,，，,i2nn121nX,21i,1YXXX,，2Y,3 ; 1;Y,，，，，，，,,2,3212iii12n2n22ii,,1123X,iX,i4i,,i2 解: N0,1，，21nXX,11 1~~21Ytn,,,，，，，1nn222,21n,，，22XX,,ii21n,,,ii22 21n, 32X32,i3,，，2i,123nX,，，,i33i,12~~3, 23YFn,,, ，，，，2222nn,23n，，22,3XX,,ii23,n,,ii44 23,n 2nn123YXXX,，，，,,,3212iii2,,ii11 122,，，，，，，XXXXXXXX ，，,121234212nnn2 111222,，，，，，，XXXXXX ，，，，，，,1234212nn222 2nn2XX，,,2,212ii,,，，Nn ~0,1~.，，，，,,i,,，，2,,,,ii11 22XNYN~, , ~, ,,,,【例15】已知 ，，，，12 222，，nXY,,,,,，，nSS,，1，，，，12，，12，，求 ;。 21，，，，222,SS，12解: 2222nSS,，1，，，，nSnS,,11，，，，1212222 ,,,1 ~~11~22，,，,,nnn，，，，，，，，222,,, 14 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2，， ,,,,,,XX12,,,,,2,,2，，,,,nXY，，,,，，，，N0,212，，,,nn，，，，，，,2~，，222222,，,nn11，SS,，nSS1，，，，，，，，,,1212 2 ,n1，，,n1，，, 22，，，，NN0,20,1，，，， ,,,,12，，，，, ~~~1, 22Fn，，22,,2222nn，，，，,, ,,2121nn，，，， 15