解三角形 正弦余弦定理

解三角形 正弦余弦定理 1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题: abc正弦定理: ,,,2RsinsinsinABC a,2RsinA, ,变形一:; 变形二: (边角转化的重abcABC::sin:sin:sin,b,2RsinB, ,c,2RsinC,要工具) (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; )已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) (2 两内角与其正弦值:在?ABC 中，()，… A,B,sinA,sinB(3)角越大，边越长 111三角形面积公式: S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC222求三角形的边(角)问题 (1)可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. (2)提示:三角出现在同一等式中，将其中一角用另两角和示 sin()sin,ABC，,cos()cos,ABC，,,关系: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍.. 222bca，,222a,b，c,2bccosAcosA, ,2bc 222cab，,222b,c，a,2accosBcosB, ,2ca 222abc，,222c,a，b,2abcosCcosC, ,2ab 例题讲解 例1.已知?ABC中，?A=60?，a=，b=4，那么满足条件的?ABC的形状大小( ) 6 A(不存在 B(有一种情形 C(有两种情形 D(无法 确定 例2.根据所给条件，判断?ABC的形状( abc(1),,; (2) acosA,bcosBcosAcosBcosC 例3(在钝角?ABC中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围 例4(在?ABC中，(a+c)(a-c)=b(b+c)，则A=( ) A(30? B(60? C(120? D(150? 例5.在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin(A-B)+sinC( 2(1)求角B的大小; (2)若b=ac，判断?ABC的形状; 例6(在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下， 所测得的数据为AB=50米，?DAC=75?，?CAB=45?，?DBA=30?，?CBD=75?，请 你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离, ,例7.在中，内角对边的边长分别是，已知，( C,?ABCABC，，abc，，c,23 (1)若的面积等于，求 (2)若，求的面积( ;?ABCab，sin2sinBA,?ABC3 练习 1.在?ABC中，?A=45?，?B=60?，BC=10，AC=___________________ 2(在?ABC中，?A=105?，?B=45?，c=，则b=_____________________ 2 3.若?ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么=__________________ cosC a，b，c4.在?ABC中，A=60?，a=3，则=___________________ sinA，sinB，sinC 5.在?ABC中，下列等式正确的是( ) A(a:b=?A:?B B(a:b=sinA:sinB C(a:b=sinB:sinA D(asinA=bsinB 222a，b,c,06.在?ABC中，若，则?ABC是( ) A(钝角三角形 B(直角三角形 C(锐角三角形 D(都有可能 7.在?ABC中，a=80，b=100，A=30?，则B的解的个数是( ) A(0 B(1 C(2 D(无法确定 8.在?ABC中，?A=30?，a=，b=3，则?ABC解的情况( ) 6 A(无解 B(有一解 C(有两解 D(不能确定 9.在?ABC中，若，则?ABC的形状一定是( ) acosB,bcosA A(锐角三角形 B(钝角三角形 C(直角三角形 D(等腰三角形 1222S,a，b,c10.在?ABC中，a，b，c三边所对的角为A，B，C，且面积，则角C，，4为( ) A(90? B(60? C(45? D(30? 解答题 1.在?ABC中，若?A=120?，AB=5，BC=7(求:(1)AC的长; (2)?ABC的面积( 532.在?ABC中，，((1)求sinC的值;(2)设BC,5，求?ABCcosB,cosA,,513 的面积( 3(在?ABC中，已知B=45?，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长( 222ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求:(1)A的大4.设?bcabc，,，3 小; 2sincossin()BCBC,,(2)的值. 5(如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察、测得CD=km，3?ADB=45?，?ADC=30?，?ACB=75?，?DCB=45?，(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两点间的距离( 6.已知A、B、C为?ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC?sinBsinC,1( 2 (1)求A; (2)若a,2， b+c,4，求?ABC的面积( 3 7.在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB( 3(1)求角B的大小;(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值( tanA2c,b,8.在ABC中，设，求A的值。 ,,tanBb cosC3a,c,9.在?ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， cosBb(1)求sinB的值; (2)若b=，且a=c，求?ABC的面积( 42