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第三章  直线与方程 一、选择 1．下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是(    )． A．2x－y＋1＝0                            B．2x－4y＋2＝0 C．2x＋4y＋1＝0                            D．2x－4y＋1＝0 2．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m＝(    )． A．－1                B．4                C．－1或4            D．－4或1 3．过点M(－2，a)和N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为(    )． A．1                B．2                C．1或4            D．1或2 4．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是(    )． A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限 5．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是(    )． A．y＝－x                            B．y＝－(x－4)    C．y＝(x－4)                            D．y＝(x＋4) 6．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是(    )． A．x―y―1＝0                            B．2x―y―3＝0        C．x＋y－3＝0                            D．x＋2y－4＝0 7．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是(    )． A．(2，1)，(－1，－2)                    B．(－1，2)，(1，－2) C．(1，－2)，(－1，2)                    D．(－1，－2)，(2，1) 8．已知两条平行直线l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝(    )． A．－12                B．48                C．36                D．－12或48 9．过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是(    )． A．x＋2y－5＝0                            B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0                            D．3x＋y－5＝0 10．a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(    )． A．        B．          C．             D． 二、填空题 11．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是____________． 12．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是____________． 13．已知点(a，2)(a＞0)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． 14．已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 ____________________． 15．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值等于____________． 三、解答题 16．求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程． 17．过点P(1，2)的直线l被两平行线l1 : 4x＋3y＋1＝0与l2 : 4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程． 18．已知方程(m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)求该方程表示一条直线的条件； (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值． 19．△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标． 参考答案 一、选择题 1．D 解析：利用A1B2－A2B1＝0来判断，排除A，C，而B中直线与已知直线重合． 2．C 解析：因为|AB|＝＝，所以2m2－6m＋5＝13． 解得m＝－1或m＝4． 3．A 解析：依条件有＝1，由此解得a＝1． 4．B 解析：因为B≠0，所以直线方程为y＝x－，依条件＞0，＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限． 5．C 解析：因为△ABC是等边三角形，所以BC边所在的直线过点B，且倾斜角为， 所以BC边所在的直线方程为y＝(x－4)． 6．C 解析：由点P在l上得2m―m2―1＝0，所以m＝1．即l的方程为x―y―1＝0． 所以所求直线的斜率为－1，显然x＋y－3＝0满足要求． 7．C 解析：因为点(x，y)关于x轴和y轴的对称点依次是(x，－y)和(－x，y)， 所以P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 8．D 解析：将l1 : 3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b＝8． 由＝3，解得c＝－20或c＝40． 所以b＋c＝－12或48． 9．A 解析：设原点为O，依条件只需求经过点P且与直线OP垂直的直线方程， 因为kOP＝2，所以所求直线的斜率为－，且过点P． 所以满足条件的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0． 10．B 解析：方法1：因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b． 所以直线ax＋3y＋b＝0化为(1－2b)x＋3y＋b＝0． 整理得(1－2x)b＋(x＋3y)＝0． 所以当x＝，y＝－时上式恒成立． 所以直线ax＋3y＋b＝0过定点． 方法2：由a＋2b＝1得a－1＋2b＝0．进一步变形为a×＋3×＋b＝0． 这说明直线方程ax＋3y＋b＝0当x＝，y＝－时恒成立． 所以直线ax＋3y＋b＝0过定点． 二、填空题 11．． 解析：由已知得＝，所以 a2―a―1＝0． 解得a＝． 12．－1≤k≤1且k≠0． 解析：依条件得·|2k|·|k|≤1，其中k≠0(否则三角形不存在)． 解得－1≤k≤1且k≠0． 13．－1． 解析：依条件有＝1．解得a＝－1，a＝－－1(舍去)． 14．y＝2x． 解析：已知直线变形为y＋2＝－a(x＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)． 故所求的直线方程是y＋2＝2(x＋1)，即y＝2x． 15．． 解析：因为实数x，y满足5x＋12y＝60， 所以表示原点到直线5x＋12y＝60上点的距离． 所以的最小值表示原点到直线5x＋12y＝60的距离． 容易计算d＝＝．即所求的最小值为． 三、解答题 16．解：设所求直线的方程为y＝x＋b， 令x＝0，得y＝b，所以直线与轴的交点为(0，b)； 令y＝0，得x＝－b，所以直线与x轴的交点为． 由已知，得|b|＋＋＝12，解得b＝±3． 故所求的直线方程是y＝x±3，即3x－4y±12＝0． 17．解：当直线l的方程为x＝1时，可验证不符合题意，故设l的方程为y－2＝k(x－1)， 由解得A； 由解得B． 因为|AB|＝，所以＝． 整理得7k2－48k－7＝0．解得k1＝7或k2＝－． 故所求的直线方程为x＋7y－15＝0或7x―y―5＝0． 18．解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m2―2m―3＝0，解得m＝－1，m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1，m＝． 所以方程表示一条直线的条件是m∈R，且m≠－1． (2)由(1)易知，当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为x＝，它表示一条垂直于轴的直线． (3)依题意，有＝－3，所以3m2－4m－15＝0． 所以m＝3，或m＝－，由(1)知所求m＝－． (4)因为直线l的倾斜角是45º，所以斜率为1． 故由－＝1，解得m＝或m＝－1(舍去)． 所以直线l的倾斜角为45°时，m＝． 19．解：依条件，由解得A(1，1)． (第19题) 因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，所以点C(2，5)关于y＝x的对称点C'(5，2)在AB边所在的直线上． AB边所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0． 又BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，所以BC边所在的直线的斜率为－． BC边所在的直线的方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0． 联立x－4y＋3＝0与x＋2y－12＝0，解得B．